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金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義:第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形 Word版含解析

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金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義:第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形 Word版含解析

第二講三角恒等變換與解三角形 必記公式1同角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2cos21;(2)商數(shù)關(guān)系:tan.2誘導(dǎo)公式(1)公式:S2k;S;S;S;(2)巧記口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限,當(dāng)銳角看3兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin;(2)cos()coscossinsin;(3)tan();(4)輔助角公式:asinbcossin()cos()4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos;(2)cos2cos2sin22cos2112sin2;(3)tan2.5降冪公式(1)sin2;(2)cos2.6正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.sinA,sinB,sinC.abcsinAsinBsinC.7余弦定理a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC.推論:cosA,cosB,cosC.變形:b2c2a22bccosA,a2c2b22accosB,a2b2c22abcosC.8面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC.重要結(jié)論1判斷三角形形狀的常用結(jié)論(1)sinAsinB且AB等腰三角形;(2)sin2Asin2BAB或AB等腰或直角三角形;(3)cosAcosBAB等腰三角形;(4)cos2Acos2BAB等腰三角形;(5)sin(AB)0AB等腰三角形;(6)A60且bc等邊三角形;(7)A,B,C成等差數(shù)列B60;(8)a2b2c2(A為三角形中的最大角)三角形為銳角三角形(A為銳角);(9)a2b2c2三角形為直角三角形(A為直角);(10)a2b2c2三角形為鈍角三角形(A為鈍角)2射影定理abcosCccosB.bacosCccosA.cacosBbcosA.失分警示1同角關(guān)系應(yīng)用錯(cuò)誤:利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方時(shí),忽略判斷角所在的象限或判斷出錯(cuò),導(dǎo)致三角函數(shù)符號(hào)錯(cuò)誤2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用錯(cuò)誤:利用誘導(dǎo)公式時(shí),三角函數(shù)名變換出錯(cuò)或三角函數(shù)值的符號(hào)出錯(cuò)3忽視解的多種情況如已知a,b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由ABC,求C,再由正弦定理或余弦定理求邊c,但解可能有多種情況4忽略角的范圍應(yīng)用正、余弦定理求解邊、角等量的最值(范圍)時(shí),要注意角的范圍5忽視解的實(shí)際意義求解實(shí)際問題,要注意解得的結(jié)果要與實(shí)際相吻合 考點(diǎn)三角恒等變換典例示法題型1求角典例120xx中山模擬已知cos(2),sin(2),0,則_.解析由0<<<<易得<2<,<2<,<<,故sin(2),cos(2),cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2),故.答案解答此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合已知條件,求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值,然后根據(jù)角的范圍確定角的具體取值.題型2求值典例220xx安徽合肥質(zhì)檢已知coscos,.(1)求sin2的值;(2)求tan的值解(1)coscoscossinsin,即sin.,2,cos,sin2sinsincoscossin.(2),2,又由(1)知sin2,cos2tan22.化簡(jiǎn)常用的方法技巧(1)化簡(jiǎn)常用方法:直接應(yīng)用公式,包括公式的正用、逆用和變形用;切化弦、異名化同名、異角化同角等(2)化簡(jiǎn)常用技巧:注意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化;注意利用角與角之間的隱含關(guān)系,如2()(),()等;注意利用“1”的恒等變形,如tan451,sin2cos21等考點(diǎn)正、余弦定理典例示法題型1應(yīng)用正、余弦定理求邊、角典例320xx淄博模擬已知a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acosCasinCbc0.(1)求A;(2)若a2,求ABC面積的最大值解(1)由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因?yàn)锽AC,所以sinAsinCcosAsinCsinC0.易知sinC0,所以sinAcosA1,所以sin.又0A,所以A.(2)解法一:由(1)得BCCB0B,由正弦定理得,所以bsinB,csinC.所以SABCbcsinAsinBsinCsinsinBsinCsinBsinsin2Bcos2Bsin.易知2B,故當(dāng)2B,即B時(shí),SABC取得最大值,最大值為.解法二:由(1)知A,又a2,由余弦定理得22b2c22bccos,即b2c2bc4bc4b2c22bcbc4,當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí),等號(hào)成立所以SABCbcsinAbc4,即當(dāng)bc2時(shí),SABC取得最大值,最大值為.解三角形問題,多為邊和角的求值問題,這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問題的目的其基本步驟是:第一步:定條件即確定三角形中的已知和所求,在圖形中標(biāo)出來(lái),然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步:定工具即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實(shí)施邊角之間的互化第三步:求結(jié)果題型2判斷三角形的形狀典例4設(shè)ABC的內(nèi)角,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosCccosBasinA,則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A,sin(BC)sin2A,即sin(A)sin2A,sinAsin2A.A(0,),sinA0,sinA1,即A,故選B.