2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第七章 第六節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 Word版含答案

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1、第六節(jié)第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法的數(shù)學(xué)歸納法的 2 個步驟個步驟一般地，證明一個與正整數(shù)一般地，證明一個與正整數(shù) n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基歸納奠基證明當(dāng)證明當(dāng) n 取第一個值取第一個值 n0(n0N*)時命題成立時命題成立(初始值初始值 n0不一定為不一定為 1)；(2)歸納遞推歸納遞推假設(shè)假設(shè) nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)時命題成立，證明當(dāng) nk1 時命題也成立時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 n0開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù) n 都成立上述證明方都成立上

2、述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法法叫做數(shù)學(xué)歸納法注意注意證明當(dāng)證明當(dāng) nk1 時命題成立一定會用到歸納假設(shè)，即假設(shè)時命題成立一定會用到歸納假設(shè)，即假設(shè) nk(kn0，kN*)時命題成立，解題時要搞清從時命題成立，解題時要搞清從 nk 到到 nk1 增加了哪些項或減少了哪些項增加了哪些項或減少了哪些項2數(shù)學(xué)歸納法的數(shù)學(xué)歸納法的 2 個步驟的意義個步驟的意義步驟步驟(1)是命題論證的基礎(chǔ)，步驟是命題論證的基礎(chǔ)，步驟(2)是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證這兩個步驟缺一不可這兩個步驟缺一不可，如果只有步驟如果只有步驟(1)缺少步驟缺少步驟(2)，無法對無法對 n 取取

3、n0后的數(shù)時結(jié)論是否正后的數(shù)時結(jié)論是否正確作出判斷確作出判斷；如果只有步驟如果只有步驟(2)缺少步驟缺少步驟(1)這個基礎(chǔ)這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提假設(shè)就失去了成立的前提，步驟步驟(2)就沒就沒有意義了有意義了小題查驗基礎(chǔ)小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊保e的打，錯的打“”“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng) n1 時結(jié)論成立時結(jié)論成立()(2)數(shù)學(xué)歸納法主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問數(shù)學(xué)歸納法主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明題都能

4、用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)證明當(dāng)證明當(dāng) nk1 時命題成立用到歸納假設(shè)時命題成立用到歸納假設(shè)，即即 nk(kn0，kN*)時命題成立時命題成立()(4)不論是等式還是不等式不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由由 nk 到到 nk1 時時，項數(shù)都增加了項數(shù)都增加了一項一項()答案答案：(1)(2)(3)(4)二、選填題二、選填題1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸 n 邊形的對角線為邊形的對角線為12n(n3)條時，第一步檢驗條時，第一步檢驗 n 等于等于()A1B2C3D4解析：解析：選選 C三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗三角形是邊數(shù)最少的凸多邊

5、形，故第一步應(yīng)檢驗 n3.2用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是 a1，公差是，公差是 d 的等差數(shù)列的前的等差數(shù)列的前 n 項和公式是項和公式是 Snna1n n1 2d 時，假設(shè)當(dāng)時，假設(shè)當(dāng) nk 時，公式成立，則時，公式成立，則 Sk()Aa1(k1)dB.k a1ak 2Cka1k k1 2dD(k1)a1k k1 2d解析：解析：選選 C假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) nk 時，公式成立，只需把公式中的時，公式成立，只需把公式中的 n 換成換成 k 即可，即即可，即 Skka1k k1 2d.3已知已知 f(n)1n1n11n21n2，則，則()Af(n)中共有中共有 n 項，當(dāng)項，當(dāng) n

6、2 時，時，f(2)1213Bf(n)中共有中共有 n1 項，當(dāng)項，當(dāng) n2 時，時，f(2)121314Cf(n)中共有中共有 n2n 項，當(dāng)項，當(dāng) n2 時，時，f(2)1213Df(n)中共有中共有 n2n1 項，當(dāng)項，當(dāng) n2 時，時，f(2)121314解析：解析：選選 D由由 f(n)可知，可知，f(n)中共有中共有 n2n1 項，且項，且 n2 時，時，f(2)121314.4用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1121312n1n(nN*，n1)時時，第一步應(yīng)驗證的不等式第一步應(yīng)驗證的不等式的左邊為的左邊為_答案：答案：112135用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1

