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二輪復(fù)習數(shù)學理普通生通用版講義:第一部分 第三層級 高考5個大題 題題研訣竅 圓錐曲線問題巧在“設(shè)”、難在“算” Word版含解析

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二輪復(fù)習數(shù)學理普通生通用版講義:第一部分 第三層級 高考5個大題 題題研訣竅 圓錐曲線問題巧在“設(shè)”、難在“算” Word版含解析

思維流程思維流程找突破口找突破口 技法指導技法指導遷移搭橋遷移搭橋 圓錐曲線解答題的常見類型是: 第圓錐曲線解答題的常見類型是: 第(1)小題通常是根據(jù)已小題通常是根據(jù)已知條件,求曲線方程或離心率,一般比較簡單第知條件,求曲線方程或離心率,一般比較簡單第(2)小題往往是通過方程研究曲線的性質(zhì)小題往往是通過方程研究曲線的性質(zhì)弦長問題、 中弦長問題、 中點弦問題、 動點軌跡問題、 定點與定值問題、 最值問題、點弦問題、 動點軌跡問題、 定點與定值問題、 最值問題、相關(guān)量的取值范圍問題等等,這一小題綜合性較強,可相關(guān)量的取值范圍問題等等,這一小題綜合性較強,可通過巧通過巧設(shè)設(shè)“點點”“”“線線”,設(shè)而不求在具體求解時,可,設(shè)而不求在具體求解時,可將整個解題過程分成程序化的三步:將整個解題過程分成程序化的三步: 第一步,聯(lián)立兩個方程,并將消元所得方程的判別式與第一步,聯(lián)立兩個方程,并將消元所得方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出;根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出; 第二步,用兩個交點的同一類坐標的和與積,來表示題第二步,用兩個交點的同一類坐標的和與積,來表示題目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系; 第三步,求解轉(zhuǎn)化而來的代數(shù)問題,并將結(jié)果回歸到原第三步,求解轉(zhuǎn)化而來的代數(shù)問題,并將結(jié)果回歸到原幾何問題中幾何問題中 在求解時,要根據(jù)題目特征,恰當?shù)脑O(shè)點、設(shè)線,選用在求解時,要根據(jù)題目特征,恰當?shù)脑O(shè)點、設(shè)線,選用恰當運算方法,合理地簡化運算恰當運算方法,合理地簡化運算. 典例典例 (2018 廣州高中綜合測試廣州高中綜合測試)已知圓已知圓(x 3)2y216 的圓心為的圓心為 M, 點, 點 P 是圓是圓M 上的動點,點上的動點,點 N( 3,0),點,點 G 在線段在線段 MP 上,且滿足上,且滿足(GN GP )(GN GP ) (1)求點求點 G 的軌跡的軌跡 C 的方程;的方程; (2)過點過點 T(4,0)作斜率不為作斜率不為 0 的直線的直線 l 與軌跡與軌跡 C 交于交于 A, B 兩點, 點兩點, 點 A 關(guān)于關(guān)于 x 軸的對稱點軸的對稱點為為 D,連接,連接 BD 交交 x 軸于點軸于點 Q Q,求,求ABQ Q 面積的最大值面積的最大值 快審題快審題 求什么求什么 想什么想什么 求軌跡方程,想到求軌跡方程的方法求軌跡方程,想到求軌跡方程的方法 求三角形面積的最值,想到表示出三角形面積的式子求三角形面積的最值,想到表示出三角形面積的式子 給什么給什么 用什么用什么 給出向量垂直關(guān)系,用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段相等給出向量垂直關(guān)系,用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段相等 給出直線給出直線l l的條件,應(yīng)設(shè)出直線方程,與的條件,應(yīng)設(shè)出直線方程,與C C的方程聯(lián)立方程組的方程聯(lián)立方程組 差什么差什么 找什么找什么 差三角形的高,應(yīng)先找差三角形的高,應(yīng)先找 Q Q 點的坐標,即求出點的坐標,即求出 BD 的直線方程的直線方程. 