答案B利用正、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路(1)“角化邊”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀(2)“邊化角”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論題型3求有關(guān)三角形的面積典例520xx浙江高考在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ab,c,cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB.(1)求角C的大??;(2)若sinA,求ABC的面積解(1)由題意得sin2Asin2B,即sin2Acos2Asin2Bcos2B,sinsin.由ab,得AB,又AB(0,),得2A2B,即AB,所以C.(2)由c,sinA,得a.由ac,得AC,從而cosA,故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC,所以ABC的面積為SacsinB.與三角形面積有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求三角形的面積對(duì)于面積公式SabsinCacsinBbcsinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式(2)已知三角形的面積解三角形與面積有關(guān)的問題,一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化考點(diǎn)正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用典例示法典例6如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1260 m,經(jīng)測(cè)量,cosA,cosC.(1)求索道AB的長(zhǎng);(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解(1)在ABC中,因?yàn)閏osA,cosC,所以sinA,sinC.從而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理,得ABsinC1040(m)所以索道AB的長(zhǎng)為1040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d m,此時(shí),甲行走了(10050t) m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50),因0t,即0t8,故當(dāng)t時(shí),d最小,所以乙出發(fā)分鐘后,甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理,得BCsinA500(m)乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50(281)550(m),還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得33,解得v,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3 min,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi)1解三角形應(yīng)用題的常見情況及方法(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解2解三角形應(yīng)用題的一般步驟針對(duì)訓(xùn)練20xx湖北高考如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD_ _m.答案100解析在ABC中,BAC30,BCA753045,所以由正弦定理得,BCAB600600300.在BCD中,CDBCtan30300100,故此山的高度為100 m. 全國(guó)卷高考真題調(diào)研120xx全國(guó)卷若cos,則sin2()A. B.C D答案D解析因?yàn)閏oscoscossinsin(sincos),所以sincos,所以1sin2,所以sin2,故選D.220xx全國(guó)卷sin20cos10cos160sin10()A B.C D.答案D解析原式sin20cos10cos20sin10sin(2010).320xx全國(guó)卷在平面四邊形ABCD中,ABC75,BC2,則AB的取值范圍是_答案(,)解析如圖,作PBC,使BC75,BC2,作直線AD分別交線段PB、PC于A、D兩點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且使BAD75,則四邊形ABCD就是符合題意的四邊形過(guò)C作AD的平行線交PB于點(diǎn)Q,在PBC中,過(guò)P作BC的垂線交BC于點(diǎn)E,則PB;在QBC中,由余弦定理QB2BC2QC22QCBCcos3084()2,故QB,所以AB的取值范圍是(,)其它省市高考題借鑒420xx浙江高考已知2cos2xsin2xAsin(x)b(A>0),則A_,b_.答案1解析由于2cos2xsin2x1cos2xsin2xsin1,所以A,b1.520xx廣東高考設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a,sinB,C,則b_.答案1解析由sinB得B或,因?yàn)镃,所以B,所以B,于是A.由正弦定理,得,所以b1.620xx山東高考設(shè)f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若f0,a1,求ABC面積的最大值解(1)由題意知f(x)sin2x.由2k2x2k,kZ,可得kxk,kZ;由2k2x2k,kZ,可得kxk,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ);單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsinA0,得sinA,由題意知A為銳角,所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccosA,可得1bcb2c22bc,即bc2,且當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsinA.所以ABC面積的最大值為. 一、選擇題120xx合肥質(zhì)檢sin18sin78cos162cos78()A BC. D.答案D解析sin18sin78cos162cos78sin18sin78cos18cos78cos(7818)cos60,故選D.220xx廣西質(zhì)檢已知<<,3sin22cos,則cos()等于()A. B.C. D.答案C解析由3sin22cos得sin.因?yàn)?lt;<,所以cos()cos .320xx鄭州質(zhì)檢在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則cosB()A B.C D.