2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第九章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含答案

第四節(jié)第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(半徑為半徑為 r，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為 d)相離相離相切相切相交相交圖形圖形量量化化方程觀點(diǎn)方程觀點(diǎn)000幾何觀點(diǎn)幾何觀點(diǎn)drdrdr2圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為設(shè)兩圓的圓心距為 d，兩圓的半徑分別為，兩圓的半徑分別為 R，r(Rr)，則，則位置關(guān)系位置關(guān)系外離外離外切外切相交相交內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)含內(nèi)含公共點(diǎn)個數(shù)公共點(diǎn)個數(shù)01210d，R，r 的關(guān)系的關(guān)系dRrdRrRrdRrdRrdRr公切線條數(shù)公切線條數(shù)43210判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點(diǎn)判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點(diǎn)對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到對于圓與圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)的個數(shù)，也就是方程組的解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論確切的結(jié)論如當(dāng)如當(dāng)0 時時，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含還是內(nèi)含；當(dāng)當(dāng)0 時時，還需要還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切熟記常用結(jié)論熟記常用結(jié)論1圓的切線方程常用結(jié)論圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓過圓 x2y2r2上一點(diǎn)上一點(diǎn) P(x0，y0)的圓的切線方程為的圓的切線方程為 x0 xy0yr2.(2)過圓過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)上一點(diǎn) P(x0，y0)的圓的切線方程為的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓過圓 x2y2r2外一點(diǎn)外一點(diǎn) M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為 x0 xy0yr2.2圓系方程圓系方程(1)同心圓系方程：同心圓系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中，其中 a，b 是定值，是定值，r 是參數(shù)；是參數(shù)；(2)過直線過直線 AxByC0 與圓與圓 x2y2DxEyF0 交點(diǎn)的圓系方程交點(diǎn)的圓系方程： x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；(3)過圓過圓 C1：x2y2D1xE1yF10 和圓和圓 C2：x2y2D2xE2yF20 交點(diǎn)的圓系方交點(diǎn)的圓系方程程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(該圓系不含圓該圓系不含圓 C2，解題時解題時，注意檢驗(yàn)圓注意檢驗(yàn)圓 C2是否滿足題意，以防漏解是否滿足題意，以防漏解)小題查驗(yàn)基礎(chǔ)小題查驗(yàn)基礎(chǔ)一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊?，錯的打，錯的打“”“”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程程()(4)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切()答案：答案：(1)(2)(3)(4)二、選填題二、選填題1直線直線 l：x 3y40 與圓與圓 C：x2y24 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A相交過圓心相交過圓心B相交不過圓心相交不過圓心C相切相切D相離相離解析：解析：選選 C圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為(0,0)，圓心到直線，圓心到直線 l 的距離的距離 d|4|22r，所以直線，所以直線 l 與圓與圓 C相切故選相切故選 C.2圓圓 O1：x2y22x0 和圓和圓 O2：x2y24y0 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A外離外離B.