2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (III).doc
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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (III) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合,,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析:先化簡集合,,利用交集定義能求出 詳解: 則 故選 點(diǎn)睛:本題主要考查了集合的交集及其運(yùn)算,利用指數(shù)、對數(shù)求出不等式解集得到集合,繼而求出交集。 2.已知集合,,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 . 故選C. 3.已知命題,那么命題為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題,即可得到所求命題的否定. 【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題,可得 命題p:“”,則命題¬p為“”. 故選:C. 【點(diǎn)睛】本題考查簡易邏輯,主要是命題的否定,注意特稱命題和全稱命題的轉(zhuǎn)換,考查轉(zhuǎn)變能力,屬于基礎(chǔ)題. 4.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù).根據(jù)右表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程為,那么表中t的值為( ) A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5 【答案】A 【解析】 因由回歸方程知=,解得 ,故選A. 5.如圖,給定由10個點(diǎn)(任意相鄰兩點(diǎn)距離為1,)組成的正三角形點(diǎn)陣,在其中任意取三個點(diǎn),以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的個數(shù)是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 試題分析:如圖所示,邊長為1的正三角形共有1+3+5=9個;邊長為2的正三角形共有3個; 邊長為3的正三角形共有1個.邊長為的等邊三角形有2個:紅顏色和藍(lán)顏色的兩個三角形.綜上可知:共有9+3+1+2=15個. 考點(diǎn):計(jì)數(shù)原理. 6.某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積為( ) A. B. C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可. 【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖為:多面體:A′B′C′﹣ABCD 幾何體補(bǔ)成四棱柱,底面是直角梯形,底邊長為3,高為3, 上底邊長為1, 幾何體的體積為:V棱柱﹣V棱錐=318 . 故選:B. 【點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬. 7.已知函數(shù),將的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把所得的圖象向右平移個單位長度,所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則的一個值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 將的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,可得函數(shù)的圖象;再把所得的圖象向右平移個單位長度,可得函數(shù)的圖象.結(jié)合所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,可得,即,,則的一個值是. 故選. 8.根據(jù)如下程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)程序,則輸出的值為( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 結(jié)合流程圖可知該流程圖運(yùn)行過程如下: 首先初始化數(shù)據(jù):, ,不滿足,執(zhí)行:; ,不滿足,執(zhí)行:; ,不滿足,執(zhí)行:; ,滿足,輸出. 本題選擇B選項(xiàng). 9.直線被圓截得的弦長為4,則的最小值是( ) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 圓心為,半徑為,由于所截弦長為,故直線過圓心,將圓心坐標(biāo)代入直線方程得,即,的幾何意義是原點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方,故最小值為.所以選. 10.設(shè),且,則下列結(jié)論必成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)條件判斷函數(shù)是偶函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助單調(diào)性轉(zhuǎn)化條件即可. 【詳解】f(x)=f(﹣x),故f(x)是偶函數(shù), 而當(dāng)時,=cosx?e1+sinx﹣cosx?e1﹣sinx=cosx?(e1+sinx﹣e1﹣sinx)>0, 即f(x)在是單調(diào)遞增的. 由f(x1)>f(x2),可得f(|x1|)>f(|x2|), 即有|x1|>|x2|,即, 故選:D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵. 11.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過且斜率為1的直線交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,其垂直平分線交軸于點(diǎn),軸于點(diǎn).若四邊形的面積等于7,則的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 聯(lián)立方程組求出各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)面積公式計(jì)算p的值得出答案. 【詳解】F(,0),直線AB的方程為:y=x. 聯(lián)立方程組,可得:x2﹣3px0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p, y1+y2=x1+x2﹣p=2p, ∴M(,p), ∴N(0,p),直線MC的方程為y=﹣x. ∴C(,0), ∴四邊形CMNF的面積為 S梯形OCMN﹣S△ONF7, ∴p=2,即拋物線E的方程為:y2=4x. 故選:C. 【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題. 12.