2020版高考理科數(shù)學人教版一輪復(fù)習講義：第七章 第一節(jié) 不等關(guān)系與一元二次不等式 Word版含答案

第七章第七章 不等式、推理與證明不等式、推理與證明 全國卷全國卷5年考情圖解年考情圖解 高考命題規(guī)律把握高考命題規(guī)律把握 1.高考在本章一般命制高考在本章一般命制 12 個小題， 分值個小題， 分值 510 分分 2.主要考查一元二次不等式的解法， 常與集合主要考查一元二次不等式的解法， 常與集合相結(jié)合，簡單的線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的相結(jié)合，簡單的線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的最值、范圍問題最值、范圍問題；或由最值求參數(shù)、或考查；或由最值求參數(shù)、或考查非線性目標函數(shù)最值問題非線性目標函數(shù)最值問題 3.基本不等式一般不單獨考查、 有時在解三角基本不等式一般不單獨考查、 有時在解三角形、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何等問題中會用到形、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何等問題中會用到基本不等式求最值基本不等式求最值(或范圍或范圍) 4.對演繹推理、 直接證明與間接證明以及數(shù)學對演繹推理、 直接證明與間接證明以及數(shù)學歸納法的考查，單獨命題的可能性不大，但歸納法的考查，單獨命題的可能性不大，但其思想也會滲透到解題之中其思想也會滲透到解題之中. 第一節(jié)第一節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式不等關(guān)系與一元二次不等式 1兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)兩個實數(shù)比較大小的依據(jù) (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì) (1)對稱性：對稱性：abba； (2)傳遞性：傳遞性：ab，bcac； (3)可加性：可加性：abacbc；ab，cdacbd； (4)可乘性：可乘性：ab，c0acbc； ab0，cd0acbd； (5)可乘方性：可乘方性：ab0anbn(nN，n1)； (6)可開方性：可開方性：ab0na nb(nN，n2) 3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系 判別式判別式 b24ac 0 0 0 二次函數(shù)二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖象的圖象 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根的根 有兩相異實數(shù)根有兩相異實數(shù)根 x1，x2(x1x2) 有兩相等實數(shù)根有兩相等實數(shù)根 x1x2b2a 沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集的解集 x|xx1或或 xx2 x| xb2a R 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集的解集 x|x1xx2 由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法, 1 一元二次一元二次不等式不等式 ax2bxc0 對任意實數(shù)對任意實數(shù) x 恒成立恒成立 a0， b24ac0. 2 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 對任意實數(shù)對任意實數(shù) x 恒成立恒成立 a0， b24ac0. 熟記常用結(jié)論熟記常用結(jié)論 1倒數(shù)性質(zhì)的幾個必備結(jié)論倒數(shù)性質(zhì)的幾個必備結(jié)論 (1)ab，ab01a1b. (2)a0b1a1b. (3)ab0,0cdacbd. (4)0axb 或或 axb01b1x1a. 2兩個重要不等式兩個重要不等式 若若 ab0，m0，則，則 (1)babmam；babmam(bm0) (2)abambm；abambm(bm0) 小題查驗基礎(chǔ)小題查驗基礎(chǔ) 一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊?，錯的打，錯的打“”“”) (1)兩個實數(shù)兩個實數(shù) a，b 之間，有且只有之間，有且只有 ab，ab，ab 三種關(guān)系中的一種三種關(guān)系中的一種( ) (2)一個不等式的兩邊同時加上或乘同一個數(shù)，不等號方向不變一個不等式的兩邊同時加上或乘同一個數(shù)，不等號方向不變( ) (3)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小( ) (4)若不等式若不等式 ax2bxc0 的解集為的解集為(x1，x2)，則必有，則必有 a0.( ) (5)若方程若方程 ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式?jīng)]有實數(shù)根，則不等式 ax2bxc0 的解集為的解集為 R.