相交相交C外切外切D內(nèi)切內(nèi)切解析：解析：選選 B圓圓 O1：(x1)2y21，圓圓 O2：x2(y2)24，|O1O2| 10 2 02 2 5，|21|O1O2|21，兩圓相交故選兩圓相交故選 B.3若直線若直線 xy10 與圓與圓(xa)2y22 有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是()A3，1B.1,3C3,1D(，31，)解析：解析：選選 C由題意可得，圓的圓心為由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，半徑為 2，所以所以|a01|12 1 2 2，即即|a1|2，解得，解得3a1，故選，故選 C.4 已知直線已知直線 l： yk(x 3)和圓和圓 C： x2(y1)21， 若直線若直線 l 與圓與圓 C 相切相切， 則則 k_.解析解析：因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€ l 與圓與圓 C 相切相切，所以圓心所以圓心 C 到直線到直線 l 的距離的距離 d|1 3k|1k21，解得解得 k0 或或 k 3.答案：答案：0 或或 35直線直線 l：3xy60 與圓與圓 x2y22x4y0 相交于相交于 A，B 兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)，則|AB|_.解析：解析：由由 x2y22x4y0，得，得(x1)2(y2)25，所以該圓的圓心坐標(biāo)為所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑，半徑 r 5，又圓心又圓心(1,2)到直線到直線 3xy60 的距離為的距離為 d|326|32 1 2102，由，由|AB|22r2d2，得，得|AB|24552 10，即，即|AB| 10.答案：答案： 10考點(diǎn)一考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線與圓的位置關(guān)系的判斷師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(1)直線直線 l：mxy1m0 與圓與圓 C：x2(y1)25 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A相交相交B相切相切C相離相離D不確定不確定(2)直線直線 y33xm 與圓與圓 x2y21 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，則則 m 的取值范圍的取值范圍是是()A( 3，2)B.( 3，3)C.33，2 33D.1，2 33(3)若圓若圓 x2y2r2(r0)上恒有上恒有 4 個點(diǎn)到直線個點(diǎn)到直線 xy20 的距離為的距離為 1，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) r 的取值范的取值范圍是圍是()A( 21，)B.( 21， 21)C(0， 21)D(0， 21)解析解析(1)法一：法一：(代數(shù)法代數(shù)法)由由mxy1m0，x2 y1 25，消去消去 y，整理得，整理得(1m2)x22m2xm250，因?yàn)橐驗(yàn)?6m2200，所以直線，所以直線 l 與圓相交與圓相交法二：法二：(幾何法幾何法)由題意知，圓心由題意知，圓心(0,1)到直線到直線 l 的距離的距離d|m|m211 5，故直線，故直線 l 與圓相交與圓相交法三：法三：易得直線易得直線 l 過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1,1)把點(diǎn)把點(diǎn)(1,1)代入圓的方程有代入圓的方程有 10 5，點(diǎn)點(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)在圓的內(nèi)部，故直線部，故直線 l 與圓與圓 C 相交相交(2)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，此時時，直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，此時 m1；當(dāng)直線與圓相切時；當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離圓心到直線的距離 d|m|33211，解得，解得 m2 33(切點(diǎn)在第一象限切點(diǎn)在第一象限)，所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，則則 1m2 33.(3)計(jì)算得圓心到直線計(jì)算得圓心到直線 l 的距離為的距離為22 21，如圖如圖，直線直線 l：xy20 與圓相交，與圓相交，l1，l2與與 l 平行，且與直線平行，且與直線 l 的距離為的距離為 1，故可以看出，圓的半，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線徑應(yīng)該大于圓心到直線 l2的距離的距離 21.答案答案(1)A(2)D(3)A解題技法解題技法判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法幾何法幾何法圓心到直線的距離與圓半徑比較大小圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系這種方法這種方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較小的特點(diǎn)是計(jì)算量較小代數(shù)法代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系這種方法具有一般性這種方法具有一般性，適合于判斷直線與適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系圓錐曲線的位置關(guān)系過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1已知點(diǎn)已知點(diǎn) M(a，b)在圓在圓 O：x2y21 外外，則直線則直線 axby1 與圓與圓 O 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A相切相切B.