二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文通用版講義：第一部分 第三層級(jí) 難點(diǎn)自選專(zhuān)題四　“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略 Word版含解析

難點(diǎn)自選專(zhuān)題四難點(diǎn)自選專(zhuān)題四 “函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略壓軸大題的搶分策略 全國(guó)卷全國(guó)卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份 全國(guó)卷全國(guó)卷 全國(guó)卷全國(guó)卷 全國(guó)卷全國(guó)卷 2018 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明性、不等式的證明 T21 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、函函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)的證明數(shù)零點(diǎn)的證明 T21 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明的證明 T21 2017 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值數(shù)與函數(shù)的最值 T21 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) T21 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值性、最值 T21 2016 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題性、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 T21 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 T20 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明性、不等式的證明 T21 導(dǎo)數(shù)日益成為解決問(wèn)題必不可少的工具， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值導(dǎo)數(shù)日益成為解決問(wèn)題必不可少的工具， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值最值)是高是高考的常見(jiàn)題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)考的常見(jiàn)題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn) 解答題的熱點(diǎn)題型有：解答題的熱點(diǎn)題型有： (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程根；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程根；(3)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值 考法考法 策略策略(一一) 利用分類(lèi)討論思想探究函數(shù)的性質(zhì)利用分類(lèi)討論思想探究函數(shù)的性質(zhì) 典例典例 設(shè)設(shè) f(x)xln xax2(2a1)x，aR R. (1)令令 g(x)f(x)，求，求 g(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)已知已知 f(x)在在 x1 處取得極大值，求實(shí)數(shù)處取得極大值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)由由 f(x)ln x2ax2a， 可得可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，) 所以所以 g(x)1x2a12axx. 當(dāng)當(dāng) a0，x(0，)時(shí)，時(shí)，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； 當(dāng)當(dāng) a0，x 0，12a時(shí)，時(shí)，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，x 12a， 時(shí)，時(shí)，g(x)0，函數(shù)函數(shù) g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 所以當(dāng)所以當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為(0，)； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為 0，12a，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 12a， . (2)由由(1)知，知，f(1)0. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 所以當(dāng)所以當(dāng) x(0,1)時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；單調(diào)遞減； 當(dāng)當(dāng) x(1，)時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 所以所以 f(x)在在 x1 處取得極小值，不合題意處取得極小值，不合題意 當(dāng)當(dāng) 0a12時(shí)，時(shí)，12a1， 由， 由(1)知知 f(x)在在 0，12a內(nèi)單調(diào)遞增， 可得當(dāng)內(nèi)單調(diào)遞增， 可得當(dāng) x(0,1)時(shí)，時(shí)， f(x)0，當(dāng)，當(dāng) x 1，12a時(shí)，時(shí)，f(x)0. 所以所以 f(x)在在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 1，12a內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞增， 所以所以 f(x)在在 x1 處取得極小值，不合題意處取得極小值，不合題意 當(dāng)當(dāng) a12時(shí)，時(shí)，12a1，f(x)在在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng) x(0，)時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意單調(diào)遞減，不合題意 當(dāng)當(dāng) a12時(shí)，時(shí)，012a1，當(dāng)，當(dāng) x 12a，1 時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)單單調(diào)遞增，當(dāng)調(diào)遞增，當(dāng) x(1，)時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 所以所以 f(x)在在 x1 處取極大值，符合題意處取極大值，符合題意 綜上可知，實(shí)數(shù)綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為 12， . 題后悟通題后悟通 分類(lèi)討論思想解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的策略分類(lèi)討論思想解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的策略 (1)何時(shí)討論參數(shù)？