穩(wěn)解題穩(wěn)解題 (1)因為因為(GN GP )(GN GP ), 所以所以(GN GP ) (GN GP )0,即,即GN 2 GP 20, 所以所以|GP|GN|, 所以所以|GM|GN|GM|GP|MP|42 3|MN|, 所以點所以點 G 在以在以 M,N 為焦點,長軸長為為焦點,長軸長為 4 的橢圓上的橢圓上, 設(shè)橢圓的方程為設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0), 則則 2a4,2c2 3, 即即 a2,c 3,所以,所以 b2a2c21, 所以點所以點 G 的軌跡的軌跡 C 的方程為的方程為x24y21. (2)法一:法一:依題意可設(shè)直線依題意可設(shè)直線 l:xmy4. 由由 xmy4,x24y21消去消去 x,得,得(m24)y28my120. 設(shè)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), 由由64m2412(m24)16(m212)0, 得, 得m212. 且且 y1y28mm24, y1y212m24. 因為點因為點 A 關(guān)于關(guān)于 x 軸的對稱點為軸的對稱點為 D, 所以所以 D(x1,y1), 可設(shè)可設(shè) Q Q(x0,0), 所以所以 kBDy2y1x2x1y2y1m y2y1 , 所以所以 BD 所在直線的方程為所在直線的方程為 yy2y2y1m y2y1 (xmy24) 令令 y0,得,得 x02my1y24 y1y2 y1y2. 將將代入代入, 得得 x024m32m8m1, 所以點所以點 Q Q 的坐標為的坐標為(1,0) 因為因為 SABQ Q|STBQ QSTAQ Q| 12|Q QT|y2y1| 32 y1y2 24y1y26 m212m24, 令令 tm24,結(jié)合,結(jié)合得得 t16, 所以所以 SABQ Q6 t16t 616t21t616 1t1322164. 當且僅當當且僅當 t32,即,即 m 2 7時,時,(SABQ Q)max34. 所以所以ABQ Q 面積的最大值為面積的最大值為34. 法二:法二:依題意知直線依題意知直線 l 的斜率存在,設(shè)其方程為的斜率存在,設(shè)其方程為 yk(x4), A(x1,y1),B(x2,y2),Q Q(x0,0) 由對稱性知由對稱性知 D(x1,y1), 由由 yk x4 ,x24y21消去消去 y, 得得(4k21)x232k2x64k240. 由由 (32k2)24(4k21)(64k24)0, 得得 k2112, 且且 x1x232k24k21,x1x264k244k21. BQ Q (x0 x2,y2), DQ Q (x0 x1,y1) 由由 B,D,Q Q 三點共線知三點共線知BQ Q DQ Q , 故故(x0 x2)y1y2(x0 x1)0, 即即(x0 x2) k(x14)k(x24)(x0 x1)0. 整理得整理得 x02x1x24 x1x2 x1x28. 將將代入代入,得,得 x01,所以點,所以點 Q Q 的坐標為的坐標為(1,0) 因為點因為點 Q Q(1,0)到直線到直線 l 的距離為的距離為 d3|k|k21, |AB| 1k2 x1x2 24x1x2 4 1k2 112k24k21, 所以所以 SABQ Q12|AB| d6 k212k44k21. 令令 t4k21,則,則 k2t14, 結(jié)合結(jié)合得得 1tb0)的的右焦點右焦點 F,拋物線,拋物線 x24 3y 的焦點為橢圓的焦點為橢圓 C 的上頂點,且的上頂點,且 l 交橢圓交橢圓 C 于于 A,B 兩點,點兩點,點 A,F(xiàn),B 在直線在直線 x4 上的射影依次為上的射影依次為 D,K,E. (1)求橢圓求橢圓 C 的方程;的方程; (2)若直線若直線 l 交交 y 軸于點軸于點 M,且,且MA 1AF , MB 2BF ,當,當 m 變化時,證明:變化時,證明:12為定值;為定值; (3)當當 m 變化時,直線變化時,直線 AE 與與 BD 是否相交于定點?若是,請求出定點的坐標,并給予是否相交于定點?