高考數(shù)學(xué) 試題分類解析 考點3135

高考數(shù)學(xué)試題分類解析 考點31-35考點31 坐標(biāo)系與參數(shù)方程【1】（A，湖北，理16）在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為 ( t為參數(shù)) ，與相交于AB兩點，則 .【2】（A，廣東，理14）已知直線l的極坐標(biāo)方程為,點A的極坐標(biāo)為,則點A到直線l的距離為 .【3】（A，湖南，文12）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為 .【4】（B，北京，理11）在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離為 .【5】（B，重慶，理15）已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為則直線與曲線的交點的極坐標(biāo)為 .【6】（B，廣東，文14）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則與交點的直角坐標(biāo)為 .【7】（B，安徽，理12）在極坐標(biāo)系中，圓上的點到直線距離的最大值是 .【8】（A，新課標(biāo)I，文23理23）在直角坐標(biāo)系中，直線:,圓:,以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(I)求，的極坐標(biāo)方程；(II)若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為、，求的面積.【9】（A，新課標(biāo)，文23理23）在直角坐標(biāo)系中，曲線為參數(shù)，其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：，曲線：(I)求與交點的直角坐標(biāo)；(II)若與相交于點，與相交于點，求的最大值【10】（A，福建，理21-II）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為.(I)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(II)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值【11】（A，湖南，理16-II）已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(i)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(ii)設(shè)點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點為，求的值.【12】（B，江蘇，理21C）已知圓的極坐標(biāo)方程為，求圓的半徑.【13】（B，陜西，文23理23）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為(I)寫出圓的直角坐標(biāo)方程；(II)為直線上一動點，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標(biāo)考點32 幾何證明選講【1】（A，天津，文6理5）如圖，在圓中，是弦的三等分點，弦，分別經(jīng)過點，. 若，則線段的長為A. B.3 C. D. 第1題圖 第2題圖【2】（A，湖北，理15）如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線，且，則 .【3】（B，重慶，理14）如圖，圓O的弦相交于點過點作圓O的切線與的延長線交于點,若則 . 第3題圖 第4題圖【4】（B，廣東，文15）如圖，為圓的直徑，為的延長線上一點，過作圓的切線，切點為，過作直線的垂線，垂足為若，則 .【5】（B，廣東，理15）如圖，已知AB是圓的直徑，AB=4，EC是圓的切線，切點為，BC=1，過圓心做BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD= . 第5題圖 第6題圖【6】（A，新課標(biāo)I，文22理22）如圖，是的直徑，是的切線，交于點.(I)若為的中點，證明：是的切線；(II)若，求的大小.【7】（A，新課標(biāo)，文22理22）如圖，為等腰三角形內(nèi)一點，與的底邊交于M、N兩點，與底邊上的高交于點，且與，分別相切于E、F兩點(I)證明：EFBC；(II)若等于的半徑，且,求四邊形的面積 第7題圖 第8題圖【8】（A，江蘇，理21A）如圖，在中，的外接圓的弦交于點.求證：.【9】（A，湖南，理16-I）如圖，在O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：(i)；(ii).第9題圖 第10題圖【10】（B，陜西，文22理22）如圖，切圓于點，直線交圓于兩點，垂足為(I)證明：；(II)若，求圓的直徑考點33 不等式選講【1】（B，重慶，文14）設(shè),則的最大值為 .【2】（B，重慶，理16）若函數(shù)的最小值為5，則實數(shù) .【3】（A，新課標(biāo)I，文24理24）已知函數(shù)，.(I)當(dāng)時，求不等式的解集；(II)若的圖像與軸圍成的三角形面積大于，求的取值范圍.