如圖,、分別是雙曲線的兩個焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓與該雙曲線左支交于、兩點(diǎn),若是等邊三角形,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析:連接,則為直角三角形,由是等邊三角形,得,故選D. 考點(diǎn):1、雙曲線的性質(zhì);2、雙曲線的定義及離心率. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)、雙曲線的定義雙曲線的離心率,屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來,再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式,從而求出的值.本題是利用雙曲線的定義及特殊的直角三角形構(gòu)造出關(guān)于的等式,最后解出的值. 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22~23題為選做題,考生根據(jù)要求作答。 二、填空題:本題共4題,每小題5分,共20分。 13.設(shè).若,則的最小值是______. 【答案】4 【解析】 試題分析:,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以的最小值為4. 考點(diǎn):均值定理. 14.若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是,則________. 【答案】 【解析】 展開式的通項(xiàng)公式為 ,. 令,得; 令,得. ∴依題設(shè),有, 解得. 點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可. (2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng),由特定項(xiàng)得出r值,最后求出其參數(shù). 15.平行四邊形ABCD中,是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且,若,則的最大值為______. 【答案】2. 【解析】 分析:根據(jù),利用,利用向量的平方和向量模的平方是相等的,利用基本不等式得出的最大值. 詳解:因?yàn)椋? , 又,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最大值2,故答案是2. 點(diǎn)睛:該題考查的是求式子的最值的問題,涉及到的知識點(diǎn)有向量的平方和向量模的平方是相等的,向量數(shù)量積的定義式,利用基本不等式求最值,在解題的過程中,注意式子的正確使用. 16.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距為,以右頂點(diǎn)為圓心,半徑為的圓與過的直線相切于點(diǎn),設(shè)與的交點(diǎn)為,若,則雙曲線的離心率為___________. 【答案】2. 【解析】 因?yàn)橐杂翼旤c(diǎn)為圓心,半徑為的圓過的直線相切與點(diǎn),A=,故可知直線的傾斜角為,設(shè)直線方程為 設(shè)點(diǎn)P,根據(jù)條件知N點(diǎn)是PQ的中點(diǎn),故得到,因?yàn)?,故得? 故答案為:2. 點(diǎn)睛:這個題目考查的是雙曲線的離心率的求法;圓錐曲線中求離心率的常用方法有:定義法,根據(jù)橢圓或者雙曲線的定義列方程;數(shù)形結(jié)合的方法,利用圖形的幾何特點(diǎn)構(gòu)造方程;利用點(diǎn)在曲線上,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,列式子。 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.數(shù)列滿足 (1)若數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列,求的通項(xiàng)公式; (2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1);(2). 【解析】 試題分析: (1)由題意得,,從而得到,設(shè)出等差數(shù)列的公差,解方程組可得,從而得到.(2)由條件,可得,兩式相減得),又,故,所以,然后根據(jù)可求得. 試題解析: (1)由已知得 當(dāng)時,①,即 當(dāng)時,② ②-①,得;即 設(shè)等差數(shù)列的公差為, 則 解得或. ∵, ∴. ∴. (2)∵③ ∴)④ ③-④得), 即), 又, ∴, ∴ , ∴ . ∴ . 點(diǎn)睛:解答本題時注意以下幾點(diǎn) (1)由遞推關(guān)系解決數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意數(shù)列中項(xiàng)的下標(biāo)的限制. (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和時,要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的方法.常用的求和方法有列項(xiàng)相消法、錯位相減法、公式法、分組求和法等,對于通項(xiàng)中含有或等形式的數(shù)列的求和問題常選擇分組求和法求解. 18.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù): (1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程; (2)已知該廠技改前,100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? ,參考數(shù)值:. 【答案】(1) (2)19.65頓 【解析】 試題分析:(1) 根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù),代入求系數(shù)的公式,再計(jì)算,求出的值,即可得出線性回歸方程;(2)利用回歸方程,把代入線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量. 試題解析:(1)由對照數(shù)據(jù),計(jì)算得,,,, 故,,故. (2)將代入方程,得噸. 預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低(噸) 19.如圖所示四棱錐P-ABCD平面,E為線段BD上的一點(diǎn),且EB=ED=EC=BC,連接CE并延長交AD于F (1)若G為PD的中點(diǎn),求證:平面平面CGF; (2)若BC=2,PA=3,求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)通過三角形全等證明∠FED=∠FEA,推出EF⊥AD,證明FG∥PA.可得GF⊥AD,即可證明AD⊥平面CFG.然后證明平面PAD⊥平面CGF; (2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出平面BCP的法向量,平面DCP的法向量利用向量的數(shù)量積求解平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值. 