7、121412n112764成立成立，起始值應(yīng)取為起始值應(yīng)取為 n_.解析：解析：不等式的左邊不等式的左邊112n112212n1，當(dāng)，當(dāng) n8 時，不等式不成立，故起始值應(yīng)取時，不等式不成立，故起始值應(yīng)取 n8.答案：答案：8考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：12414616812n 2n2 n4 n1 (nN*)證明證明(1)當(dāng)當(dāng) n1 時，時，左邊左邊121 212 18，右邊右邊14 11 18，左邊右邊，所以等式成立左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)假設(shè) nk(k1，kN*)時等式成立，時等式成

8、立，即即12414616812k 2k2 k4 k1 ，則當(dāng)則當(dāng) nk1 時，時，12414616812k 2k2 12 k1 2 k1 2k4 k1 14 k1 k2 k k2 14 k1 k2 k1 24 k1 k2 k14 k2 k14 k11 .所以當(dāng)所以當(dāng) nk1 時，等式也成立時，等式也成立由由(1)(2)可知，對于一切可知，對于一切 nN*等式都成立等式都成立解題技法解題技法1數(shù)學(xué)歸納法證明等式的數(shù)學(xué)歸納法證明等式的 2 個思路個思路(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊

9、各有多少項，初始值有多少項，初始值 n0是多少是多少(2)由由 nk 時等式成立時等式成立，推出推出 nk1 時等式成立時等式成立，一要找出等式兩邊的變化一要找出等式兩邊的變化(差異差異)，明明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進行合理變形，正確寫出證明過程確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進行合理變形，正確寫出證明過程2口訣記憶口訣記憶記牢記牢“4 句話句話”兩個步驟要做到，遞推基礎(chǔ)不可少；兩個步驟要做到，遞推基礎(chǔ)不可少；歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練設(shè)設(shè) f(n)112131n(nN*)求證：求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2

10、，nN*)證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) n2 時，左邊時，左邊f(xié)(1)1，右邊右邊211211，左邊右邊，等式成立，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)假設(shè) nk(k2，kN*)時，結(jié)論成立，時，結(jié)論成立，即即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)那么，當(dāng) nk1 時，時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f k1 1k1 k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，所以當(dāng)所以當(dāng) nk1 時結(jié)論仍然成立時結(jié)論仍然成立由由(1)(2)可知，可知，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)考點二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式考點二用數(shù)學(xué)歸納法證

11、明不等式師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x32x2，設(shè)，設(shè) 0a112，an1f(an)，nN*，證明：，證明：an1n1.證明證明(1)當(dāng)當(dāng) n1 時，時，0a112，顯然結(jié)論成立，顯然結(jié)論成立因為當(dāng)因為當(dāng) x0，12 時，時，0f(x)16，所以所以 0a2f(a1)1613.故故 n2 時，原不等式也成立時，原不等式也成立(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) nk(k2，kN*)時，時，不等式不等式 0ak1k1成立成立因為因為 f(x)x32x2的對稱軸方程為的對稱軸方程為 x13，所以當(dāng)所以當(dāng) x0，13 時，時，f(x)為增函數(shù)為增函數(shù)所以由所以由 0ak1k113

12、，得得 0f(ak)f1k1 .于是，于是，0ak1f(ak)1k1321 k1 21k21k21k2k42 k1 2 k2 1k2.所以當(dāng)所以當(dāng) nk1 時，原不等式也成立時，原不等式也成立由由(1)(2)可知，對任何可知，對任何 nN*，不等式，不等式 an1n1成立成立解題技法解題技法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的 2 個問題個問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)當(dāng)遇到與正整數(shù) n 有關(guān)的不等式證明時，用其他方法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸有關(guān)的不等式證明時，用其他方法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵

13、是由 nk 成立成立，推證推證 nk1 時也成立時也成立，證明時用上證明時用上歸納假設(shè)后歸納假設(shè)后，可采用分析法可采用分析法、綜合法綜合法、作差作差(作商作商)比較法比較法、放縮法等證明放縮法等證明運用放縮法時運用放縮法時，要要注意放縮的注意放縮的“度度”過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練設(shè)整數(shù)設(shè)整數(shù) p1，nN*.證明：當(dāng)證明：當(dāng) x1 且且 x0 時，時，(1x)p1px.證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) p2 時，時，(1x)212xx212x，原不等式成立，原不等式成立(2)假設(shè)假設(shè) pk(k2，kN*)時，不等式時，不等式(1x)k1kx 成立成立當(dāng)當(dāng) pk1 時時，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1k

14、x)1(k1)xkx21(k1)x.所以當(dāng)所以當(dāng) pk1 時，原不等式也成立時，原不等式也成立綜合綜合(1)(2)可得，當(dāng)可得，當(dāng) x1，且，且 x0 時，對一切正整數(shù)時，對一切正整數(shù) p1，不等式，不等式(1x)p1px 均均成立成立考點三歸納考點三歸納猜想猜想證明證明師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和項和 Sn滿足：滿足：Snan21an1，且，且 an0，nN*.(1)求求 a1，a2，a3，并猜想，并猜想an的通項公式；的通項公式；(2)證明通項公式的正確性證明通項公式的正確性解解(1)當(dāng)當(dāng) n1 時，由已知得時，由已知得 a1a121a11

15、，即即 a212a120.a1 31(a10)當(dāng)當(dāng) n2 時，由已知得時，由已知得 a1a2a221a21，將將 a1 31 代入并整理得代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20)同理可得同理可得 a3 7 5.猜想猜想 an 2n1 2n1(nN*)(2)證明：證明：由由(1)知，當(dāng)知，當(dāng) n1,2,3 時，通項公式成立時，通項公式成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) nk(k3，kN*)時，通項公式成立，時，通項公式成立，即即 ak 2k1 2k1.由于由于 ak1Sk1Skak121ak1ak21ak，將將 ak 2k1 2k1代入上式，代入上式，整理得整理得 a2k12 2k1 ak120

16、，ak1 2k3 2k1，即即 nk1 時通項公式成立時通項公式成立由由可知對所有可知對所有 nN*，an 2n1 2n1都成立都成立解題技法解題技法歸納歸納猜想猜想證明的應(yīng)用策略證明的應(yīng)用策略(1)一般思路：一般思路：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式歸納、猜想出公式(2)基本步驟：基本步驟：“試驗試驗歸納歸納猜想猜想證明證明”高中階

17、段該部分與數(shù)列結(jié)合的問題是最常高中階段該部分與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題見的問題過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練已知已知 f(n)11231331431n3，g(n)3212n2，nN*.(1)當(dāng)當(dāng) n1,2,3 時，試比較時，試比較 f(n)與與 g(n)的大小；的大??；(2)猜想猜想 f(n)與與 g(n)的大小關(guān)系，并給出證明的大小關(guān)系，并給出證明解：解：(1)當(dāng)當(dāng) n1 時，時，f(1)1，g(1)1，所以，所以 f(1)g(1)；當(dāng)當(dāng) n2 時，時，f(2)98，g(2)118，所以，所以 f(2)g(2)；當(dāng)當(dāng) n3 時，時，f(3)251216，g(3)312216，所以，所以 f(3)g(3

18、)(2)由由(1)猜想猜想 f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)當(dāng) n1,2,3 時，不等式顯然成立，時，不等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) nk(k3，kN*)時不等式成立，時不等式成立，即即 11231331431k33212k2.那么，當(dāng)那么，當(dāng) nk1 時，時，f(k1)f(k)1 k1 33212k21 k1 3.因為因為 f(k1)g(k1)3212k21 k1 33212 k1 212 k1 212k21 k1 3k32 k1 312k23k12 k1 3k20，所以所以 f(k1)g(k1)由由可知，對一切可知，對一切 nN*，都有，都有 f(n)g(n)成立成立