答案B解析由正弦定理知1,即tanB,所以B,所以cosBcos,故選B.420xx武漢調(diào)研據(jù)氣象部門預(yù)報(bào),在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng),距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),則該碼頭處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A9 h B10 hC11 h D12 h答案B解析記碼頭為點(diǎn)O,熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點(diǎn)位置,在OAB中,OA400,AB20t,OAB45,根據(jù)余弦定理得4002400t2220t4003002,即t220t1750,解得105t105,所以所求時(shí)間為10510510(h),故選B.520xx云南統(tǒng)測(cè)已知ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c,sinAsinB2sinC,b3,當(dāng)內(nèi)角C最大時(shí),ABC的面積等于()A. B.C. D.答案A解析根據(jù)正弦定理及sinAsinB2sinC得ab2c,c,cosC2,當(dāng)且僅當(dāng),即a時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)sinC,SABCabsinC3.620xx鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知sin(BA)sin(BA)3sin2A,且c,C,則ABC的面積是()A. B.C. D.或答案D解析sin(BA)sinBcosAcosBsinA,sin(BA)sinBcosAcosBsinA,sin2A2sinAcosA,sin(BA)sin(BA)3sin2A,即2sinBcosA6sinAcosA.當(dāng)cosA0時(shí),A,B,又c,得b.由三角形面積公式知Sbc;當(dāng)cosA0時(shí),由2sinBcosA6sinAcosA可得sinB3sinA,根據(jù)正弦定理可知b3a,再由余弦定理可知cosCcos,可得a1,b3,所以此時(shí)三角形的面積為SabsinC.綜上可得三角形的面積為或,所以選D.二、填空題7已知tan,tan是lg (6x25x2)0的兩個(gè)實(shí)根,則tan()_.答案1解析lg (6x25x2)06x25x10,tantan,tantan,tan()1.820xx貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別是a、b、c,若sin2,則ABC的形狀一定是_答案直角三角形解析由題意,得,即cosB,又由余弦定理,得,整理,得a2b2c2,所以ABC為直角三角形920xx西安質(zhì)檢已知ABC的三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,且abc753,若ABC的面積為45,則ABC外接圓的半徑為_答案14解析因?yàn)閍bc753,所以可設(shè)a7k,b5k,c3k(k>0),由余弦定理得,cosA.因?yàn)锳是ABC的內(nèi)角,所以sinA,因?yàn)锳BC的面積為45,所以bcsinA45,即5k3k45,解得k2.由正弦定理2R(R為ABC外接圓的半徑),即2R,解得R14,所以ABC外接圓半徑為14.三、解答題1020xx重慶測(cè)試在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cos2sin2A1.(1)求A;(2)設(shè)a22,ABC的面積為2,求bc的值解(1)由2cos2sin2A1可得,22sinAcosA1,所以1cos(A)2sinAcosA1,故2sinAcosAcosA0.因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以cosA0,故sinA,從而A.(2)因?yàn)锳BC的面積為bcsinAbc2,所以bc8.因?yàn)锳,故cosA,由余弦定理可知,b2c2a22bccosAbc.又a22,所以(bc)2b2c22bc(2)bca28(2)(22)232.故bc4.1120xx武漢調(diào)研在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求證:a,b,c成等比數(shù)列;(2)若b2,求ABC的面積的最大值解(1)證明:在ABC中,cosBcos(AC)由已知,得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC,sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC,化簡(jiǎn),得sin2BsinAsinC.由正弦定理,得b2ac,a,b,c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件,得ac4.則cosB,當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí),等號(hào)成立0<B<,sinB .SABCacsinB4.ABC的面積的最大值為.1220xx濟(jì)寧模擬已知向量m,n,記f(x)mn.(1)若f(x)1,求cos的值;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(2ac)cosBbcosC,求f(2A)的取值范圍解(1)f(x)mnsincoscos2sincossin,因?yàn)閒(x)1,所以sin,所以cos12sin2.(2)因?yàn)?2ac)cosBbcosC,由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC,所以2sinAcosBsinCcosBsinBcosC,所以2sinAcosBsin(BC)因?yàn)锳BC,所以sin(BC)sinA,且sinA0,所以cosB,又0<B<,所以B.則AC,AC,又0<C<,則<A<,得<A<,所以<sin1又因?yàn)閒(2A)sin,故函數(shù)f(2A)的取值范圍是.典題例證20xx天津高考已知函數(shù)f(x)4tanxsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期;(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性審題過(guò)程確定函數(shù)的定義域,運(yùn)用輔助角公式化為yAsin(x)的形式確定最小正周期利用ysinx的單調(diào)性進(jìn)行求解,注意將x視為一個(gè)整體.(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tanxcosxcos4sinxcos4sinx2sinxcosx2sin2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2x2sin.所以,f(x)的最小正周期T.(2)令z2x,函數(shù)y2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是,kZ.由2k2x2k,得kxk,kZ.設(shè)A,Bkx.易知AB.