人教初中數學人教版第12章 全等三角形 測試卷（3）

111第12章 全等三角形 測試卷（3）一、選擇題1如圖，已知等邊ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DEBC于E，FGBC于G，DF交BC于點P，則下列結論：BE=CG；EDPGFP；EDP=60°；EP=1中，一定正確的是（）A BC D二、填空題2如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQ=AE，則AP等于cm3如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G若G是CD的中點，則BC的長是4如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CFBE，垂足為F，連接OF，則OF的長為5如圖，點B、E、C、F在一條直線上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=6已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上且坐標是（0，2），點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是7如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CFEG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH若BH=8，則FG=8如圖，已知ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80°，則BCA的度數為9如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，則BD的長為10如圖，在ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊ACD和等邊BCE設ACD、BCE、ABC的面積分別是S1、S2、S3，現有如下結論：S1：S2=AC2：BC2；連接AE，BD，則BCDECA；若ACBC，則S1S2=S32其中結論正確的序號是三、解答題11如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線延長線上，AE=CF，DEBF，1=2（1）求證：AEDCFB；（2）若ADCD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由12如圖，ABC中，AB=AC，BAC=40°，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°得到ADE，連接BD，CE交于點F（1）求證：ABDACE；（2）求ACE的度數；（3）求證：四邊形ABFE是菱形13如圖，已知ABC是等腰三角形，頂角BAC=（60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF（1）求證：BE=CD；（2）若ADBC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明14如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F，連結BE，CF（1）請你添加一個條件，使得BEHCFH，你添加的條件是，并證明（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由15如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P（1）求證：CE=BF；（2）求BPC的度數16在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MNBC，過點B為一銳角頂點作RtBDE，BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合），如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP（無需寫證明過程）（1）在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明17如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF求證：OE=OF18如圖，在RtABC中，C=90°，A的平分線交BC于點E，EFAB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AFBF）（1）求證：ACEAFE；（2）求tanCAE的值19探究：如圖，在ABC中，AB=AC，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，AE，求證：ACECBD應用：如圖，在菱形ABCF中，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，EA，延長EA交CD于點G，求CGE的度數20如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE求證：PDC=PEC21如圖，已知ABC中AB=AC（1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：E=ACF22（1）如圖1，點E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求證：A=D（2）如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網格中，ABC的頂點均在格點上sinB的值是；畫出ABC關于直線l對稱的A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對應），連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積23在平面內正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M求證：（1）BH=DE（2）BHDE24如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G若BC=4，EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積25如圖，在等邊ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CFAB交直線DN于點F（1）當點D在線段BC上，NDB為銳角時，如圖，求證：CF+BE=CD；（提示：過點F作FMBC交射線AB于點M）（2）當點D在線段BC的延長線上，NDB為銳角時，如圖；當點D在線段CB的延長線上，NDB為鈍角時，如圖，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明；（3）在（2）的條件下，若ADC=30°，SABC=4，則BE=，CD=26如圖所示，已知1=2，請你添加一個條件，證明：AB=AC（1）你添加的條件是；（2）請寫出證明過程27如圖1，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，在BC的同側作任意RtDBC，BDC=90°（1）若CD=2BD，M是CD中點（如圖1），求證：ADBAMC；下面是小明的證明過程，請你將它補充完整：證明：設AB與CD相交于點O，BDC=90°，BAC=90°，DOB+DBO=AOC+ACO=90°DOB=AOC，DBO=M是DC的中點，CM=CD=又AB=AC，ADBAMC（2）若CDBD（如圖2），在BD上是否存在一點N，使得ADN是以DN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請在圖2中確定點N的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由；（3）當CDBD時，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數量關系？