相交相交C相離相離D不確定不確定解析：解析：選選 B因?yàn)橐驗(yàn)?M(a，b)在圓在圓 O：x2y21 外，所以外，所以 a2b21，而圓心，而圓心 O 到直線到直線 axby1 的距離的距離 d1a2b21.所以直線與圓相交所以直線與圓相交2(2019杭州模擬杭州模擬)若無論實(shí)數(shù)若無論實(shí)數(shù) a 取何值時，直線取何值時，直線 axya10 與圓與圓 x2y22x2yb0 都相交，則實(shí)數(shù)都相交，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍為的取值范圍為()A(，2)B.(2，)C(，6)D(6，)解析解析：選選 Cx2y22x2yb0 表示圓表示圓，84b0，即即 b2.直線直線 axya10 過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，1)，點(diǎn)點(diǎn)(1，1)在圓在圓 x2y22x2yb0 的內(nèi)部，的內(nèi)部，6b0，解，解得得 b6，b 的取值范圍是的取值范圍是(，6)故選故選 C.3圓圓(x3)2(y3)29 上到直線上到直線 3x4y110 的距離等于的距離等于 1 的點(diǎn)的個數(shù)為的點(diǎn)的個數(shù)為()A1B.2C3D4解析解析：選選 C由圓的方程知圓心坐標(biāo)為由圓的方程知圓心坐標(biāo)為(3,3)，半徑為半徑為 3，如圖所示如圖所示，因因?yàn)閳A心到直線的距離為為圓心到直線的距離為|91211|52，又因?yàn)閳A的半徑為，又因?yàn)閳A的半徑為 3，所以直線與，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為圓相交，故圓上到直線的距離為 1 的點(diǎn)有的點(diǎn)有 3 個個考點(diǎn)二考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用 師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知圓已知圓 C1：(xa)2(y2)24 與圓與圓 C2：(xb)2(y2)21 外切，則外切，則 ab 的最大值為的最大值為()A.62B.32C.94D2 3解析解析由圓由圓 C1與圓與圓 C2外切外切，可得可得 ab 2 22 2213，即即(ab)29.根據(jù)基根據(jù)基本不等式可知本不等式可知 abab2294，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時等號成立，時等號成立，ab 的最大值為的最大值為94.答案答案C解題技法解題技法圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法系，一般不采用代數(shù)法(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x2，y2項(xiàng)得到項(xiàng)得到過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1如果圓如果圓 C：x2y22ax2ay2a240 與圓與圓 O：x2y24 總相交總相交，那么實(shí)數(shù)那么實(shí)數(shù) a 的取的取值范圍是值范圍是_解析：解析：圓圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(ya)24，圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為，半徑為 2.依題意得依題意得 0 a2a24，0|a|2 2.a(2 2，0)(0,2 2)答案：答案：(2 2，0)(0,2 2)2已知兩圓已知兩圓 x2y22x6y10，x2y210 x12ym0.(1)m 取何值時兩圓外切？取何值時兩圓外切？(2)m 取何值時兩圓內(nèi)切？取何值時兩圓內(nèi)切？(3)當(dāng)當(dāng) m45 時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長解：解：因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以兩圓的圓心分別為所以兩圓的圓心分別為(1,3)，(5,6)，半徑分別為，半徑分別為 11， 61m，(1)當(dāng)兩圓外切時，由當(dāng)兩圓外切時，由 51 2 63 2 11 61m，得，得 m2510 11.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因?yàn)槎▓A半徑因?yàn)槎▓A半徑 11小于兩圓圓心之間的距離小于兩圓圓心之間的距離 5，所以所以 61m 115，解得解得 m2510 11.(3)由由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得兩圓的公共弦所在直線的方程得兩圓的公共弦所在直線的方程為為 4x3y230.故兩圓的公共弦的長為故兩圓的公共弦的長為2 11 2|43323|423222 7.