( ) 答案答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、選填題二、選填題 1設(shè)設(shè) A(x3)2，B(x2)(x4)，則，則 A 與與 B 的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為( ) AAB BAB CAB DAB 解析：解析：選選 B 因為因為 AB(x26x9)(x26x8)10，所以，所以 AB.故選故選 B. 2若若 ab0，則下列不等式不能成立的是，則下列不等式不能成立的是( ) A.1ab1a B.1a1b C|a|b| Da2b2 解析：解析：選選 A 取取 a2，b1，則，則1ab1a不成立不成立 3函數(shù)函數(shù) f(x) 3xx2的定義域為的定義域為( ) A0,3 B(0,3) C(，03，) D(，0)(3，) 解析：解析： 選選 A 要使函數(shù)要使函數(shù) f(x) 3xx2有意義， 則有意義， 則 3xx20， 即， 即 x23x0， 解得解得 0 x3. 4若集合若集合 Ax|ax2ax10 ，則實數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：當當 a0 時，滿足條件；當時，滿足條件；當 a0 時，由題意知時，由題意知 a0 且且 a24a0，得，得 0a4，所以所以 0a4. 答案：答案：0,4 5若若 13，42，則，則 |的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：42，0|4，4| |0. 3|3. 答案答案：(3,3) 考點一考點一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用不等式的性質(zhì)及應(yīng)用基礎(chǔ)自學過關(guān)基礎(chǔ)自學過關(guān) 題組練透題組練透 1若若 ab0，cd0，則一定有，則一定有( ) A.adbc B.adbc C.acbd D.acbd 解析：解析：選選 B 因為因為 cd0，所以，所以cd0， 所以所以1d1c0.又又 ab0，所以，所以adbc， 所以所以adbc.故選故選 B. 2設(shè)設(shè) a，bR，則，則“(ab) a20”是是“ab”的的( ) A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 A (ab) a20，則必有，則必有 ab0，即，即 ab；而；而 ab 時，不能推出時，不能推出(ab) a20，如，如 a0，b1，所以，所以“(ab) a20”是是“ab”的充分不必要條件的充分不必要條件 3若若 aln 22，bln 33，則，則 a_b(填填“”或或“”) 解析解析：易知：易知 a，b 都是正數(shù)，都是正數(shù)，ba2ln 33ln 2log891，所以，所以 ba. 答案答案： 4已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an中，中，a10，q0，前，前 n 項和為項和為 Sn，則，則S3a3與與S5a5的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_ 解析：解析：當當 q1 時，時，S3a33，S5a55，所以，所以S3a3S5a5. 當當 q0 且且 q1 時，時， S3a3S5a5a1 1q3 a1q2 1q a1 1q5 a1q4 1q q2 1q3 1q5 q4 1q q1q40， 所以所以S3a3S5a5.綜上可知綜上可知S3a3S5a5. 答案：答案：S3a3S5a5 5已知已知1x4,2y3，則，則 xy 的取值范圍是的取值范圍是_，3x2y 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由由1x4,2y3，得，得33x12,42y6， 13x2y18. 答案：答案：(4,2) (1,18) 名師微點名師微點 比較大小的方法比較大小的方法 (1)作差法，其步驟作差法，其步驟：作差：作差變形變形判斷差與判斷差與 0 的大小的大小得出結(jié)論得出結(jié)論 (2)作商法，其步驟：作商作商法，其步驟：作商變形變形判斷商與判斷商與 1 的大小的大小得出結(jié)論得出結(jié)論 (3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 (4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論 考點二一元二次不等式的解法考點二一元二次不等式的解法師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 (1)解不等式：解不等式：x22x30； (2)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) x22x，x0，x22x，x0，解不等式解不等式 f(x)3； (3)解關(guān)于解關(guān)于 x 的不等式的不等式 ax222xax(a0) 解解 (1)不等式兩邊同乘以不等式兩邊同乘以1，原不等式可化為，原不等式可化為 x22x30. 方程方程 x22x30 的解為的解為 x13，x21. 而而 yx22x3 的圖象開口向上， 可得原不等式的圖象開口向上， 可得原不等式x22x30 的解集是的解集是x|3x1 (2)由題意得由題意得 x0，x22x3或或 x0，x22x3，解得解得 x1. 故原不等式的解集為故原不等式的解集為x|x1 (3)原不等式可化為原不等式可化為 ax2(a2)x20. 