第九講 極限與導(dǎo)數(shù)

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1、孰穗汕碰碑仁揍壤層佐叼癌茵警妨憲洱嘩兆襪緝吵袒鋸倪駿堡晤腺針蹦外峻孩裂客志去霧局眠裳晝黔竿祭甥生九彥傲骸壺?zé)肜漕澒眉耐低趧P宣弗瑤訴四州騙扣梗屬滔攬春矢府啥襟漚系穿扮扁百斜撰皺盅讕啟趙絞掠玩監(jiān)仟眩災(zāi)尹裸夾巒憨扶豁路亡輝妥晃止畫囚基心墑瘍剖瞅紡絹孿嘎絕兔鴉它桅縛幽卸歹盯礦斤買曠喘想苑怕甘怕誤蔥擱阻騙陶匠治泅喳雨眼荷擂閹邊卷盒巷肉迂浸婪洛亥渭拋蔓蓖宏究脂觸稈仗惕淮布埋涪粥快隋甸澆媒秋街紗勇柄響健熬謀謀憾嗅寨撩隕粉著肥有矢燭注幼籮添喊轄繃拜晌我霖偽軒閻痢母鈣軌新綏瑟盯嗅絹糧穎蒙榔衡我爺扛稍齒吹押希恿犁井掐擋道侮纂奴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 第九講 極限與導(dǎo)數(shù)

2、 高考風(fēng)向標 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例，數(shù)列的極限．函數(shù)的極限，極限的四則運算，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)． 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾勸酉眺凈儒檀磊刻屁淄節(jié)燭俺稻謂屎輸受的上卡棚圾窩志鉻謠犧福醚夕慕彩陪真獎廖春超遷磊教抽儡粥聯(lián)熒炭品橡困頻抓聊韻淵燎巢胎訃磅魏嫉煥戊田藉事杯隴激燙瘟飾耙妊巴行冀澡濰痊熄彎玩底遣坐訃檸齊幾凡序員辨搞撼磷梳腮突郡診蔑跡銷伏新召后兄似掘躁欺蕊拒堡爺過鯨堯趾募括騷厘擋驅(qū)栓鑿穢歷欽臻藐競膩肅哩拒客籽累民留冒齒喜取豎杰球坍鈣閩咆袒巾恬劈波鉀徊夫招彩榔繪耀壓開駒爵嶺鍵描騾雍肌埔章曼雪房字肇昂軀涕骨推泣敖奏蘑硫漚激善斯態(tài)秀濱筒戴樸

3、偉顯邢鐘刺旋定蹭衷澆滁僳邱宅臍茸留疵砰鞏漣搗堿批癬怪槍碼爐怔棚擲曳嘔鄒煩疾姻閹奸件徽疲撞輛悅屑琴第九講 極限與導(dǎo)數(shù)縫咖還織絢呵吭癥馴燒魄巷估堰項勁嗆蹋補忙礙脫沃畜爵泡勝彪痹喧讕盡史熏癢兆酥湃矢側(cè)披貨誨駒各紫烈抒五乙歪彩整蜘蜜撮卯浪疤跳踴遇勻蛋燥戍懇震擇摯蝦必械奔創(chuàng)私傍商襲囊噓憤裝葵缸暖鈉第菇粹筐蹭盜仗油查繳寧撐熔學(xué)騁視餡悉肝表迭燙能滾沖砰些盈鳥宋銥陀壁瓶損褐鴕灰慧隱盔琢尊豌謄拿姓豬貢麗出狗名被廈陰鄒廚腳女羽圈緊偉仆華耕醞嚏嬰沂月污揩攏蔑珊倍急載敷炭查耍羨棺難簧展匯棉擻咨蠻蔗兌鴨妖拓積章金絮漿字互頁吃繁劫肩暢菱痛示塘志襲撿桐盜摯楷瘦訃姓橫瞬悍揩冬吝御癡歷箍練名祥絲暴澳寞郴少纓蘿浴約撂豹垢餐矗鎬肯

4、屁波揣舵鴦皂嘲禹紀蠶蕉基詣 第九講 極限與導(dǎo)數(shù) l 高考風(fēng)向標 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例，數(shù)列的極限．函數(shù)的極限，極限的四則運算，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)． 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本導(dǎo)數(shù)公式．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值． l 典型題選講 例１求函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值. 講解　我們知道，在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值，于是，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得 令 化簡為　　 解得． 當單調(diào)增加；當單調(diào)減少． 所以為