考點(diǎn)三考點(diǎn)三圓的弦長問題圓的弦長問題 師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(1)(2019太原模擬太原模擬)若若 3a23b24c20，則直線則直線 axbyc0 被圓被圓 O：x2y21 所截得所截得的弦長為的弦長為()A.23B1C.12D.34(2)(2019成都模擬成都模擬)已知直線已知直線 axbyc0 與圓與圓 O：x2y21 相交于相交于 A，B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，且且|AB| 3，則，則 OA OB的值是的值是()A12B.12C43D0解析解析(1)因?yàn)橐驗(yàn)?a2b243c2，所以圓心，所以圓心 O(0,0)到直線到直線 axbyc0 的距離的距離 d|c|a2b232，所以直線，所以直線 axbyc0 被圓被圓 x2y21 所截得的弦長為所截得的弦長為 2123222121，選，選 B.(2)在在OAB 中中， |OA|OB|1， |AB| 3， 可得可得AOB120， 所以所以 OA OB11cos12012.答案答案(1)B(2)A解題技法解題技法有關(guān)弦長問題的有關(guān)弦長問題的 2 種求法種求法幾幾何何法法直線被圓截得的半弦長直線被圓截得的半弦長l2，弦心距，弦心距 d 和圓的半徑和圓的半徑 r 構(gòu)成直角三角形，即構(gòu)成直角三角形，即 r2l22d2代代數(shù)數(shù)法法聯(lián)立直線方程和圓的方程聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的一元二次方程的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長可求得弦長|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x2 24x1x2或或|AB|11k2|y1y2|11k2 y1y2 24y1y2過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1已知圓已知圓 C：(x1)2(y2)22 截截 y 軸所得線段與截直線軸所得線段與截直線 y2xb 所得線段的長度相所得線段的長度相等，則等，則 b()A 6B. 6C 5D 5解析解析：選：選 D記圓記圓 C 與與 y 軸的兩個交點(diǎn)分別是軸的兩個交點(diǎn)分別是 A，B，由圓心，由圓心 C 到到 y 軸的距離為軸的距離為 1，|CA|CB| 2可知，圓心可知，圓心 C(1,2)到直線到直線 2xyb0 的距離也等于的距離也等于 1 才符合題意，于是才符合題意，于是|212b|51，解得，解得 b 5.2 在直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系系 xOy 中中， 曲曲線線 yx2mx2 與與 x 軸交軸交于于 A， B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)， 點(diǎn)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,1) 當(dāng)當(dāng)m 變化時，解答下列問題：變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)能否出現(xiàn) ACBC 的情況？說明理由；的情況？說明理由；(2)證明過證明過 A，B，C 三點(diǎn)的圓在三點(diǎn)的圓在 y 軸上截得的弦長為定值軸上截得的弦長為定值解：解：(1)不能出現(xiàn)不能出現(xiàn) ACBC 的情況，理由如下：的情況，理由如下：設(shè)設(shè) A(x1,0)，B(x2,0)，則，則 x1，x2是方程是方程 x2mx20 的兩根，所以的兩根，所以 x1x22，又點(diǎn)，又點(diǎn) C 的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0,1)，則，則 AC BC(x1,1)(x2,1)x1x212110，所以不能出現(xiàn)，所以不能出現(xiàn) ACBC 的情況的情況(2)證明證明：設(shè)過設(shè)過 A，B，C 三點(diǎn)的圓與三點(diǎn)的圓與 y 軸的另一個交點(diǎn)為軸的另一個交點(diǎn)為 D，由由 x1x22 可知原點(diǎn)可知原點(diǎn) O 在在圓內(nèi)，則由相交弦定理可得圓內(nèi)，則由相交弦定理可得|OC|OD|OA|OB|x1|x2|2.又又|OC|1，所以，所以|OD|2，所以過，所以過 A，B，C 三點(diǎn)的圓在三點(diǎn)的圓在 y 軸上截得的弦長為軸上截得的弦長為|OC|OD|3，為定值，為定值考點(diǎn)四考點(diǎn)四圓的切線問題圓的切線問題 師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知點(diǎn)已知點(diǎn) P( 21,2 2)，點(diǎn)，點(diǎn) M(3,1)，圓，圓 C：(x1)2(y2)24.(1)求過點(diǎn)求過點(diǎn) P 的圓的圓 C 的切線方程；的切線方程；(2)求過點(diǎn)求過點(diǎn) M 的圓的圓 C 的切線方程，并求出切線長的切線方程，并求出切線長解解由題意得圓心由題意得圓心 C(1,2)，半徑，半徑 r2.(1)( 211)2(2 22)24，點(diǎn)點(diǎn) P 在圓在圓 C 上上又又 kPC2 222111，切線的斜率切線的斜率 k1kPC1.過點(diǎn)過點(diǎn) P 的圓的圓 C 的切線方程是的切線方程是y(2 2)x( 21)，即，即 xy12 20.