當當 a0 時，原不等式化為時，原不等式化為 x10，解得，解得 x1. 當當 a0 時，原不等式化為時，原不等式化為 x2a(x1)0. 當當2a1，即，即 a2 時，解得時，解得1x2a； 當當2a1，即，即 a2 時，解得時，解得 x1 滿足題意；滿足題意； 當當2a1，即，即2a0 時，解得時，解得2ax1. 綜上所述，當綜上所述，當 a0 時，不等式的解集為時，不等式的解集為x|x1； 當當2a0 時，不等式的解集為時，不等式的解集為 x 2ax1； 當當 a2 時，不等式的解集為時，不等式的解集為1； 當當 a2 時，不等式的解集為時，不等式的解集為 x 1x2a. 解題技法解題技法 1解一元二次不等解一元二次不等式的一般步驟式的一般步驟 2解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù) (1)對于對于 ax2bxc0(0)的形式：的形式： 當當 a0 時，轉(zhuǎn)化為一次不等式時，轉(zhuǎn)化為一次不等式 當當 a0 時，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式時，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式 當當 a0 時，直接求解時，直接求解 (2)當不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式當不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式 與與 0 的關(guān)系的關(guān)系 (3)確定無根或一個根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，確定無根或一個根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式從而確定解集形式 過關(guān)訓練過關(guān)訓練 1不等式不等式 0 x2x24 的解集為的解集為_ 解析：解析：原不等式等價于原不等式等價于 x2x20，x2x24，即即 x2x20，x2x60， 即即 x2 x1 0， x3 x2 0，解得解得 x2或或x1，2x3. 故原不等式的解集為故原不等式的解集為x|2x1 或或 2x3 答案：答案：2，1)(2,3 2求不等式求不等式 12x2axa2(aR)的解集的解集 解：解：原不等式可化為原不等式可化為 12x2axa20， 即即(4xa)(3xa)0，令，令(4xa)(3xa)0， 解得解得 x1a4，x2a3. 當當 a0 時，不等式的解集為時，不等式的解集為 ，a4 a3， ； 當當 a0 時，不等式的解集為時，不等式的解集為(，0)(0，)； 當當 a0 時，不等式的解集為時，不等式的解集為 ，a3 a4， . 考點三一元二次不等式的恒成立問題考點三一元二次不等式的恒成立問題全析考法過關(guān)全析考法過關(guān) 考法全析考法全析 考法考法(一一) 在在 R 上的恒成立問題上的恒成立問題 例例 1 若不等式若不等式(a2)x22(a2)x40 對一切對一切 xR 恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是( ) A(，2 B2,2 C(2,2 D(，2) 解析解析 當當 a20，即，即 a2 時，不等式為時，不等式為40 對一切對一切 xR 恒成立恒成立 當當 a2 時，則時，則 a20，4 a2 216 a2 0， 即即 a20，a24，解得解得2a2. 實數(shù)實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是(2,2 答案答案 C 考法考法(二二) 在給定區(qū)間上的恒成立問題在給定區(qū)間上的恒成立問題 例例 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)mx2mx1.若對于若對于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù) m 的取的取值范圍值范圍 解解 要使要使 f(x)m5 在在 x1,3上恒成立，上恒成立， 即即 mx2mxm60 在在 x1,3上恒成立上恒成立 有以下兩種方法：有以下兩種方法： 法一法一：令：令 g(x)mx2mxm6m x12234m6，x1,3 當當 m0 時，時，g(x)在在1,3上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， 所以所以 g(x)maxg(3)，即，即 7m60， 所以所以 m67，所以，所以 0m67； 當當 m0 時，時，60 恒成立；恒成立； 當當 m0 時，時，g(x)在在1,3上是減函數(shù)，上是減函數(shù)， 所以所以 g(x)maxg(1)，即，即 m60， 所以所以 m6，所以，所以 m0. 綜上所述，實數(shù)綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是 ，67. 法二法二：因為因為 x2x1 x122340， 又因為又因為 mx2mxm60，所以，所以 m6x2x1. 因為函數(shù)因為函數(shù) y6x2x16 x12234在在1,3上的最小值為上的最小值為67，所以只需，所以只需 m67即可即可 所以實數(shù)所以實數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是 ，67. 