精校版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí)：第三講 三　排序不等式 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 [課時作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1其中x1x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A>B　　　　　　　 B．A<B C．A≥B D．A≤B 解析：依序列{xn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0<x1≤x2≤…≤xn則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 答案：C 2．某班學(xué)生要開聯(lián)歡

2、會，需要買價格不同的禮品4件、5件和2件，現(xiàn)在選擇商店中單價為3元、2元和1元的禮品，則花錢最少和最多的值分別為(　　) A．20,23 B．19,25 C．21,23 D．19,24 解析：最多為5×3＋4×2＋2×1＝25， 最少為5×1＋4×2＋2×3＝19，應(yīng)選B. 答案：B 3．銳角三角形中，設(shè)P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P、Q的關(guān)系為(　　) A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D．不能確定 解析：不妨設(shè)a≥b≥c，則A≥B≥C， ∴cos C≥cos B≥cos A，

3、 acos C＋bcos B＋ccos A為順序和， 由排序不等式定理，它不小于一切亂序和， 所以一定不小于P， ∴Q≥P. 答案：C 4．(1＋1)……的取值范圍是(　　) A．(21，＋∞) B．(61，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞) 解析：令A(yù)＝(1＋1)… ＝×××…×， B＝×××…×， C＝×××…×. 由于>>，>>，>>，…，>>>0， 所以A>B&g

4、t;C>0.所以A3>A·B·C. 由題意知3n－2＝61，所以n＝21. 又因?yàn)锳·B·C＝3n＋1＝64.所以A>4. 答案：C 5．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，將bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列記為c1，c2，c3，c4，c5，則a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是(　　) A．324 B．314 C．304 D．212 解析：兩組數(shù)據(jù)的順序和為a1b1＋a2b2＋…＋a5b5＝2×3＋7×4＋8&#

5、215;6＋9×10＋12×11＝304. 而a1c1＋a2c2＋…＋a5c5為這兩組數(shù)的亂序和， ∴由排序不等式可知，a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤304， 當(dāng)且僅當(dāng)ci＝bi(i＝1,2,3,4,5)時，a1c1＋a2c2＋…＋a5c5有最大值，最大值為304. 答案：C 6．已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________． 解析：由反序和≤亂序和≤順序和知，順序和最大，反序和最小，故最大值為32，最小值為28. 答案：32　28 7．兒子過生日要

6、老爸買價格不同的禮品1件、2件及3件，現(xiàn)在選擇商店中單價為13元、20元和10元的禮品，至少要花________錢． 解析：設(shè)a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)． 答案：76元 8．在Rt△ABC中，∠C為直角，A，B所對的邊分別為a，b， 則aA＋bB與(a＋b)的大小關(guān)系為________． 解析：不妨設(shè)a≥b>0， 則A≥B>0，由排序不等式 ?2(aA＋bB)≥a

7、(A＋B)＋b(A＋B)＝(a＋b) ∴aA＋bB≥(a＋b)． 答案：aA＋bB≥(a＋b) 9．設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：＋＋≤. 證明：設(shè)a≥b≥c>0， 則≥≥，則≥≥. 由不等式的性質(zhì)，知a5≥b5≥c5. 根據(jù)排序不等式，知 ＋＋≥＋＋＝＋＋. 又由不等式的性質(zhì)，知a2≥b2≥c2，≥≥. 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. 由不等式的傳遞性，知 ＋＋≤＋＋＝. ∴原不等式成立． 10．設(shè)0<a1≤a2≤…≤an,0<b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的一個排列． 求證：··…

8、·≥··…·≥··…·. 證明：∵0<a1≤a2≤…≤an，∴l(xiāng)n a1≤ln a2≤…≤ln an. 又∵0<b1≤b2≤…≤bn， 故由排序不等式可知b1ln a1＋b2ln a2＋…＋bnln an ≥c1ln a1＋c2ln a2＋…＋cnln an ≥bnln a1＋bn－1ln a2＋…＋b1lnan. [B組　能力提升] 1．已知a，b，c為正數(shù)，P＝，Q＝abc，則P、Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q 解析：不妨設(shè)a≥b

9、≥c>0， 則0<≤≤，0<bc≤ca≤ab， 由排序原理：順序和≥亂序和，得 ＋＋≥＋＋， 即≥a＋b＋c， ∵a，b，c為正數(shù)，∴abc>0，a＋b＋c>0， 于是≥abc，即P≥Q. 答案：B 2．已知a，b，c∈R＋，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負(fù)情況是(　　) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 解析：不妨設(shè)a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根據(jù)排序原理， 得a3·a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥

10、bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. ∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 3．設(shè)a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一個排序，則a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范圍是________． 解析：a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值為12＋22＋32＋42＝30. 最小值為1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20. ∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范圍是[20,30]． 答案：[20,30] 4．

11、已知：a＋b＋c＝1，a、b、c為正數(shù)，則＋＋的最小值是________． 解析：不妨設(shè)a≥b≥c， ∴≥≥. ∴＋＋≥＋＋ ① ＋＋≥＋＋ ② ①＋②得：＋＋≥， ∴＋＋≥. 答案： 5．設(shè)a1，a2，a3，a4∈R＋且a1＋a2＋a3＋a4＝6， 求＋＋＋的最小值． 解析：不妨設(shè)a1≥a2≥a3≥a4>0，則≥≥≥，a≥a≥a≥a， ∴＋＋＋是數(shù)組“，，，”和“a，a，a，a”的亂序和，而它們的反序和為·a＋·a＋·a＋·a＝a1＋a2＋a3＋a4＝6. ∴由排序不等式知當(dāng)a1＝a2＝a3＝a4＝

12、時，＋＋＋有最小值， 最小值為6. 6．設(shè)a，b，c為某一個三角形的三條邊，a≥b≥c，求證： (1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)； (2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc. 證明：(1)用比較法： c(a＋b－c)－b(c＋a－b) ＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2 ＝b2－c2＋ac－ab ＝(b＋c)(b－c)－a(b－c) ＝(b＋c－a)(b－c)． 因?yàn)閎≥c，b＋c－a>0， 于是c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0， 即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)． ① 同理可證b(

13、c＋a－b)≥a(b＋c－a)． ② 綜合①②，證畢． (2)由題設(shè)及(1)知， a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)， 于是由排序不等式：反序和≤亂序和，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c) ≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c) ＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)． ① 再一次由反序和≤亂序和，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c) ≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c) ＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋bc(b－c)． ② 將①和②相加再除以2，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc. 最新精品資料