請直接寫出28如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AEBF，垂足為點G求證：AE=BF29如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55°，求EGC的大小30如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E在ABC外有一點F，使FAAE，FCBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME求證：MEBC；DE=DN參考答案與試題解析一、選擇題1如圖，已知等邊ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DEBC于E，FGBC于G，DF交BC于點P，則下列結論：BE=CG；EDPGFP；EDP=60°；EP=1中，一定正確的是（）ABCD【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質【分析】由等邊三角形的性質可以得出DEBFGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出DEPFGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，從而得出結論【解答】解：ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，A=B=ACB=60°ACB=GCF，DEBC，FGBC，DEB=FGC=DEP=90°在DEB和FGC中，DEBFGC（AAS），BE=CG，DE=FG，故正確；在DEP和FGP中，DEPFGP（AAS），故正確；PE=PGEDP=GFP60°，故錯誤；PG=PC+CG，PE=PC+BEPE+PC+BE=2，PE=1故正確正確的有，故選D【點評】本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵二、填空題2如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQ=AE，則AP等于1或2cm【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質；解直角三角形【專題】分類討論【分析】根據題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到PFA=DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據AM的長，利用銳角三角函數定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP的長即可【解答】解：根據題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點N，四邊形ABCD為正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30°，AD=3cm，tan30°=，即DE=cm，根據勾股定理得：AE=2cm，M為AE的中點，AM=AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30°，PNDC，PFA=DEA=60°，PMF=90°，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30°，cos30°=，AP=2cm；由對稱性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm故答案為：1或2【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵3如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G若G是CD的中點，則BC的長是7【考點】全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質【專題】幾何圖形問題【分析】根據線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明DEG和CFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=CF，EG=FG，設DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據矩形的對邊相等可得BC=AD【解答】解：矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8，CG=DG=×8=4，在DEG和CFG中，DEGCFG（ASA），DE=CF，EG=FG，設DE=x，則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，在RtDEG中，EG=，EF=2，FH垂直平分BE，BF=EF，4+2x=2，解得x=3，AD=AE+DE=4+3=7，BC=AD=7故答案為：7【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，勾股定理，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵4如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CFBE，垂足為F，連接OF，則OF的長為【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質【專題】計算題；幾何圖形問題【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明OBGOCF，則OG=OF，BOG=COF，得出等腰直角三角形GOF，在RTBCE中，根據射影定理求得GF的長，即可求得OF的長【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，RTBCE中，CFBE，EBC=ECF，OBC=OCD=45°，OBG=OCF，在OBG與OCF中OBGOCF（SAS）OG=OF，BOG=COF，OGOF，在RTBCE中，BC=DC=6，DE=2EC，EC=2，BE=2，BC2=BFBE，則62=BF，解得：BF=，EF=BEBF=，CF2=BFEF，CF=，GF=BFBG=BFCF=，在等腰直角OGF中OF2=GF2，OF=故答案為：【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應用5如圖，點B、E、C、F在一條直線上