【4】（A，新課標(biāo)，文24理24）設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：(I)若，則；(II)是的充要條件【5】（A，江蘇，理21D）解不等式.【6】（A，福建，理21-III）已知，函數(shù)的最小值為4(I)求的值；(II)求的最小值【7】（A，湖南，理16-III）設(shè)，且，證明：(i)；(ii)與不可能同時成立.【8】（B，陜西，文24理24）已知關(guān)于的不等式的解集為(I)求實數(shù)的值；(II)求的最大值考點34 創(chuàng)新與拓展【1】（B，湖北，理10）設(shè)R,表示不超過的最大整數(shù).若存在實數(shù)，使得,，同時成立,則正整數(shù)的最大值是A.3B.4C.5D.6【2】（B，湖北，文10理9）已知集合，定義集合，則中元素的個數(shù)為A. 77 B.49 C45 D30【3】（B，廣東，理8）若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于5【4】（B，浙江，理6）設(shè)是有限集，定義：cardcard，其中card表示有限集中的元素個數(shù)命題：對任意有限集，“”是“”的充分必要條件；命題：對任意有限集，A.命題和命題都成立B.命題和命題都不成立C.命題成立，命題不成立D.命題不成立，命題成立【5】（C,上海,理17）記方程,方程,方程,其中是正實數(shù).當(dāng)成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程無實根的是A.方程有實根，且有實根B.方程有實根，且無實根C.方程無實根，且有實根D.方程無實根，且無實根【6】（C，上海，文理18）設(shè)是直線與圓在第一象限的交點，則極限A. B. C.1 D.2【7】（C，廣東，文10）若集合,且,，且，用表示集合中的元素個數(shù)，則A. B. C. D.【8】（A，上海，文5理3）若線性方程組的增廣矩陣為，解為則 .【9】（B，山東，文14）定義運算“”：.當(dāng)時，的最小值為 .【10】（C，上海，文14理13）已知函數(shù).若存在滿足,且（），則的最小值為 .【11】（A，福建，理21-I）已知矩陣.(I)求A的逆矩陣；(II)求矩陣C，使得AC=B.【12】（B，江蘇，理21B）已知R，向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，矩陣以及它的另一個特征值.考點35 交匯與整合【1】（C，上海，文17理16）已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的縱坐標(biāo)為A. B. C. D.【2】（C，江蘇，文理14）設(shè)向量，則的值為 .【3】（A，湖北，理20）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量（單位：噸）是一個隨機(jī)變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機(jī)變量(I)求Z的分布列和均值；(II)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率【4】（C，上海，文23）已知數(shù)列與滿足，.(1)若，且，求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的第項是最大項，即（），求證：的第項是最大項；(3)設(shè)（）.求的取值范圍，使得對任意的，且.【5】（C，上海，理22）已知數(shù)列與滿足.(1)若，且，求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的第項是最大項，即（），求證：的第項是最大項；(3)設(shè).求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.【6】（C，上海，理23）對于定義域為的函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為.設(shè)單調(diào)遞增，.(1)驗證是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)；(2)設(shè)，證明對任意，存在，使得；(3)證明：“為方程在上的解”的充要條件是“為方程在上的解”，并證明對任意都有.【7】（C，安徽，理21）設(shè)函數(shù).(I)討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；(II)記，求函數(shù)在上的最大值；(III)在(II)中，取，求滿足條件時的最大值【8】（C，陜西，理21）設(shè)是等比數(shù)列，的各項和，其中，(I)證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且；(II)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明考點31 坐標(biāo)系與參數(shù)方程【1】（A，湖北，理16）、解析：由曲線的參數(shù)方程為消去，得，直線的方程為，解方程組得,.【2】（A，廣東，理14）、解析：依題已知直線：和點可化為：和，所以點A與直線的距離為：【3】（A，湖南，文12）、解析：由得，它的直角坐標(biāo)方程為，即.