2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析).doc
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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析) 一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分) 1.已知全集,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出全集中的元素,再由可得B,再由交集定義求解即可. 【詳解】全集, 由,可得. 所以. 故選C. 【點睛】本題主要考查了集合的補集和交集的運算,屬于基礎(chǔ)題. 2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則把復(fù)數(shù)化簡為z,進而得到答案. 【詳解】設(shè)z, 所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第二象限. 故選:B. 【點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是合理正確的運用復(fù)數(shù)的運算法則以及有關(guān)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì),并且靈活運用復(fù)數(shù)的運算技巧. 3.“”是“”的( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 由得,,故“”是“”的必要不充分條件,故選B. 4.在平面直角坐標系中,已知向量,若,則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量平行的坐標表示列方程求解即可. 【詳解】向量. 若,則有:. 解得. 故選C. 【點睛】本題主要考查了兩向量平行的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題. 5.設(shè)m,n是兩條不同的直線,、、是三個不同的平面,給出下列命題,正確的是( ). A. 若,,則 B. 若,,則 C. 若,,則 D. 若,,,則 【答案】B 【解析】 試題分析:對于A選項,可能m與相交或平行,對于選項B,由于,則在內(nèi)一定有一直線設(shè)為與平行,又,則,又,根據(jù)面面垂直的判定定理,可知,故B選項正確,對于C選項,可能有,對于D選項,可能與相交. 考點:線面間的位置關(guān)系 6.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù),當時,,則 A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由函數(shù)為奇函數(shù)可得,進而代入解析式求解即可. 【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),所以. 又當時,,所以. 所以. 故選D. 【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 7.在等差數(shù)列中,,其前項和為,若,則的值等于( ) A. -xx B. -xx C. xx D. xx 【答案】A 【解析】 【分析】 設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,將通項公式代入條件可解得,再由前n項和的通項公式求解即可. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則, 所以. 則. 解得. 所以. 故選A. 【點睛】本題主要考查了數(shù)列的前n項和的通項公式,屬于公式應(yīng)用題,運算是關(guān)鍵. 8.在中,的平分線交于,,則的長為( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 過點D作分別交AB、AC于E、F,可得平行四邊形AFDE為菱形,所以,由三點共線的向量形式可得,進而由的長可得,進而得AC. 【詳解】 如圖所示,過點D作分別交AB、AC于E、F. 由,且B,C,D三點共線,所以,解得. 由圖可知:,所以,. 又為的平分線,所以平行四邊形AFDE為菱形,所以. ,所以,所以. 故選D. 【點睛】利用平面向量判定三點共線往往有以下兩種方法: ①三點共線; ②為平面上任一點,三點共線,且. 9.正項等比數(shù)列中,存在兩項使得,且,則的最小值是( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:由得解得,再由得,所以,所以. 考點:數(shù)列與基本不等式. 【思路點晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想,考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項和公比,也即求出等比數(shù)列的基本元,在求解過程中,先對具體的數(shù)值條件進行化簡,可求出,由此化簡第一個條件,可得到;接下來第二步是基本不等式常用的處理技巧,先乘以一個常數(shù),再除以這個常數(shù),構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)來求. 10.已知函數(shù), 則函數(shù)的圖象( ) A. 最小正周期為T=2p B. 關(guān)于點直線 對稱 C. 關(guān)于直線對稱 D. 在區(qū)間上為減函數(shù) 【答案】C 【解析】 【詳解】函數(shù) . 可知函數(shù)的最小正周期為; ,為函數(shù)的最大值,所以直線為函數(shù)的對稱軸. 