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=6【考點】全等三角形的判定與性質【專題】幾何圖形問題【分析】根據題中條件由SAS可得ABCDEF，根據全等三角形的性質可得AC=DF=6【解答】證明：ABDE，B=DEFBE=CF，BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS），AC=DF=6故答案是：6【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，應熟練掌握全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件6已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上且坐標是（0，2），點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是【考點】全等三角形的判定與性質；規(guī)律型：點的坐標；正方形的性質；相似三角形的判定與性質【專題】規(guī)律型【分析】根據勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長為=，根據相似三角形的性質可得后面正方形的邊長依次是前面正方形邊長的，依次得到第2014個正方形和第2014個正方形的邊長，進一步得到點A2014到x軸的距離【解答】解：如圖，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1B2C2B3C3，B1OC1B2E2C2B3E4C3，B1OC1C1E1D1，B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=，B2014E4016=，作A1Ex軸，延長A1D1交x軸于F，則C1D1FC1D1E1，=，在RtOB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的邊長為為=，D1F=，A1F=，A1ED1E1，=，A1E=3，=，點A2014到x軸的距離是×=故答案為：【點評】此題主要考查了正方形的性質以及解直角三角形的知識，得出正方形各邊長是解題關鍵7如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CFEG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH若BH=8，則FG=5【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質；相似三角形的判定與性質【專題】幾何圖形問題；壓軸題【分析】如解答圖，連接CG，首先證明CGDCEB，得到GCE是等腰直角三角形；過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，進而證明HEMHCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度；最后利用相似三角形RtHCNRtGFH，求出FG的長度【解答】解：如圖所示，連接CG在CGD與CEB中CGDCEB（SAS），CG=CE，GCD=ECB，GCE=90°，即GCE是等腰直角三角形又CHGE，CH=EH=GH過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則MHN=90°，又EHC=90°，1=2，HEM=HCN在HEM與HCN中，HEMHCN（ASA）HM=HN，四邊形MBNH為正方形BH=8，BN=HN=4，CN=BCBN=64=2在RtHCN中，由勾股定理得：CH=2GH=CH=2HMAG，1=3，2=3又HNC=GHF=90°，RtHCNRtGFH，即，FG=5故答案為：5【點評】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點，難度較大作出輔助線構造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關鍵8如圖，已知ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80°，則BCA的度數為60°【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質【專題】幾何圖形問題【分析】可證明CODCOB，得出D=CBO，再根據BAC=80°，得BAD=100°，由角平分線可得BAO=40°，從而得出DAO=140°，根據AD=AO，可得出D=20°，即可得出CBO=20°，則ABC=40°，最后算出BCA=60°【解答】解：ABC三個內角的平分線交于點O，ACO=BCO，在COD和COB中，CODCOB，D=CBO，BAC=80°，BAD=100°，BAO=40°，DAO=140°，AD=AO，D=20°，CBO=20°，ABC=40°，BCA=60°，故答案為：60°【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決此題的關鍵9如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，則BD的長為【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形【專題】計算題；壓軸題【分析】根據等式的性質，可得BAD與CAD的關系，根據SAS，可得BAD與CAD的關系，根據全等三角形的性質，可得BD與CD的關系，根據勾股定理，可得答案【解答】解：作ADAD，AD=AD，連接CD，DD，如圖：BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD與CAD中，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90°由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90°由勾股定理得CD=，BD=CD=，故答案為：【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，勾股定理，作出全等圖形是解題關鍵10如圖，在ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊ACD和等邊BCE設ACD、BCE、ABC的面積分別是S1、S2、S3，現有如下結論：S1：S2=AC2：BC2；連接AE，BD，則BCDECA；若ACBC，則S1S2=S32其中結論正確的序號是【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷；根據SAS即可求得全等；根據面積公式即可判斷【解答】S1：S2=AC2：BC2正確，解：ADC與BCE是等邊三角形，ADCBCE，S1：S2=AC2：BC2BCDECA正確，證明：ADC與BCE是等邊三角形，ACD=BCE=60°ACD+ACB=BCE+ACD，即ACE=DCB，在ACE與DCB中，BCDECA（SAS）若ACBC，則S1S2=S32正確，解：設等邊三角形ADC的邊長=a，等邊三角形BCE邊長=b，則ADC的高=a，BCE的高=b，S1=aa=a2，S2=bb=b2，S1S2=a2b2=a2b2，S3=ab，S32=a2b2，S1S2=S32【點評】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質是解題的關鍵三、解答題