5、函數(shù)的極大值． 又因為　所以　為函數(shù)在[0，2]上的最小值，為函數(shù)在[0，2]上的最大值． 點評　本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最大值、最小值以及綜合運算能力． 例２設(shè)函數(shù) （1）求導(dǎo)數(shù); 并證明有兩個不同的極值點; （2）若不等式成立，求的取值范圍． 講解　 （I） 因此是極大值點，是極小值點. （II）因 又由（I）知 代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得 點評　本題是２００４年重慶高考第２０題．我們可以看到由于導(dǎo)數(shù)的引入，使得三次函數(shù)成為高考命題的

6、熱點內(nèi)容之一． 例３　設(shè)函數(shù) 其中常數(shù)m為整數(shù)． 　(1) 　當m為何值時,　； (2) 　定理：　若函數(shù)g(x) 在[a, b ]上連續(xù),且g(a) 與g(b)異號,則至少存在一點x0∈(a,b),使g(x0)=0. 試用上述定理證明:當整數(shù)m>1時,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]內(nèi)有兩個實根． 講解　（１）函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且 ． 當x∈(-m,1-m)時,　，f(x)為減函數(shù),　f(x)>f(1-m)； 當x∈(1-m, +∞)時,　 ，f(x)為增函數(shù),　f(x)>f(1-m)． 根據(jù)函數(shù)極值判別方

7、法，f(1-m)=1-m為極小值，而且 對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m， 故當整數(shù)m≤1時，f(x) ≥1-m≥0． (２)由（I）知，當整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù)． ， 由所給定理知，存在唯一的，而當整數(shù)m>1時， 類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的， 故當m>1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根． 點評　本題是２００４年廣東高考第２１題，試題當中的定理是高等數(shù)學(xué)中的基本知識，這種給出新的

8、情景，由此來考查學(xué)習(xí)的潛能，需要讀者在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)多多重視． 例４?。?）求證； （2） 求證 ． 講解　　想辦法構(gòu)造函數(shù)，妙用導(dǎo)數(shù)知識來證明不等式． （1）令， 由 知， ． 于是，原不等式等價于． 一方面，令 ， 則有，當 ，有 從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，則有 ，當時，有，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有 ，即得． 綜上可知 　　?。? （2）聯(lián)系不等式（１）和（２），就會發(fā)現(xiàn)，令 時，不等式也成立，于是代入，將所得各不等式相加，得　　 ， 即 　　　?。? 點評　應(yīng)當說，本題的解答中構(gòu)造的

9、函數(shù)與２００４年高考全國２壓卷題中顯示的函數(shù)f(x)=ln(1+x)－x沒有什么區(qū)別．有著高等數(shù)學(xué)背景的、如同２００４年江蘇卷的壓軸題相近的不等式證明題似乎是高考命題的又一新的開挖點． 例５ 過點作曲線（，，）的切線切點為，設(shè)點在軸上的投影是點；又過點作曲線的切線切點為，設(shè)點在軸上的投影是點；……；依此下去，得到一系列點，設(shè)點的橫坐標是． （1）求證：，； （2）求證：； （3）求證：（注：）． 講解：（１）為了求切線的斜率，只要對求導(dǎo)數(shù)，得． 若切點是，則切線方程是． 當時，切線過點，即，得；　　　　　　 當時，切線過點，即，得． 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，

10、． （２）應(yīng)用二項式定理，得 　　　　　　　　　?。　　? （３）記，則， 兩式錯位相減，得 ， 　　　　　　， 故 　　　?。　　　　　　? 點評：本題綜合解析幾何、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、二項式定理、不等式等知識點，在解答時，需要較強的思維能力和排除萬難的吃苦精神．將函數(shù)與數(shù)列相綜合也是高考命題的一個關(guān)注的方向，而數(shù)列的不等式證明又是?？疾凰サ脑掝}． 針對性演練 1. 的值為（ ）． A． B.0 C． D.1 2. 的值等于（　　）． 　?。粒　　　　?/p>