(2)(31)2(12)254，點(diǎn)點(diǎn) M 在圓在圓 C 外部外部當(dāng)過點(diǎn)當(dāng)過點(diǎn) M 的直線斜率不存在時，直線方程為的直線斜率不存在時，直線方程為 x3，即即 x30.又點(diǎn)又點(diǎn) C(1,2)到直線到直線 x30 的距離的距離 d312r，即此時滿足題意，所以直線即此時滿足題意，所以直線 x3 是圓的切線是圓的切線當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為 y1k(x3)，即即 kxy13k0，則圓心則圓心 C 到切線的距離到切線的距離 d|k213k|k21r2，解得解得 k34.切線方程為切線方程為 y134(x3)，即，即 3x4y50.綜上可得，過點(diǎn)綜上可得，過點(diǎn) M 的圓的圓 C 的切線方程為的切線方程為 x30 或或 3x4y50.|MC| 31 2 12 25，過點(diǎn)過點(diǎn) M 的圓的圓 C 的切線長為的切線長為 |MC|2r2 541.解題技法解題技法1求過圓上的一點(diǎn)求過圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率 k，若，若 k 不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為 yy0；若若 k0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為 xx0；若；若 k 存在且存在且 k0，則由垂直關(guān)系知切線，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為的斜率為1k，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程2求過圓外一點(diǎn)求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的的圓的切線方程的 2 種方法種方法幾何法幾何法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為當(dāng)斜率存在時，設(shè)為 k，則切線方程為，則切線方程為 yy0k(xx0)，即，即 kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出即可求出 k 的值的值，進(jìn)而寫出切進(jìn)而寫出切線方程線方程代數(shù)法代數(shù)法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為當(dāng)斜率存在時，設(shè)為 k，則切線方程為，則切線方程為 yy0k(xx0)，即，即 ykxkx0y0，代入圓的方程代入圓的方程，得到一個關(guān)于得到一個關(guān)于 x 的一元二次方程的一元二次方程，由由0，求求得得k，切線方程即可求出，切線方程即可求出提醒提醒當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在圓外時，一定要注意斜率不存在的情況在圓外時，一定要注意斜率不存在的情況過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1(2019杭州模擬杭州模擬)由直線由直線 yx1 上的一點(diǎn)向圓上的一點(diǎn)向圓(x3)2y21 引切線，則切線長的最引切線，則切線長的最小值為小值為()A1B2C. 7D3解析解析： 選選 C切線長的最小值是當(dāng)直線切線長的最小值是當(dāng)直線 yx1 上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得， 圓心圓心(3,0)到直線的距離為到直線的距離為 d|301|22 2，故切線長的最小值為，故切線長的最小值為 d2r2 7.2(2018湖北四地七校聯(lián)考湖北四地七校聯(lián)考)若圓若圓 O1：x2y25 與圓與圓 O2：(xm)2y220 相交于相交于 A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn) A 處的切線互相垂直，則線段處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是的長度是()A3B.4C2 3D8解析解析：選選 B連接連接 O1A，O2A，由于由于O1與與O2在點(diǎn)在點(diǎn) A 處的切線互處的切線互相垂直，因此相垂直，因此 O1AO2A，所以，所以|O1O2|2|O1A|2|O2A|2，即，即 m252025，設(shè)，設(shè) AB 交交 x 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) C.在在 RtO1AO2中，中，sinAO2O155，在在 RtACO2中，中，|AC|AO2|sinAO2O12 5552，|AB|2|AC|4.故選故選 B.考點(diǎn)五考點(diǎn)五直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知過原點(diǎn)的動直線已知過原點(diǎn)的動直線 l 與圓與圓 C1：x2y26x50 相交于不同的兩點(diǎn)相交于不同的兩點(diǎn) A，B.(1)求圓求圓 C1的圓心坐標(biāo)；的圓心坐標(biāo)；(2)求線段求線段 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) M 的軌跡的軌跡 C 的方程；的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù) k，使得直線使得直線 L：yk(x4)與曲線與曲線 C 只有一個交點(diǎn)？若存在只有一個交點(diǎn)？