11如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線延長線上，AE=CF，DEBF，1=2（1）求證：AEDCFB；（2）若ADCD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的判定【專題】證明題【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得E=F，再利用“角角邊”證明AED和CFB全等即可；（2）根據全等三角形對應邊相等可得AD=BC，DAE=BCF，再求出DAC=BCA，然后根據內錯角相等，兩直線平行可得ADBC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答【解答】（1）證明：DEBF，E=F，在AED和CFB中，AEDCFB（AAS）；（2）解：四邊形ABCD是矩形理由如下：AEDCFB，AD=BC，DAE=BCF，DAC=BCA，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形，又ADCD，四邊形ABCD是矩形【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定，平行四邊形的判定以及平行四邊形與矩形的聯系，熟記各圖形的判定方法和性質是解題的關鍵12如圖，ABC中，AB=AC，BAC=40°，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°得到ADE，連接BD，CE交于點F（1）求證：ABDACE；（2）求ACE的度數；（3）求證：四邊形ABFE是菱形【考點】全等三角形的判定與性質；菱形的判定；旋轉的性質【專題】證明題【分析】（1）根據旋轉角求出BAD=CAE，然后利用“邊角邊”證明ABD和ACE全等（2）根據全等三角形對應角相等，得出ACE=ABD，即可求得（3）根據對角相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形ABFE是平行四邊形，然后依據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得【解答】（1）證明：ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°，BAC=DAE=40°，BAD=CAE=100°，又AB=AC，AB=AC=AD=AE，在ABD與ACE中ABDACE（SAS）（2）解：CAE=100°，AC=AE，ACE=（180°CAE）=（180°100°）=40°；（3）證明：BAD=CAE=100°AB=AC=AD=AE，ABD=ADB=ACE=AEC=40°BAE=BAD+DAE=140°，BFE=360°BAEABDAEC=140°，BAE=BFE，四邊形ABFE是平行四邊形，AB=AE，平行四邊形ABFE是菱形【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質、旋轉的性質以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵13如圖，已知ABC是等腰三角形，頂角BAC=（60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF（1）求證：BE=CD；（2）若ADBC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明【考點】全等三角形的判定與性質；菱形的判定；旋轉的性質【專題】證明題【分析】（1）根據旋轉可得BAE=CAD，從而SAS證明ACDABE，得出答案BE=CD；（2）由ADBC，SAS可得ACDABEABD，得出BE=BD=CD，EBF=DBF，再由EFBC，DBF=EFB，從而得出EBF=EFB，則EB=EF，證明得出四邊形BDFE為菱形【解答】證明：（1）ABC是等腰三角形，頂角BAC=（60°），線段AD繞點A順時針旋轉到AE，AB=AC，BAE=CAD，在ACD和ABE中，ACDABE（SAS），BE=CD；（2）ADBC，BD=CD，BE=BD=CD，BAD=CAD，BAE=BAD，在ABD和ABE中，ABDABE（SAS），EBF=DBF，EFBC，DBF=EFB，EBF=EFB，EB=EF，BD=BE=EF=FD，四邊形BDFE為菱形【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及菱形的判定、旋轉的性質14如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F，連結BE，CF（1）請你添加一個條件，使得BEHCFH，你添加的條件是EH=FH，并證明（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的判定【專題】幾何綜合題；分類討論【分析】（1）根據全等三角形的判定方法，可得出當EH=FH，BECF，EBH=FCH時，都可以證明BEHCFH，（2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形【解答】（1）答：添加：EH=FH，證明：點H是BC的中點，BH=CH，在BEH和CFH中，BEHCFH（SAS）；（2）解：BH=CH，EH=FH，四邊形BFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形），當BH=EH時，則BC=EF，平行四邊形BFCE為矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形）【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，是基礎題，難度不大15如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P（1）求證：CE=BF；（2）求BPC的度數【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質【分析】（1）欲證明CE=BF，只需證得BCEABF；（2）利用（1）中的全等三角形的性質得到BCE=ABF，則由圖示知PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60°，即PBC+PCB=60°，所以根據三角形內角和定理求得BPC=120°【解答】（1）證明：如圖，ABC是等邊三角形，BC=AB，A=EBC=60°，在BCE與ABF中，BCEABF（SAS），CE=BF；（2）解：由（1）知BCEABF，BCE=ABF，PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60°，即PBC+PCB=60°，BPC=180°60°=120°即：BPC=120°【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件16在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MNBC，過點B為一銳角頂點作RtBDE，BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合），如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP（無需寫證明過程）（1）在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