所以,當(dāng)x時(shí),f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減模型歸納利用ysinx(ycosx)的圖象及性質(zhì)解決三角函數(shù)性質(zhì)的模型示意圖如下:典題例證ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C;(2)若c,ABC的面積為,求ABC的周長(zhǎng)審題過(guò)程利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化;由SABC得出ab,再由余弦定理聯(lián)立方程.(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC,2cosCsin(AB)sinC,故2sinCcosCsinC.可得cosC,所以C.(2)由已知,absinC.又C,所以ab6.由已知及余弦定理得,a2b22abcosC7,故a2b213,從而(ab)225.所以ABC的周長(zhǎng)為5.模型歸納利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意圖如下:專題四數(shù)列第一講等差與等比數(shù)列 必記公式1等差數(shù)列通項(xiàng)公式:ana1(n1)d.2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Snna1.3等比數(shù)列通項(xiàng)公式:ana1qn1.4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn.5等差中項(xiàng)公式:2anan1an1(nN*,n2)6等比中項(xiàng)公式:aan1an1(nN*,n2)7數(shù)列an的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系:an.重要結(jié)論1通項(xiàng)公式的推廣:等差數(shù)列中,anam(nm)d;等比數(shù)列中,anamqnm.2增減性:(1)等差數(shù)列中,若公差大于零,則數(shù)列為遞增數(shù)列;若公差小于零,則數(shù)列為遞減數(shù)列(2)等比數(shù)列中,若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1,則數(shù)列為遞增數(shù)列;若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1,則數(shù)列為遞減數(shù)列3等差數(shù)列an中,Sn為前n項(xiàng)和Sn,S2nSn,S3nS2n,仍成等差數(shù)列;等比數(shù)列bn 中,Tn為前n項(xiàng)和Tn,T2nTn,T3nT2n,一般仍成等比數(shù)列失分警示1忽視等比數(shù)列的條件:判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí),忽視各項(xiàng)都不為零的條件2漏掉等比中項(xiàng):正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)是,容易漏掉.3忽略對(duì)等比數(shù)列的公比的討論:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)首先討論公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n的范圍限制5易忽略公式anSnSn1成立的條件是n2.6證明一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列時(shí),由數(shù)列的前n項(xiàng)和想當(dāng)然得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,易出錯(cuò),必須用定義證明7等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù),而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q,又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù) 考點(diǎn)數(shù)列的概念、表示方法及遞推公式典例示法題型1利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式典例1(1)已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11,(n2)a(n1)aanan10,則它的通項(xiàng)公式為()Aan BanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10,得(n2)an1(n1)an(an1an)0,又an>0,所以(n2)an1(n1)an,即,an1an,所以ana1a1(n2),所以an(n1適合),于是所求通項(xiàng)公式為an.答案B(2)20xx江蘇高考設(shè)數(shù)列an滿足a11,且an1ann1(nN*),則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_解析由a11,且an1ann1(nN*)得,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n,則2,故數(shù)列前10項(xiàng)的和S1022.答案題型2利用an與Sn的關(guān)系求an典例220xx全國(guó)卷Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an>0,a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3,可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1,即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an>0,可得an1an2.又a2a14a13,解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則Tnb1b2bn.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見類型及方法(1)歸納猜想法:已知數(shù)列的前幾項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式,可采用歸納猜想法(2)已知Sn與an的關(guān)系,利用an求an.(3)累加法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf(n),其中數(shù)列f(n)前n項(xiàng)和可求,這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí),常用累加法(疊加法)(4)累乘法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an1g(n)an,其中數(shù)列g(shù)(n)前n項(xiàng)可求積,此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法)(5)構(gòu)造法:遞推關(guān)系形如an1panq(p,q為常數(shù))可化為an1p(p1)的形式,利用是以p為公比的等比數(shù)列求解;遞推關(guān)系形如an1(p為非零常數(shù))可化為的形式考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的運(yùn)算典例示法題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算典例320xx全國(guó)卷已知等比數(shù)列an滿足a1,a3a54(a41),則a2()A2 B1C. D.