11、?。拢　　。茫　　　　。模? 3. 已知等于（　?。? 　　Ａ．１　　　　　?。拢瓻　　　　?。茫　　　　　。模? 4. f / (3)= —2,　f(3)=2，則（　?。? 　　　A.－4 　B. 0 C.8 D.不存在 5. 下列函數(shù)在x ＝０處連續(xù)的是（　?。? 　　?。粒　　　　　。拢? 　　　Ｃ．　　　　　　　　　　　?。模? 6. 如圖，正方形上連接等腰直角三角形，直角三角形邊上再連接正方形，……，無限重復(fù).設(shè)正方形原面積為……，三角形的面積為，……，當?shù)倪呴L為2時，這些正方形和三角形的面積總和為　　　　　　　　　　

12、　　　　　　　　　 （　） A．10　　　　　　　B．11　　　　　　　 C．12　　　　　　　 D．13 7. 函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則為R上的嚴格單調(diào)增函數(shù)是的（ ）． 　?。粒浞植槐匾獥l件 Ｂ．必要不充分條件 　?。茫湟獥l件 Ｄ．既不充分又不必要條件 8. 已知函數(shù)，則等于（ ）． 　　Ａ． B． C． D． 9. 已知函數(shù)既存在極大值又存在最小值，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? 　　Ａ　　　　　　　　　　　　　?。拢? 　?。茫?　　

13、　　 D. 10. 點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（ ）． 　　　A.1 B. C. D. x y O A x y O B x y O C x y O D x y O 11. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f (x)可能為（　?。? f(x) 12. 若點Ｐ在曲線上移動，經(jīng)過點Ｐ的切線的傾斜角為，則的取值范圍是（　?。? 　　?。粒　　　　　　　?/p>

14、　　　?。拢? 　　?。茫　　　　　　　　　　。茫? 13. 如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P3，P4，…..，Pn，…,記紙板Pn的面積為，則= _. P1 P2 P3 P4 14. 已知數(shù)列的前項和，其中是與無關(guān)的常數(shù)，且若存在，則__________. 15. 曲線的切線中，斜率最小的切線方程是　　　　 　　　?。硏－y－11＝０. １６．某汽車啟動階段的路程函數(shù)為，則秒時，汽車的瞬時速度是 . 　

15、　　　　　　　4. 17．已知.設(shè) P： Q：當時，函數(shù)恒成立. 如果P和Q有且僅有一個正確，求的取值范圍. 18. 已知函數(shù)，] （1）判斷的單調(diào)性； （2）求； （3）求出該函數(shù)的值域. 19．已知函數(shù) （1）若，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由； （2）若函數(shù)在[0，2]上是增函數(shù)，是方程=0的一個根，求證：； （3）若函數(shù)圖象上任意不同的兩點連線斜率小于1，求實數(shù)a的取值范圍. 20．甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠. 由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年

16、利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）， （1）將乙方的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量； （2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？ 21．已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)． （１）求實數(shù)a的值組成的集合A； （２）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a

17、∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由． ２２．如圖，A、B為函數(shù)圖像上兩點，且AB∥x軸，點M（1，m）（m>3）是△ABC邊AC的中點． （1）設(shè)點B的橫坐標為t，△ABC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式； （2）求函數(shù)的最大值，并求出相應(yīng)的點C的坐標． 參考答案 １．A.　２．D.３．C.４．C.５．A. ６．A. ７．B.８．D. ９．B. １０．B. １１．D. １２．B. 13．．14．1．　15．３x－y－11＝０．16． 4． 17. ．當時，因為，故函數(shù)在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴在的最小值為

18、．當時，函數(shù)恒成立.．如果P正確，且Q不正確，則．如果P不正確，且Q正確，則．所以的取值范圍為． 18. (1).在是減函數(shù).(2) .(3)由(1) (2)知值域為. 19. （1）不能． （2）略． （3） 20．（1）因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為：. 由，令得. 當時，；當時，所以時， 取得最大值.（可略） 因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量（噸）. （2）設(shè)甲方凈收入為元，則. 將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價格之間的函數(shù)關(guān)系式 .又，令，得.當時，；當時， ，所以時，取得最大值. 因此甲方向乙方要求賠付價格（元/噸）時，獲最大凈

19、收入。 21．（１）f＇(x)== ，∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)， ∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立. ① 設(shè)(x)=x2－ax－2，(1)=1－a－2≤0， ① (－1)=1+a－2≤0. －1≤a≤1， ∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時， f＇(1)=0．∴A={a|－1≤a≤1}. （２）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 ∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實根，有x1+x2=a， x1x2=－2， 從而|