考法考法(三三) 給定參數(shù)范圍求給定參數(shù)范圍求 x 的范圍的恒成立問題的范圍的恒成立問題 例例 3 若對任意若對任意 m1,1，函數(shù)，函數(shù) f(x)x2(m4)x42m 的值恒大于零，求的值恒大于零，求 x 的取的取值范圍值范圍 解解 由由 f(x)x2(m4)x42m (x2)mx24x4， 令令 g(m)(x2)mx24x4. 由題意知在由題意知在1,1上，上，g(m)的值恒大于零，的值恒大于零， 所以所以 g 1 x2 1 x24x40，g 1 x2 x24x40， 解得解得 x1 或或 x3. 故故 x 的取值范圍為的取值范圍為(，1)(3，) 規(guī)律探求規(guī)律探求 看個性看個性 考法考法(一一)是一元二次不等式在是一元二次不等式在 R 上恒成立問題：上恒成立問題： 解決此類問題常利用一元二次不等式在解決此類問題常利用一元二次不等式在 R 上恒成立的條件， 注意如果不等式上恒成立的條件， 注意如果不等式 ax2bxc0 恒成立，不要忽略恒成立，不要忽略 a0 時的情況時的情況 考法考法(二二)在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法：在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法： (1)若若 f(x)0 在集合在集合 A 中恒成立，即集合中恒成立，即集合 A 是不等式是不等式 f(x)0 的解集的子集，可的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍或范圍) (2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)的值域為的值域為m，n，則，則 f(x)a 恒成立恒成立f(x)mina，即，即 ma；f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa，即，即 na. 考法考法(三三)給定參數(shù)范圍求給定參數(shù)范圍求 x 的范圍的恒成立問題求解方法：的范圍的恒成立問題求解方法： 解決此類問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般情況下，知道誰的范圍，解決此類問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解 找共性找共性 對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在的區(qū)間上全部在 x 軸上軸上方，恒小于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間方，恒小于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在上全部在 x 軸下方另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值軸下方另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值. 過關(guān)訓練過關(guān)訓練 1若不等式若不等式 x2mx10 對于任意對于任意 xm，m1都成立，則實數(shù)都成立，則實數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是 _ 解析：解析：由題意，得函數(shù)由題意，得函數(shù) f(x)x2mx1 在在m，m1上的最大值小于上的最大值小于 0，又拋物線，又拋物線 f(x)x2mx1 開口向上，開口向上， 所以只需所以只需 f m m2m210，f m1 m1 2m m1 10， 即即 2m210，2m23m0，解得解得22m0. 答案答案： 22，0 2函數(shù)函數(shù) f(x)x2ax3. (1)當當 xR 時，時，f(x)a 恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍；的取值范圍； (2)當當 x2,2時，時，f(x)a 恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍；的取值范圍； (3)當當 a4,6時，時，f(x)0 恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù) x 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)當當 xR 時，時，x2ax3a0 恒成立，恒成立， 需需 a24(3a)0，即，即 a24a120，解得，解得6a2， 實數(shù)實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是6,2 (2)對于任意對于任意 x2,2，f(x)0 恒成立恒成立 即即 x2ax3a0 對任意對任意 x2,2恒成立，令恒成立，令 g(x)x2ax3a. 則有則有0 或或 0，a22，g 2 73a0 或或 0，a22，g 2 7a0. 解解得得6a2，解，解得得 a ，解，解得得7a6. 綜上可知，實數(shù)綜上可知，實數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為7,2 (3)令令 h(a)xax23. 當當 a4,6時，時，h(a)0 恒成立恒成立 只需只需 h 4 0，h 6 0，即即 x24x30，x26x30， 解得解得 x3 6或或 x3 6. 實數(shù)實數(shù) x 的取值范圍是的取值范圍是 (，3 63 6，)