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a1,a3a54(a41),由題可知q1,則a1q2a1q44(a1q31),q64,q616q3640,(q38)20,q38,q2,a2,故選C.答案C題型2等差、等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)算典例420xx全國(guó)卷設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310,a2a45,則a1a2an的最大值為_解析設(shè)an的公比為q,由a1a310,a2a45得a18,q,則a24,a32,a41,a5,所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算中的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量在等差(比)數(shù)列中,首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本量(2)解題思路求公差d(公比q):常用公式anam(nm)d(anamqnm);列方程組:若條件與結(jié)論的聯(lián)系不明顯時(shí),常把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量2等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的判斷與證明典例示法典例520xx全國(guó)卷已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù)(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由解(1)證明:由題設(shè),anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1.因?yàn)閍n10,所以an2an.(2)由題設(shè),a11,a1a2S11,可得a21,由(1)知,a31.若an為等差數(shù)列,則2a2a1a3,解得4,故an2an4.由此可得a2n1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3;a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2.因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列在本例題(2)中是否存在,使得an為等比數(shù)列?并說(shuō)明理由解由題設(shè)可知a11,a1a2S11,得a21,由(1)知a31,若an為等比數(shù)列,則aa1a3,即(1)21,解得0或3.當(dāng)0時(shí),anan11,又a11,所以a21,a31,an(1)n1,所以數(shù)列an為首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列;當(dāng)3時(shí),a11,a22,a34,故可令an2n1,則anan122n1.Sn132n4,易得anan1與Sn1不恒相等,與已知條件矛盾綜上可知,存在0,使得an為等比數(shù)列1等差數(shù)列的判定方法(1)證明一個(gè)數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an1and(nN*);利用等差中項(xiàng)證明,即證明an2an2an1(nN*)(2)解選擇、填空題時(shí),亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷通項(xiàng)法:若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù),即anAnB,則an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和法:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是SnAn2Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an是等差數(shù)列2等比數(shù)列的判定方法(1)定義法:若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2),則an是等比數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法:若數(shù)列an中,an0且aanan2(nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成ancqn(c,q均是不為0的常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0,q0,1),則an是等比數(shù)列提醒:若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列,則只需說(shuō)明前三項(xiàng)不是等差(等比)數(shù)列即可針對(duì)訓(xùn)練20xx云南統(tǒng)測(cè)在數(shù)列an中,a1,an12,設(shè)bn,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求Sn;(2)比較an與Sn7的大小解(1)證明:bn,an12,bn11bn1,bn1bn1,數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1,bn得b1,Sn3n.(2)由(1)知:bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.當(dāng)n4時(shí),y3n6是減函數(shù),y也是減函數(shù),當(dāng)n4時(shí),anSn7a4S470.又a1S17<0,a2S27<0,a3S37<0,nN*,anSn70,anSn7. 全國(guó)卷高考真題調(diào)研120xx全國(guó)卷已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b11,b2,anbn1bn1nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求bn的前n項(xiàng)和解(1)由已知,a1b2b2b1,b11,b2,得a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn得bn1,因此bn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn.220xx全國(guó)卷已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5,求.