何時(shí)討論參數(shù)？ 在求解中， 若參數(shù)的取值影響所求結(jié)果， 就要分類(lèi)討論 如本例在求解中， 若參數(shù)的取值影響所求結(jié)果， 就要分類(lèi)討論 如本例(1)中由中由 g(x)12axx確定單調(diào)區(qū)間時(shí)，對(duì)確定單調(diào)區(qū)間時(shí)，對(duì) a 的取值要分類(lèi)討論的取值要分類(lèi)討論 (2)如何討論參數(shù)？如何討論參數(shù)？ 解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何分類(lèi)，解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何分類(lèi)，分類(lèi)時(shí)要結(jié)合題目條件，對(duì)參數(shù)取值范圍進(jìn)行劃分，分類(lèi)時(shí)要結(jié)合題目條件，對(duì)參數(shù)取值范圍進(jìn)行劃分，進(jìn)而研究其問(wèn)題如本例進(jìn)而研究其問(wèn)題如本例(2)中分類(lèi)的依據(jù)是中分類(lèi)的依據(jù)是12a與與 1 的大小比較的大小比較 應(yīng)用體驗(yàn)應(yīng)用體驗(yàn) 1(2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)1xxaln x. (1)討論討論 f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)若若 f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2， 證明：證明：f x1 f x2 x1x22，令，令 f(x)0， 得得 xa a242或或 xa a242. 當(dāng)當(dāng) x 0，a a242 a a242，時(shí)，時(shí)，f(x)0. 所以所以 f(x)在在 0，a a242， a a242，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在 a a242，a a242上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 (2)證明：由證明：由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)知，當(dāng)且僅當(dāng) a2 時(shí)，時(shí)，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)存在兩個(gè)極值點(diǎn) 由于由于 f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)的兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2滿(mǎn)足滿(mǎn)足 x2ax10， 所以所以 x1x21，不妨設(shè)，不妨設(shè) x11. 由于由于f x1 f x2 x1x21x1x21aln x1ln x2x1x2 2aln x1ln x2x1x22a2ln x21x2x2， 所以所以f x1 f x2 x1x2a2 等價(jià)于等價(jià)于1x2x22ln x20. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(x)1xx2ln x， 由由(1)知，知，g(x)在在(0，)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 又又 g(1)0，從而當(dāng)，從而當(dāng) x(1，)時(shí)，時(shí)，g(x)0. 所以所以1x2x22ln x20， 即即f x1 f x2 x1x20)， f(1)a10，解得，解得 a1， 當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，f(x)xxln x， 即即 f(x)ln x， 令令 f(x)0，解得，解得 x1； 令令 f(x)0，解得，解得 0 x1，即，即 m2， 當(dāng)當(dāng) 0 x1 時(shí)，時(shí)，f(x)x(1ln x)0 且且 x0 時(shí)，時(shí)，f(x)0； 當(dāng)當(dāng) x時(shí)，顯然時(shí)，顯然 f(x). 如圖，由圖象可知，如圖，由圖象可知，m10，即，即 m1， 由由可得可得2m1. 故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù) m 的取值范圍為的取值范圍為(2，1) 題后悟通題后悟通 轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的策略轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的策略 (1)直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫(huà)出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題即是函數(shù)圖象直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫(huà)出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題即是函數(shù)圖象與與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題 (2)分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為 ag(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù) g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值， 畫(huà)出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題即是直線(xiàn)出極值以及最值， 畫(huà)出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題即是直線(xiàn) ya 與函數(shù)與函數(shù) yg(x)圖象交點(diǎn)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題只需要用個(gè)數(shù)問(wèn)題只需要用 a 與函數(shù)與函數(shù) g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可如本例函數(shù)的極值和最值進(jìn)行比較即可如本例函數(shù) yf(x)m1的零點(diǎn)問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為 yf(x)與與 ym1 兩圖象的交點(diǎn)問(wèn)題兩圖象的交點(diǎn)問(wèn)題 應(yīng)用體驗(yàn)應(yīng)用體驗(yàn) 2已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax2ln x的圖象在的圖象在 xe 處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，e)，其中，其中 e2.718 28. (1)求求 a 的值；的值； (2)若函數(shù)若函數(shù) g(x)tf(x)x 在在 1e，1 (1，e2上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由題意，得函數(shù)由題意，得函數(shù) f(x)ax2ln x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,1)(1，) 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)ax 2ln x1 ln x 2，所以，所以 f(e)ae. 