的性質【專題】幾何綜合題【分析】（1）如答圖2，作輔助線，構造全等三角形BDFPDA，可以證明BD=DP；（2）如答圖3，作輔助線，構造全等三角形BDFPDA，可以證明BD=DP【解答】題干引論：證明：如答圖1，過點D作DFMN，交AB于點F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF1+FDP=90°，FDP+2=90°，1=2在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（1）答：BD=DP成立證明：如答圖2，過點D作DFMN，交AB的延長線于點F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF1+ADB=90°，ADB+2=90°，1=2在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（2）答：BD=DP證明：如答圖3，過點D作DFMN，交AB的延長線于點F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、平行線的性質等知識點，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵17如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF求證：OE=OF【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的性質【專題】證明題【分析】欲證明OE=OF，只需證得ODEOCF即可【解答】證明：如圖，四邊形ABCD是矩形，ADC=BCD=90°，AC=BD，OD=BD，OC=AC，OD=OC，ODC=OCD，ADCODC=BCDOCD，即EDO=FCO，在ODE與OCF中，ODEOCF（SAS），OE=OF【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件18如圖，在RtABC中，C=90°，A的平分線交BC于點E，EFAB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AFBF）（1）求證：ACEAFE；（2）求tanCAE的值【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；銳角三角函數的定義【專題】證明題【分析】（1）根據角的平分線的性質可求得CE=EF，然后根據直角三角形的判定定理求得三角形全等（2）由ACEAFE，得出AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；【解答】（1）證明：AE是BAC的平分線，ECAC，EFAF，CE=EF，在RtACE與RtAFE中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，解法一：C=EFB=90°，EFBACB，=，CE=EF，=；解法二：在RTABC中，tanB=，在RTEFB中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；tanCAE=【點評】本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數解直角三角形，根據已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵19探究：如圖，在ABC中，AB=AC，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，AE，求證：ACECBD應用：如圖，在菱形ABCF中，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，EA，延長EA交CD于點G，求CGE的度數【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質【專題】幾何圖形問題【分析】探究：先判斷出ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得BC=AC，ACB=ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可；應用：連接AC，易知ABC是等邊三角形，由探究可知ACE和CBD全等，根據全等三角形對應角相等可得E=D，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出CGE=ABC即可【解答】解：探究：AB=AC，ABC=60°，ABC是等邊三角形，BC=AC，ACB=ABC，BE=AD，BE+BC=AD+AB，即CE=BD，在ACE和CBD中，ACECBD（SAS）；應用：如圖，連接AC，易知ABC是等邊三角形，由探究可知ACECBD，E=D，BAE=DAG，E+BAE=D+DAG，CGE=ABC，ABC=60°，CGE=60°【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的性質，熟記性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵，（2）作輔助線構造出探究的條件是解題的關鍵20如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE求證：PDC=PEC【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質【專題】證明題【分析】根據正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對角線平分一組對角可得BCP=DCP，再利用“邊角邊”證明BCP和DCP全等，根據全等三角形對應角相等可得PDC=PBC，再根據等邊對等角可得PBC=PEC，從而得證【解答】證明：在正方形ABCD中，BC=CD，BCP=DCP，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS），PDC=PBC，PB=PE，PBC=PEC，PDC=PEC【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，等邊對等角的性質，熟記各性質并判斷出全等三角形是解題的關鍵21如圖，已知ABC中AB=AC（1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：E=ACF【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；作圖復雜作圖【專題】作圖題；證明題【分析】（1）以A為圓心，以AB長為半徑畫弧，與BD的延長線的交點即為點E，再以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與這一點作出射線與BE的交點即為所求的點F；（2）求出AE=AC，根據角平分線的定義可得EAF=CAF，再利用“邊角邊”證明AEF和ACF全等，根據全等三角形對應角相等可得E=ACF【解答】（1）解：如圖所示；（2）證明：AB=AC，AE=AB，AE=AC，AF是EAC的平分線，EAF=CAF，在AEF和ACF中，AEFACF（SAS），E=ACF【點評】本題考查了全等三角形的判斷與性質，等腰三角形的性質，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關鍵22