解(1)證明:由題意得a1S11a1,故1,a1,a10.由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1(1)an.由a10,0且1得an0,所以.因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15,即5.解得1.其它省市高考題借鑒320xx北京高考已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和若a16,a3a50,則S6_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知得解得所以S66a165d3615(2)6.420xx廣東高考設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,nN*,已知a11,a2,a3,且當(dāng)n2時(shí),4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值;(2)證明:為等比數(shù)列;(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)4Sn25Sn8Sn1Sn1,n2時(shí),4S45S28S3S1,4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1,45811,解得a4.(2)證明:n2時(shí),4Sn25Sn8Sn1Sn1,4(Sn2Sn1)2(Sn1Sn)2(Sn1Sn)(SnSn1),(Sn2Sn1)(Sn1Sn)(Sn1Sn)(SnSn1),an2an1.又a3a2,是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列(3)由(2)知是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,an1ann1,兩邊同乘以2n1得,an12n1an2n4.又a222a1214,an2n是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,an2n24(n1)2(2n1),an. 一、選擇題120xx重慶高考在等差數(shù)列an中,若a24,a42,則a6()A1 B0C1 D6答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d,由a4a22d,a24,a42,得242d,d1,a6a42d0.故選B.220xx山西四校聯(lián)考等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若公比q>1,a3a520,a2a664,則S5()A31 B36C42 D48答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì),得a3a5a2a664,于是由且公比q>1,得a34,a516,所以解得所以S531,故選A.320xx唐山統(tǒng)考設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3,則()A2 B.C. D1或2答案B解析設(shè)S2k,S43k,由數(shù)列an為等比數(shù)列,得S2,S4S2,S6S4為等比數(shù)列,S2k,S4S22k,S6S44k,S67k,S43k,故選B.420xx浙江高考已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()Aa1d>0,dS4 >0 Ba1d<0,dS4<0Ca1d>0,dS4<0 Da1d<0,dS4>0答案B解析由aa3a8,得(a12d)(a17d)(a13d)2,整理得d(5d3a1)0,又d0,a1d,則a1dd2<0,又S44a16dd,dS4d2<0,故選B.5正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足:a3a22a1,若存在am,an,使得aman16a,m,nN*,則的最小值為()A2 B16C. D.答案C解析設(shè)數(shù)列an的公比為q,a3a22a1q2q2q1(舍)或q2,ana12n1,aman16aa2mn216amn6,m,nN*,(m,n)可取的數(shù)值組合為(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),計(jì)算可得,當(dāng)m2,n4時(shí),取最小值.620xx吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1a21,nSn(n2)an為等差數(shù)列,則an()A. B.C. D.答案A解析設(shè)bnnSn(n2)an,則b14,b28,bn為等差數(shù)列,所以bn4n,即nSn(n2)an4n,Snan4.當(dāng)n2時(shí),SnSn1anan10,所以anan1,即2,又因?yàn)?,所以是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以n1(nN*),an(nN*),故選A.二、填空題720xx廣東高考在等差數(shù)列an中,若a3a4a5a6a725,則a2a8_.答案10解析利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3a7a4a62a5,從而a3a4a5a6a75a525,故a55,所以a2a82a510.820xx遼寧質(zhì)檢設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a11,an12Sn3,則S4_.答案66解析依題an2Sn13(n2),與原式作差得,an1an2an,n2,即an13an,n2,可見,數(shù)列an從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列,a25,所以S4166.920xx云南統(tǒng)考在數(shù)列an中,an>0,a1,如果an1是1與的等比中項(xiàng),那么a1的值是_答案解析由題意可得,a(2an1anan11)(2an1anan11)0,又an>0,2an1anan110,又2an0,an1an11,又可知an1,1,是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,(n1)n1an,a11.三、解答題1020xx蚌埠質(zhì)檢已知數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a33,S39.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnlog2,且bn為遞增數(shù)列,若cn,求證:c1c2c3cn<1.解(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,則根據(jù)題意有39,從而2q2q10,解得q1或q.當(dāng)q1時(shí),an3;當(dāng)q時(shí),an3n3.(2)證明:若an3,則bn0,與題意不符,故an3n3,此時(shí)a2n332n,bn2n,符合題意cn,從而c1c2c3cn1<1.11成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3,b4,b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列解(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad,a,ad.