【詳解】在中,, 故, 因?yàn)椋啵? 從而有 ∴,故. 又, .又平面, 故平面,, 故平面. 又平面,∴平面平面. (2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則 , 故,. 設(shè)平面的法向量, 則解得即 設(shè)平面的法向量,則 解得即. 從而平面與平面的夾角的余弦值為 , 【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離. 20.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,射線交橢圓于點(diǎn),交直線于點(diǎn). (1)求的最小值; (2)若,求證:直線過定點(diǎn). 【答案】(1).(2)見解析 【解析】 試題分析:(1)設(shè),聯(lián)立直線和橢圓方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和所在直線方程,求點(diǎn) 的坐標(biāo),利用基本不等式即可求得 的最小值; (2)由(1)知所在直線方程,和橢圓方程聯(lián)立,求得點(diǎn)的坐標(biāo),并代入 ,得到 ,因此得證直線過定點(diǎn); 試題解析:(1)設(shè)直線 的方程為,由題意,, 由方程組,得, 由題意,所以, 設(shè), 由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以, 由于為線段的中點(diǎn),因此, 此時,所以所在直線的方程為, 又由題意知,令,得,即, 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號成立, 此時由得,因此當(dāng)且時,取最小值. (2)證明:由(1)知所在直線的方程為, 將其代入橢圓的方程,并由,解得, 又, 由距離公式及得 ,, , 由,得, 因此直線的方程為,所以直線恒過定點(diǎn). 21.函數(shù) (1)討論函數(shù)的單凋性; (2)若存在使得對任意的不等式(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),討論參數(shù)的取值確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而判定函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)先借助(Ⅰ)的結(jié)論求出不等式左邊的最小值,即將存在性問題轉(zhuǎn)化為左邊的最小值大于不等式右邊,再作差構(gòu)造函數(shù),將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. 試題解析:(I) ,記 (i)當(dāng)時,因?yàn)?,所以,函?shù)在上單調(diào)遞增; (ii)當(dāng)時,因?yàn)椋? 所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增; (iii)當(dāng)時,由,解得, 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減, 在區(qū)間上單調(diào)遞增 (II)由(I)知當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)時,函數(shù)的最大值是,對任意的, 都存在,使得不等式成立, 等價于對任意的,不等式都成立, 即對任意的,不等式都成立, 記,由, , 由得或,因?yàn)椋裕? ①當(dāng)時,,且時,, 時,,所以, 所以時,恒成立; ②當(dāng)時,,因?yàn)?,所以? 此時單調(diào)遞增,且, 所以時,成立; ③當(dāng)時,,, 所以存在使得,因此不恒成立. 綜上,的取值范圍是. 另解(II)由(Ⅰ)知,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增, 所以時,函數(shù)的最大值是, 對任意的,都存在, 使得不等式成立, 等價于對任意的,不等式都成立, 即對任意的,不等式都成立, 記, 由,且 ∴對任意的,不等式都成立的必要條件為 又, 由得或 因?yàn)?,所以? 當(dāng)時,,且時,, 時,,所以, 所以時,恒成立; ②當(dāng)時,,因?yàn)?,所以? 此時單調(diào)遞增,且, 所以時,成立. 綜上,的取值范圍是 考點(diǎn):1.函數(shù)的單調(diào)性;2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分. 22.在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),. (Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并判斷該曲線是什么曲線? (Ⅱ)設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為,,,當(dāng)時,求的值. 【答案】(1) 見解析;(2). 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式,可得的直角坐標(biāo)方程. (2) 由直線參數(shù)方程的幾何意義得,可得解. 試題解析:(1) 由得,該曲線為橢圓. (2)將代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義,設(shè), ,所以,從而,由于,所以. 23.已知函數(shù). (1)若,使不等式成立,求滿足條件的實(shí)數(shù)的集合; (2)為中最大正整數(shù),,,,,求證:. 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)題意,由零點(diǎn)分段討論法分析不等式,得到的解析式,即可得到. (2)由(1)可得,即可得,由基本不等式的性質(zhì)可得,,,將3個式子相乘,可得. 試題解析:(1)由已知得 則, 由于,使不等式成立,所以, 即 (2)由(1)知,則 因?yàn)?,,,所以,,? 則,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立), ,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立), (當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立), 則(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立), 即. 【點(diǎn)睛】本題絕對值不等式的性質(zhì)以解法,涉及基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用,(2)的關(guān)鍵是分析轉(zhuǎn)化求出 的最值.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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