故選C. 【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡,用到了兩角和的余弦展開及二倍角公式,以及正弦型三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 11.在矩形中,,沿將矩形折疊,其正視圖和俯視圖如圖所示. 此時連結(jié)頂點形成三棱錐,則其側(cè)視圖的面積為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 12.已知函數(shù)若當方程有四個不等實根,,,()時,不等式恒成立,則實數(shù)的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析:當時,,所以,由此畫出函數(shù)的圖象如下圖所示,由于,故.且.所以,,由分離參數(shù)得,,令,則上式化為,即,此方程有實數(shù)根,判別式大于或等于零,即,解得,所以,故選B. 考點:分段函數(shù)與不等式. 【思路點晴】本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.第一步是根據(jù)題意求完整的解析式,由于第二段函數(shù)是用對應(yīng)法則來表示,注意到當時,,所以,由此求得函數(shù)的表達式并畫出圖象,根據(jù)圖象的對稱性可知,且.第二步用分離常數(shù)的方法,分離常數(shù),然后利用求值域的方法求得的最小值. 二、填空題(本大題共4小題,共20.0分) 13.若,則_______ . 【答案】1 【解析】 【分析】 由計算求解即可. 【詳解】由. 解得或-2(舍) 故答案為:1. 【點睛】本題主要考查了定積分的計算,屬于基礎(chǔ)題. 14.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點,G,H,I,J分別為AF,AD,BE、DE的中點將沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,GH與IJ所成角的度數(shù)為______. 【答案】. 【解析】 【分析】 將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后,則IJ∥側(cè)棱,故GH與IJ所成角與側(cè)棱與GH所成的角相等.AD為折成三棱錐的側(cè)棱,則GH與IJ所成角的度數(shù)為60. 【詳解】將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐以后, I、J分別為BE、DE的中點,則IJ∥側(cè)棱, 故GH與IJ所成角與側(cè)棱與GH所成的角相等; AD為折成三棱錐的側(cè)棱,因為∠AHG=60, 故GH與IJ所成角的度數(shù)為60, 故答案為:60. 【點睛】本題主要考查異面直線的角度及余弦值計算.解題時要認真審題,仔細解答,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用. 15.在中,,,則在方向上的投影是__________. 【答案】 【解析】 △ABC中,∵, ∴ , ∴, ∴ ; 又AB=3,AC=4, ∴在方向上的投影是-4; 如圖所示. 故選:C. 點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目. 16.用表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù),例如:9的因數(shù)有1,3,9,,10的因數(shù)有1,2,5,10,,那么______. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題中對g(n)的定義,判斷出g(n)=g(2n),且若n為奇數(shù)則g(n)=n,利用等差數(shù)列的前n項和公式及逐差累加的方法及等比數(shù)列的前n項和公式求出g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n﹣1),令n=2xx﹣1求出g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2xx﹣1). 【詳解】由g(n)的定義易知g(n)=g(2n),且若n為奇數(shù)則g(n)=n, 令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n﹣1), 則f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n+1﹣1)=1+3+…+(2n+1﹣1)+g(2)+g(4)+…+g(2n+1﹣2) g(1)+g(2)+…+g(2n+1﹣2)=4n+f(n), 即f(n+1)﹣f(n)=4n, 分別取n為1,2,…,n并累加得f(n+1)﹣f(1)=4+42+…+4n(4n﹣1), 又f(1)=g(1)=1,所以f(n+1)(4n﹣1)+1, 所以f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n﹣1)(4n﹣1﹣1)+1, 令n=2xx﹣1,得: g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2xx﹣1)(4xx﹣1﹣1)+1. 故答案為:. 【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式、等比數(shù)列的前n項和公式、逐差累加的方法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題. 三、解答題(本大題共6小題,共70.0分) 17.數(shù)列的前項和為,滿足,等比數(shù)列滿足. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)若,求數(shù)列的前項和. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)由,時,即可得; (2)先求出,由為等比數(shù)列可得,從而得,再利用等比數(shù)列求和公式求解即可. 【詳解】(1)由,得; 當時,, 因為滿足上式,所以. (2)等比數(shù)列滿足, 所以公比為,所以. . 所以數(shù)列的前項和. 【點睛】本題主要考查了利用求數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式,屬于基礎(chǔ)題. 18.如圖,在直三棱柱中,,,,,M是棱的中點, 求證:; 求直線AM與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)見解析(2) 【解析】 【分析】 (1)由題意利用幾何體的垂直關(guān)系建立直角坐標系,求對應(yīng)向量的數(shù)量積為零,即得出垂直; (2)在(1)的坐標系中,求出面AA1B1B的法向量,再利用對應(yīng)向量的數(shù)量積求余弦值的絕對值,即為所求. 【詳解】 如圖,以B為原點,BA、所在直線為y軸、z軸建立空間直角坐標系, 則0,,2,,2,,, ,, , 即,; 軸面,面的法向量取0,, 設(shè)直線AM與平面所成角為, , 直線AM與平面所成角的正弦值為. 【點睛】本題考查了線線垂直和線面角,利用幾何體垂直關(guān)系建立坐標系,再利用對應(yīng)向量的數(shù)量積證明線線垂直和求解線面角的正弦值,這是立體幾何中常用的一種方法. 19.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足. 求角A的大小; 若D為BC上一點,且滿足,,,求a. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理將變化為角,再利用兩角和的正弦展開化簡可得,從而得解; (2)由條件可得,兩邊平方可得,再由余弦定理可得,從而可得解. 【詳解】(1)由正弦定理,可得:, 即,由,可得. 由為的內(nèi)角,所以. (2)由,可得. 將上式平方可得:. 解得. 由余弦定理可得. 所以. 【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理求解三角形,涉及到了向量基本運算,屬于中檔題. 20.等差數(shù)列的前n項和為,,且成等比數(shù)列,. Ⅰ求數(shù)列的通項公式; Ⅱ令,數(shù)列的前n項和為,若對于任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)或 【解析】 【分析】 (Ⅰ)通過設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,并用首項和公差d表示其他項,通過聯(lián)立方程組計算即得結(jié)論; (Ⅱ)通過(I),裂項可知{bn}的通項公式,進而并項相加即得結(jié)論. 【詳解】解:Ⅰ設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 由,得 即, 解得:,或, 當,時,沒有意義, ,, 此時 Ⅱ由可知, . . , , 為滿足題意,必須,或 【點睛】本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查裂項相消法,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題. 21.已知函數(shù). (1)當時,求函數(shù)的圖象在處的切線方程; (2)若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù). ①求最大整數(shù)值; ②證明:. 【答案】(1);(2)①2;②見解析. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為,再根據(jù)點斜式求切線方程(2)①先轉(zhuǎn)化條件為恒成立,再根據(jù),得當時,恒成立.最后舉反例說明當時,不恒成立.②對應(yīng)要證不等式,在中取,得,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得左邊和為,顯然. 試題解析:(1)當時,,∴, 又,∴, 則所求切線方程為,即. (2)由題意知,, 若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù),則恒成立. ①先證明.設(shè),則, 則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, ∴,即. 同理可證,∴,∴. 當時,恒成立. 當時,,即不恒成立. 綜上所述,的最大整數(shù)值為2. ②由①知,,令, ∴,∴. 由此可知,當時,.當時,, 當時,,,當時,. 累加得. 又, ∴. 22.已知函數(shù) (Ⅰ)當a=1時,求不等式的解集; (Ⅱ)若的解集包含,求的取值范圍. 【答案】(1);(2) 【解析】 試題分析:(1)當a=1時,不等式可化為,然后再進行分段,即可求出不等式的解集;(2)的解集包含,不等式可化為,解得,由已知得,據(jù)此即可求出結(jié)果. 試題解析:(1)當a=1時,不等式可化為, ①當時,不等式為,解得,故; ②當時,不等式為,解得,故; ③當時,不等式為,解得,故. 綜上,原不等式的解集為. (2)的解集包含,不等式可化為,解得,由已知得,解得,所以a的取值范圍是. 考點:1.絕對值不等式的解法;2.集合的包含關(guān)系.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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