數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2)

數(shù)列的綜合應(yīng)用1等差數(shù)列的前項和為,已知,則的最小值為_.2 函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)使得則的取值集合是 3在等差數(shù)列中，表示其前項，若，則的取值范圍是 （4，）4.已知 的一個內(nèi)角為120o，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_5.已知奇函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列是一個公差為2的等差數(shù)列滿足,則的值 6.等差數(shù)列中，已知，則的取值范圍是 . 7如圖,互不相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項公式是_. 8.設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則 一、 典型例題例1 如圖，、（）是曲線C：（）上的個點，點（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點）（）寫出、；（）求出點（）的橫坐標(biāo)關(guān)于n的表達(dá)式；（）設(shè)，若對任意的正整數(shù)n，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）與的交點為，,故與的交點為，故,與的交點為,故(2)第n個正三角形為（點即為原點），它的邊長為，則，其中，于是的坐標(biāo)為，兩式相減， 是公差和首項都是2等差數(shù)列，第n個正三角形的邊長為，關(guān)于n的表達(dá)式。（3）是關(guān)于n遞減數(shù)列，的最大值不等式恒成立，。例2 設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.【答案】(1) 解: ,. 當(dāng)時, 又, (2)解: ,. 當(dāng)時, 由 ,得 數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, 當(dāng)時,原不等式成立. 當(dāng)時, ,原不等式亦成立. 當(dāng)時, 當(dāng)時原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù),有. 例3在金融危機(jī)中,某鋼材公司積壓了部分圓鋼,經(jīng)清理知共有2009根.現(xiàn)將它們堆放在一起.(1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼?(2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層，（）共有幾種不同的方案?（）已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個方案，最能節(jié)省堆放場地？解：（1）當(dāng)縱斷面為正三角形時，設(shè)共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以1為首項、1為公差的等差數(shù)列，且剩余的圓鋼一定小于根，從而由且得，當(dāng)時，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時剩余了56根圓鋼；（2）（）當(dāng)縱斷面為等腰梯形時，設(shè)共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以為首項、1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因與的奇偶性不同，所以與的奇偶性也不同，且，從而由上述等式得：或或或，所以共有4種方案可供選擇。（）因?qū)訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知：若，則，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為400 cm，上下底之長為280 cm和680cm，從而梯形之高為 cm，而所以符合條件；若，則，說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為480 cm，上下底之長為160 cm和640cm，從而梯形之高為 cm，顯然大于4m，不合條件，舍去，綜上所述，選擇堆放41層這個方案，最能節(jié)省堆放場地。例4 設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為n（n=3,4,）階“期待數(shù)列”： ； .（1）分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；（2）若某2k+1()階“期待數(shù)列” 是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為.試證：； 解：（1）數(shù)列為三階期待數(shù)列；數(shù)列為四階期待數(shù)列；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為， ，所以，即， 當(dāng)d=0時,與期待數(shù)列的條件矛盾，當(dāng)d>0時,據(jù)期待數(shù)列的條件得： 由得，當(dāng)d<0時，同理可得由得，（3）（）當(dāng)k=n時，顯然成立；當(dāng)k<n時，據(jù)條件得，即， ,二、 鞏固提升1.已知公差不為的正項等差數(shù)列中，為其前項和，若，也成等差數(shù)列，則等于_ _ 302.等差數(shù)列中，已知，公差，則的最大值為 73下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題: 其中的真命題為 4已知數(shù)列的前項和，且的最大值為8，則 5已知的內(nèi)角的對邊成等比數(shù)列，則的取值范圍為 。6.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，則的值_0(填“>”、“<”之一)答案：>7觀察下圖：第一行：1第二行：2 3 4第三行：3 4 5 6 7第四行：4 5 6 7 8 9 10 則第 行的各數(shù)之和等于 10068. 已知等比數(shù)列的公比為，記，則以下結(jié)論一定正確的是 （1）. 數(shù)列為等差數(shù)列，公差為 （2）. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 （3）. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 （4）. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 【答案】 （3）9數(shù)列滿足，且 =2，則的最小值為 10在正項等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_.12 11. 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知為常數(shù)，），（） 求，的值；（） 求數(shù)列的通項公式；（） 是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（，）；若不存在，說明理由。解：由題意，知即解之得 由知，當(dāng)時，得，又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以由得，由，得，即，即，因為，所以，所以，且，因為，所以或或當(dāng)時，由得，所以；當(dāng)時，由得，所以或；當(dāng)時，由得，所以或或，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對為：12.數(shù)列的首項為，前項和為，且，設(shè)，(1) 求數(shù)列的通項公式；(2) 當(dāng)時若均有，求的取值范圍；(3) 當(dāng)時，是否存在正數(shù)數(shù)組，同時滿足：成等差數(shù)列；為等比數(shù)列，若存在，求出所有滿足題設(shè)的數(shù)組，若不存在，說明理由。解：（1）（2）時， 時，只要，不成立， 時， （）成立，從而成立 （）即，對成立，所以即，綜上，（2）存在唯一正數(shù)組，證明如下：時， 要使得為等比數(shù)列，則又成等差數(shù)列，即，所以，則13.已知在直角坐標(biāo)系中，其中數(shù)列都是遞增數(shù)列。（1）若，判斷直線與是否平行；（2）若數(shù)列都是正項等差數(shù)列，設(shè)四邊形的面積為.求證：也是等差數(shù)列；（3）若,，記直線的斜率為，數(shù)列前8項依次遞減，求滿足條件的數(shù)列的個數(shù)。解 由題意、.，. ，與不平行. 、為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為和，則，由題意. ，是與無關(guān)的常數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列.、，.又?jǐn)?shù)列前項依次遞減，對成立，即對成立.又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，只要時，即即可.又，聯(lián)立不等式，作出可行域（如右圖所示），易得或.當(dāng)時，即，有解；當(dāng)時，即，有解.數(shù)列共有個. 14已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列， （1）若求數(shù)列和的通項公式；（2）若是正整數(shù)且成等比數(shù)列，求的最大值解：（1）由題得，所以，從而等差數(shù)列的公差，所以，從而，所以 （2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，.因為成等比數(shù)列，所以設(shè)，則，整理得，.解得（舍去負(fù)根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，當(dāng)且僅當(dāng)且時，及取最大值.從而最大的， 所以，最大的 15已知直角的三邊長，滿足（1）在之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，且它們的和為，求c的最小值.（2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，求（）.（3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形.解：（1）是等差數(shù)列，即.所，c的最小值為；（2）設(shè)的公差為，則， .設(shè)三角形的三邊長為，面積，當(dāng)為偶數(shù)時，;當(dāng)為奇數(shù)時，;綜上，.（3）證明：因為成等比數(shù)列，.由于為直角三角形的三邊長，知，又,得.于是., 則有.故數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形.