所以所以 f(x)的圖象在的圖象在 xe 處的切線(xiàn)方程為處的切線(xiàn)方程為 yf(e)f(e)(xe)， 即即 yae2ae(xe)，所以，所以 yeax. 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)的圖象在的圖象在 xe 處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，e)， 所以所以 a1. (2)函數(shù)函數(shù) g(x)tf(x)x 在在 1e，1 (1，e2上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù) h(x)ln xx與與 yt 的的圖象在圖象在 1e，1 (1，e2上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 因?yàn)橐驗(yàn)?h(x)1ln xx2， 由由 h(x)0，得，得 0 xe 且且 x1； 由由 h(x)0，得，得 xe. 所以當(dāng)所以當(dāng) xe 時(shí)，時(shí)，h(x)有極大值，即為最大值有極大值，即為最大值 h(e)1e. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?h 1ee，h(e2)2e2，h(1)0 且且2e20e， 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) t 的取值范圍為的取值范圍為 2e2，1e. 考法考法 策略策略(三三) 利用函數(shù)思想探究不等式問(wèn)題利用函數(shù)思想探究不等式問(wèn)題 典例典例 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ln xa(x1)，aR R 的圖象在的圖象在(1，f(1)處的切線(xiàn)與處的切線(xiàn)與 x 軸平行軸平行 (1)求求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)若存在若存在 x01，當(dāng)，當(dāng) x(1，x0)時(shí)，恒有時(shí)，恒有 f(x)x222x12k(x1)成立，求成立，求 k 的取值的取值 范圍范圍 解解 (1)由已知可得由已知可得 f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0，) f(x)1xa，f(1)1a0，a1， f(x)1x11xx， 令令 f(x)0，得，得 0 x1；令；令 f(x)0，得，得 x1， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，) (2)由由(1)知知 f(x)ln xx1，不等式，不等式 f(x)x222x12k(x1)可化為可化為 ln xx22x12k(x1)， 令令 g(x)ln xx22x12k(x1)， 則則 g(x)1xx1kx2 1k x1x. 令令 h(x)x2(1k)x1， 則則 h(x)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x1k2， 當(dāng)當(dāng)1k21，即，即 k1 時(shí)，易知時(shí)，易知 h(x)在在(1，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， x(1，)時(shí)，時(shí)，h(x)h(1)1k， 若若 k1，則，則 h(x)0，g(x)0，g(x)在在(1，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， g(x)g(1)0，不符合題意，不符合題意 若若1k1，則，則 h(1)0，存在存在 x01，使得，使得 x(1，x0)時(shí)，時(shí)，h(x)0，即，即 g(x)0， g(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， g(x)g(1)0 恒成立，符合題意恒成立，符合題意 當(dāng)當(dāng)1k21，即，即 k1 時(shí)，易知存在時(shí)，易知存在 x01， 使得使得 h(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， h(x)h(1)1k0，g(x)0， g(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， g(x)g(1)0 恒成立，符合題意恒成立，符合題意 綜上，綜上，k 的取值范圍是的取值范圍是(，1) 題后悟通題后悟通 函數(shù)思想解決不等式問(wèn)題的策略函數(shù)思想解決不等式問(wèn)題的策略 移項(xiàng)法移項(xiàng)法 證明不等式證明不等式 f(x)g(x)(f(x)g(x)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù) h(x)f(x)g(x)(如本例如本例) 構(gòu)造構(gòu)造“形似形似” 函數(shù)函數(shù) 對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù) 主元法主元法 對(duì)于對(duì)于(或可化為或可化為)f(x1，x2)A 的不等式，可選的不等式，可選 x1(或或 x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)為主元，構(gòu)造函數(shù) f(x，x2)(或或 f(x1，x) 應(yīng)用體驗(yàn)應(yīng)用體驗(yàn) 3(2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)aexln x1. (1)設(shè)設(shè) x2 是是 f(x)的極值點(diǎn)，求的極值點(diǎn)，求 a，并求，并求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當(dāng)證明：當(dāng) a1e時(shí)，時(shí)，f(x)0. 解：解：(1)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0，)，f(x)aex1x. 由題設(shè)知，由題設(shè)知，f(2)0，所以，所以 a12e2. 從而從而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x. 可知可知 f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，又上單調(diào)遞增，又 f(2)0， 所以當(dāng)所以當(dāng) 0 x2 時(shí)，時(shí)，f(x)2 時(shí)，時(shí)，f(x)0. 所以所以 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)， 單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(2，) (2)證明：當(dāng)證明：當(dāng) a1e時(shí)，時(shí)，f(x)exeln x1. 設(shè)設(shè) g(x)exeln x1，則，則 g(x)exe1x. 可知可知 g(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，且上單調(diào)遞增，且 g(1)0， 所以當(dāng)所以當(dāng) 0 x1 時(shí)，時(shí)，g(x)1 時(shí)，時(shí)，g(x)0. 所以所以 x1 是是 g(x)的最小值點(diǎn)的最小值點(diǎn) 故當(dāng)故當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，g(x)g(1)0. 因此，當(dāng)因此，當(dāng) a1e時(shí)，時(shí)，f(x)0.