依題意,得adaad15,解得a5.所以bn中的b3,b4,b5依次為7d,10,18d.依題意,有(7d)(18d)100,解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5,公比為2,由b3b122,即5b122,解得b1.所以bn是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為bn2n152n3.(2)證明:數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn52n2,即Sn52n2.所以S1,2.因此是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列1220xx西安質(zhì)檢等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),a11,前n項(xiàng)和為Sn;數(shù)列bn為等比數(shù)列,b11,且b2S26,b2S38.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(2)求.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,d>0,bn的公比為q,則an1(n1)d,bnqn1.依題意有解得或(舍去)故ann,bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1),2,22.第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 重要公式及結(jié)論1分組求和法:分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問題的方法,其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列2裂項(xiàng)相消法:將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)代數(shù)式子的差,即anf(n1)f(n)的形式,然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法形如(其中an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列等3錯(cuò)位相減法:形如anbn(其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和,一般分三步:巧拆分;構(gòu)差式;求和4倒序求和法:距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等,可以用此法,一般步驟:求通項(xiàng)公式;定和值;倒序相加;求和;回顧反思附:(1)常見的拆項(xiàng)公式(其中nN*).若等差數(shù)列an的公差為d,則;.()(2)公式法求和:要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,如123n;135(2n1)n2;122232n2n(n1)(2n1)失分警示1公比為字母的等比數(shù)列求和時(shí),注意公比是否為1的分類討論2錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng)3裂項(xiàng)相消法求和時(shí)易認(rèn)為只剩下首尾兩項(xiàng)4裂項(xiàng)相消法求和時(shí)注意所裂式與原式的等價(jià)性 考點(diǎn)數(shù)列求和問題典例示法題型1分組轉(zhuǎn)化求和典例1設(shè)數(shù)列an滿足a12,a2a48,且對(duì)任意nN*,函數(shù)f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx滿足f0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若bn2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由題設(shè)可得f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.對(duì)任意nN*,fanan1an2an10,即an1anan2an1,故an為等差數(shù)列由a12,a2a48,解得an的公差d1,所以an21(n1)n1.(2)因?yàn)閎n222n2,所以Snb1b2bn(222)2(12n)2n2n23n1.題型2錯(cuò)位相減法求和典例220xx湖北高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1,b22,qd,S10100.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)d>1時(shí),記cn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意有,即解得或故或(2)由d>1,知an2n1,bn2n1,故cn,于是Tn1,Tn,可得Tn23,故Tn6.題型3裂項(xiàng)相消法求和典例320xx洛陽(yáng)統(tǒng)考設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意正整數(shù)n都有6Sn12an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnlogan,求Tn.解(1)由6Sn12an,得6Sn112an1(n2)兩式相減得6an2an12an,即anan1(n2),由6S16a112a1,得a1,數(shù)列an是等比數(shù)列,公比q,所以ann12n1.(2)an2n1,bn2n1,從而.Tn.1分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組,此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)式中常會(huì)有(1)n等特征2裂項(xiàng)相消的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差(2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多3錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型:等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn

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本文(金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義:第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形 Word版含解析)為本站會(huì)員(仙***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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