（1）如圖1，點E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求證：A=D（2）如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網格中，ABC的頂點均在格點上sinB的值是；畫出ABC關于直線l對稱的A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對應），連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積【考點】全等三角形的判定與性質；作圖-軸對稱變換；銳角三角函數的定義【專題】網格型【分析】（1）根據全等三角形的判定與性質，可得答案；（2）根據正弦函數的定義，可得答案；根據軸對稱性質，可作軸對稱圖形，根據梯形的面積公式，可得答案【解答】（1）證明：BE=CF，BE+EF=CF+EF即BF=CE在ABF和DCE中，ABFDCE（SAS）A=D；（2）解：AC=3，BC=4，AB=5sinB=；如圖所示：由軸對稱性質得AA1=2，BB1=8，高是4，=20【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了等式的性質，全等三角形的判定與性質23在平面內正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M求證：（1）BH=DE（2）BHDE【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質【專題】證明題【分析】（1）根據正方形的性質可得BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90°，然后求出BCH=DCE，再利用“邊角邊”證明BCH和DCE全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）根據全等三角形對應角相等可得CBH=CDE，然后根據三角形的內角和定理求出DMB=BCD=90°，再根據垂直的定義證明即可【解答】證明：（1）在正方形ABCD與正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90°，BCD+DCH=ECH+DCH，即BCH=DCE，在BCH和DCE中，BCHDCE（SAS），BH=DE；（2）BCHDCE，CBH=CDE，又CGB=MGD，DMB=BCD=90°，BHDE【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟記性質并確定出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點24如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G若BC=4，EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；扇形面積的計算【分析】（1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得BE=CE；（2）由EB=EC，根據等腰三角形的性質得EBC=ECB=30°，則根據三角形內角和定理計算得BEC=120°，在RtBDE中，BD=BC=2，EBD=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到ED=BD=，然后根據扇形的面積公式求解【解答】（1）證明：點D是線段BC的中點，BD=CD，AB=AC=BC，ABC為等邊三角形，AD為BC的垂直平分線，BE=CE；（2）解：EB=EC，EBC=ECB=30°，BEC=120°，在RtBDE中，BD=BC=2，EBD=30°，ED=BDtan30°=BD=，陰影部分（扇形）的面積=【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具也考查了等邊三角形的判定與性質、相等垂直平分線的性質以及扇形的面積公式25如圖，在等邊ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CFAB交直線DN于點F（1）當點D在線段BC上，NDB為銳角時，如圖，求證：CF+BE=CD；（提示：過點F作FMBC交射線AB于點M）（2）當點D在線段BC的延長線上，NDB為銳角時，如圖；當點D在線段CB的延長線上，NDB為鈍角時，如圖，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明；（3）在（2）的條件下，若ADC=30°，SABC=4，則BE=8，CD=4或8【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質【專題】幾何綜合題【分析】（1）通過MEFCDA即可求得ME=CD，因為通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD；（2）作FMBC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得MEFCDA即可求得，（3）根據ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖CD=4圖CD=8，【解答】（1）證明：如圖，過點F作FMBC交射線AB于點M，CFAB，四邊形BMFC是平行四邊形，BC=MF，CF=BM，ABC=EMF，BDE=MFE，ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60°，BC=AC，EMF=ACB，AC=MF，ADN=60°，BDE+ADC=120°，ADC+DAC=120°，BDE=DAC，MFE=DAC，在MEF與CDA中，MEFCDA（AAS），CD=ME=EB+BM，CD=BE+CF（2）如圖，CF+CD=BE，如圖，CFCD=BE；（3）ABC是等邊三角形，SABC=4，易得AB=BC=AC=4，如圖，ADC=30°，ACB=60°，CD=AC=4，ADN=60°，CDF=30°，又CFAB，BCF=ABC=60°，CFD=CDF=30°，CD=CF，由（2）知BE=CF+CD，BE=4+4=8如圖，ADC=30°，ABC=60°，BAD=ADC=30°，BD=BA=4，CD=BD+BC=4+4=8，ADN=60°，ADC=30°，BDE=90°，又DBE=ABC=60°，DEB=30°，在RtBDE中，DEB=30°，BD=4，BE=2BD=8，綜上，BE=8，CD=4或8【點評】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等26如圖所示，已知1=2，請你添加一個條件，證明：AB=AC（1）你添加的條件是B=C；（2）請寫出證明過程【考點】全等三角形的判定與性質【專題】幾何綜合題【分析】（1）此題是一道開放型的題目，答案不唯一，如B=C或ADB=ADC等；（2）根據全等三角形的判定定理AAS推出ABDACD，再根據全等三角形的性質得出即可【解答】解：（1）添加的條件是B=C，故答案為：B=C；（2）證明：在ABD和ACD中，ABDACD（AAS），AB=AC【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等，對應邊相等27如圖1，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，在BC的同側作任意RtDBC，BDC=90°（