若是,請求出定點的坐標,并給予證明;否則,說明理由證明;否則,說明理由 解:解:(1)l:xmy1 過橢圓過橢圓 C 的右焦點的右焦點 F, 右焦點右焦點 F(1,0),c1,即,即 c21. x24 3y 的焦點的焦點(0, 3)為橢圓為橢圓 C 的上頂點,的上頂點, b 3,即,即 b23,a2b2c24, 橢圓橢圓 C 的方程為的方程為x24y231. (2)證明:由題意知證明:由題意知 m0,聯(lián)立,聯(lián)立 xmy1,3x24y2120 得得(3m24)y26my90. 設(shè)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), 則則 y1y26m3m24,y1y293m24. MA 1AF ,MB 2BF ,M 0,1m, x1,y11m1(1x1,y1), x2,y21m2(1x2,y2), 111my1,211my2, 122y1y2my1y226m3m249m3m2483. 綜上所述,當綜上所述,當 m 變化時,變化時,12為定值為定值83. (3)當當m0時, 直線時, 直線 lx軸, 則四邊形軸, 則四邊形ABED為矩形, 易知為矩形, 易知AE與與 BD相交于點相交于點N 52,0 ,猜想當猜想當 m 變化時,直線變化時,直線 AE 與與 BD 相交于定點相交于定點 N 52,0 ,證明如下:,證明如下: 則則AN 52x1,y1 32my1,y1, 易知易知 E(4,y2),則,則NE 32,y2. 32my1y232(y1)32(y1y2)my1y232 6m3m24m 93m240, AN NE ,即,即 A,N,E 三點共線三點共線 同理可得同理可得 B,N,D 三點三點共線共線 則猜想成立,則猜想成立, 故當故當 m 變化時,直線變化時,直線 AE 與與 BD 相交于定點相交于定點 N 52,0 . 4(2018 全國卷全國卷)已知斜率為已知斜率為 k 的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 C:x24y231 交于交于 A,B 兩點,線段兩點,線段AB 的中點為的中點為 M(1,m)(m0) (1)證明:證明:k12; (2)設(shè)設(shè) F 為為 C 的右焦點,的右焦點, P 為為 C 上一點, 且上一點, 且 FP FA FB 0.證明:證明: | FA |, | FP |, |FB |成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差 解:解:(1)證明:設(shè)證明:設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), 則則x214y2131,x224y2231. 兩式相減,并由兩式相減,并由y1y2x1x2k 得得x1x24y1y23 k0. 由題設(shè)知由題設(shè)知x1x221,y1y22m,于是,于是 k34m. 由題設(shè)得由題設(shè)得 0m32,故,故 k12. (2)由題意得由題意得 F(1,0)設(shè)設(shè) P(x3,y3), 則則(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0) 由由(1)及題設(shè)得及題設(shè)得 x33(x1x2)1, y3(y1y2)2m0. 又點又點 P 在在 C 上,所以上,所以 m34, 從而從而 P 1,32,| FP |32, 于是于是| FA | x11 2y21 x11 23 1x2142x12. 同理同理|FB |2x22. 所以所以| FA | FB |412(x1x2)3. 故故 2| FP | FA | FB |, 即即| FA |,| FP |,| FB |成等差數(shù)列成等差數(shù)列 設(shè)該數(shù)列的公差為設(shè)該數(shù)列的公差為 d, 則則 2|d| FB | FA |12|x1x2| 12 x1x2 24x1x2. 將將 m34代入代入得得 k1, 所以所以 l 的方程為的方程為 yx74, 代入代入 C 的方程,并整理得的方程,并整理得 7x214x140. 故故 x1x22,x1x2128,代入,代入解得解得|d|3 2128. 所以該數(shù)列的公差為所以該數(shù)列的公差為3 2128或或3 2128.

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