若存在，求出求出 k 的的取值范圍；若不存在，說明理由取值范圍；若不存在，說明理由解：解：(1)因?yàn)閳A因?yàn)閳A C1的方程的方程 x2y26x50 可化為可化為(x3)2y24，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓心坐標(biāo)為(3,0)(2)設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，則則 x0 x1x22，y0y1y22.由題意可知直線由題意可知直線 l 的斜率必存在，的斜率必存在，設(shè)直線設(shè)直線 l 的方程為的方程為 ytx.將上述方程代入圓將上述方程代入圓 C1的方程，的方程，化簡得化簡得(1t2)x26x50.由題意，可得由題意，可得 x1x261t2，3620(1t2)0，(*)所以所以 x031t2，代入直線，代入直線 l 的方程，得的方程，得 y03t1t2.因?yàn)橐驗(yàn)?x20y209 1t2 29t2 1t2 29 1t2 1t2 291t23x0，所以所以x0322y2094.由由(*)解得解得 t245.又又 t20，所以，所以53x03.所以線段所以線段 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) M 的軌跡的軌跡 C 的方程為的方程為x322y29453x3.(3)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù) k 滿足條件由滿足條件由(2)知，曲線知，曲線 C 是在區(qū)間是在區(qū)間53，3上的一段圓弧上的一段圓弧如圖，如圖，D53，2 53，E53，2 53，F(xiàn)(3,0)，直線直線 L 過定點(diǎn)過定點(diǎn) G(4,0)聯(lián)立直線聯(lián)立直線 L 的方程與曲線的方程與曲線 C 的方程，消去的方程，消去 y 整理得整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.由由0，解得，解得 k34，由求根公式解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由求根公式解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x12553，3，由圖可知要使直線由圖可知要使直線 L 與曲線與曲線 C 只有一個交點(diǎn)，只有一個交點(diǎn)，則則 k2 57，2 5734，34 .故所求故所求 k 的取值范圍為的取值范圍為2 57，2 5734，34 .解題技法解題技法直線與圓的綜合問題的求解策略直線與圓的綜合問題的求解策略(1)利用解析幾何的基本思想方法利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化即幾何問題代數(shù)化)， 把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題， 通過代數(shù)的通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決計(jì)算，使問題得到解決(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運(yùn)用，如在直線與圓直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度相交的有關(guān)線段長度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮放到一起綜合考慮過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練已知已知 A(2,0)，直線，直線 4x3y10 被圓被圓 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長所截得的弦長為為4 3，且，且 P 為圓為圓 C 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)(1)求求|PA|的最大值與最小值；的最大值與最小值；(2)圓圓 C 與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)，求以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓的半徑與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)，求以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓的半徑解：解：(1)直線直線 4x3y10 被圓被圓 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長為所截得的弦長為 4 3，圓心到直線的距離圓心到直線的距離d|123m1|5 13 2 2 3 21.m3，m2，|AC| 32 2 20 2 29，|PA|的最大值與最小值分別為的最大值與最小值分別為 29 13， 29 13.(2)由由(1)可得圓可得圓 C 的方程為的方程為(x3)2(y2)213，令令 x0，得，得 y0 或或 4；令；令 y0，得，得 x0 或或6，圓圓 C 與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn) M(0,4)，O(0,0)，N(6,0)，MON 為直角三角形，斜邊為直角三角形，斜邊|MN|2 13，MON 內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切圓的半徑為462 1325 13.