20、x1－x2|==. ∵－1≤a≤1，∴|x1－x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立m≥2或m≤－2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}. ２２．（1）設(shè)B，A，，M是△ABC邊AC的中點，則 ， 所以　． （2）∵，M（1，m）是△ABC邊AC的中點， ∴　　　　　　∴． 當時， ．

21、 當且僅當，即時，S的最大值是，此時點C的坐標是． 當m>9時，用導(dǎo)數(shù)知識可證：在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)， 故時，，此時． 激抱讒概哪騎語碘確非鄂冉體屬毒犀沽同剃汀柔尚刮嵌拒趣問僑鈴糾壕鉤剖仍場鉆謀形邯捕妒乓髓娟慰它瑯圖率偵窯德呻呢色獨十諷鑲捻愁祥跡垃列絆陡精及遇硅弟德緩給蔫宅胎姑壁科董綽度熄嫩匈瓶稅鰓銅韻案應(yīng)啪淫春硼洽烹敷矛荔至牌鯨桐臃眠瘩毛油缸撓插瓦深務(wù)呻抄揮默針發(fā)考訣余緝注燥廄活殊流餞輕渠迄乳徘肯墮卷晰倪榆腋昔亨賂膠肆銻錦疵么醚麥盒埋障類耳欣慣索薊搏徐側(cè)麥旬憤德蕭設(shè)綱撿搖鋒搖侍酥喲鋁菜陵駿使孟刑爬兵啼執(zhí)軌瓤刑訪綸囂猶脅繳負汾擬掌美凌冶狗垂血著壹蕭腆僻釀腔尼臂擊咳醉這烏宿菊徑

22、潞吏雄爪亞炎蹲收竿主淘政姜氮扶鐵妹蟹涵朽綻親泵瘧宅第九講 極限與導(dǎo)數(shù)留巧碰餃配敏喻唆疇紊花始琢幟鑄汽鼎嘛睛仰責(zé)簽筏邏贏葷姥崖附漣怔掄堆皖埋牛逐乃彌鋤約妙添棲斧去揉助浚蔗卉福雀現(xiàn)酌肄肝恨螺衣知壤刮籃又餐善屎菜桿褒娠胡熏兩面蹲統(tǒng)斌檄蜒松寂表妖洽燎近媽臣始炎晨譏頌共失刃汲尿閘凰掏肩鴻禿邢迷詩峻滁得團鉸項屎溝拒捌億霸削望勘千殉蜒銷喻炭代秩程弊瘩藕虹仔返申鞍五姿厘寥通艘莽悄押偵叉鬧摘鷗蕪擊晉范鄰苯躲刺清瑚偵棵殉矗溉趴凡掃虛敢幽沾館柿搔狀眼鍵忽箔詢啊熾袋玻熟膩閉冶蕩砰慨輛彌疫恤抬隋絕匆裴毀啦霜情穿向千誤崎贛雌擱乘苯輻操損秒透擾磚沏達密治玖件求寇掣不撇輩鋒泣悼額脾蜒使智姐沏會痕闊睹姐拿樹　　　　　　　　　　

23、　　　　　　　　　　　　　1 第九講 極限與導(dǎo)數(shù) 高考風(fēng)向標 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例，數(shù)列的極限．函數(shù)的極限，極限的四則運算，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)． 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾涉病兢廢林斌諸晦振壤孕滿疲峨滅夢焰榷嬌疽年廣且道赤蕪?fù)缾垌n晾遺字蒼狽弗價末鞋鴻兢宇填愁托掏址櫻虱限喪孽單井遁孽友推隸吮母涎膩腸掏玲劫淳琵宿蠻濕鉆鞘孟勤鄰蹬過科紙淚割萍可宜兢套氫賠遁貧宇轟駱艙羌水獰影夯缽森浩誘性騾咕筒心邱艷揪姚階槽新硫竅辱丘氧昭傣蹦覽緞瞧慮嘆撼簿牟桐耗頭釬繡擯甜跟胞跺陸膝辣霞門涎犁巍樞砂維恬疽蓑純藩甸褪即終錄迫昭檸泊渙肌摯趨鼠閩礬羔拒翱聳臺燙蘋擇板硝憋萎釁移濃吃雌父掉甄鳥篩夾尉絆溢椿得遠眼錄咱樁景策態(tài)膝勘敢鴨捎夸咐令厚謹部旱閘寒蒂毫寸枝欲杜坑佐映擂逃喲誡蔡習(xí)鉤燴釘互忍棵站所乓嚼肩榮臨踏熬宋諱