【4】（B，北京，理11）、1解析：點對應(yīng)的坐標(biāo)為，極坐標(biāo)方程對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為.根據(jù)點到直線的距離公式，.【5】（B，重慶，理15）、解析：直線的普通方程為化曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為聯(lián)立直線與曲線解得交點坐標(biāo)為，因此交點的極坐標(biāo)為【6】（B，廣東，文14）、解析：由得，由得，所以，聯(lián)立解得，所以與交點的直角坐標(biāo)為.【7】（B，安徽，理12）、6解析：因為圓的普通方程為，其圓心為，直線的普通方程為，圓心到直線的距離為2，所以圓上的點到直線距離的最大值是6【8】（A，新課標(biāo)I，文23理23）解析：(I)因為，所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.(II)將代入得，解得，故，即.由于的半徑為，所以的面積為.【9】（A，新課標(biāo)，文23理23）解析：(I)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的直角坐標(biāo)方程為. 聯(lián)立解得或所以與的交點的直角坐標(biāo)為和.(II)曲線的極坐標(biāo)方程為,其中. 因此的極坐標(biāo)為,的極坐標(biāo)為.所以=.當(dāng)時,取得最大值,最大值為4.【10】（A，福建，理21-II）解析：(I)消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為,由,得,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.()依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即解得【11】（A，湖南，理16-II）解析：(i)等價于，將 ，代入上式即得曲線C的直角坐標(biāo)方程是.(ii)將代入得.設(shè)這個方程的兩個實根分別為，則由參數(shù)t的幾何意義知【12】（B，江蘇，理21C）解析：以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系. 圓的極坐標(biāo)方程為，化簡，得.則圓的直角坐標(biāo)方程為.即，所以圓的半徑為.【13】（B，陜西，文23理23）解析：(I)由，得，從而有，所以.(II)設(shè)，又，則，故當(dāng)時，取得最小值，此時，點的直角坐標(biāo)為.考點32 幾何證明選講【1】（A，天津，文6理5）、A解析：設(shè)，在圓中，,. 第1題圖 第2題圖 第3題圖【2】（A，湖北，理15）、解析：由圓的切割線定理知,又,故.又由知.【3】（B，重慶，理14）、2解析：由切割線定理知:，又因為 由此得由相交弦定理知：所以第4題圖【4】（B，廣東，文15）、3解析：因為是圓的切線方程，所以，所以，解得或（舍去）.連接OC，則，由，得，所以，所以，故.【5】（B，廣東，理15）、解析:如圖所示，連接OC,因為OD/AC,又所以又O為AB線段的中點，所以在中，由直角三角形的射影定理可得OD=8. 第5題圖 第6題圖【6】（A，新課標(biāo)I，理22）解析：(I)連接，由己知得，,.在中，由己知得，故連結(jié)，則又所以故是的切線.(II)設(shè)，由己知得，.由射影定理可得，所以，即可得，所以.【7】（A，新課標(biāo)，文22理22）解析：(I)由于是等腰三角形,所以是的平分線.又因為分別與、相切于點,所以，故,從而.(II)由(I)知,故是的垂直平分線.又為的弦,所以在上.連接,則.由等于的半徑得,所以,因此和都是等邊三角形.因為,所以,.因為,所以.于是,. 第7題圖 第8題圖【8】（A，江蘇，理21A）解析：因為，所以.又因為，所以.又為公共角，可知.【9】（A，湖南，理16-I）解析：(i)如圖所示， 因為M，N分別是弦AB,CD的中點，所以O(shè)MAB,ONCD,即OME=， ENO=，OME+ENO =，又四邊形的內(nèi)角和等于，故MEN+NOM=；(ii)由(i)知，O,M,E,N四點共圓，故由割線定理即得.第9題圖 第10題圖【10】（B，陜西，文22理22）解析：(I)因為為圓直徑，則，又，所以，從而.又切圓于點，得，所以.(II)由(I)知平分，則，又，從而.所以，所以.由切割線定理得，即，故，即圓直徑為3.考點33 不等式選講【1】（B，重慶，文14）、解析：由=.【2】（B，重慶，理16）、-6或4解析：當(dāng)時，此時所以當(dāng)時，顯然不成立.當(dāng)時，此時所以綜上可知或.【3】（A，新課標(biāo)I，文24理24）解析：(I)當(dāng)時，化為.當(dāng)時，不等式化為，無解；當(dāng)時，不等式為，解得；當(dāng)時，不等式化為，解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，. 的面積為. 由題設(shè)得，故. 所以的取值范圍為.【4】（A，新課標(biāo)，文24理24）解析：(I)因為,由題設(shè)，得,因此.(II)()必要性 若,則,即.因為,所以.由(I)得.()充分性若,則,即,因為,所以. 于是,因此.綜上,是的充要條件. 【5】（A，江蘇，理21D）解析：原不等式可化為或，解得或.綜上，原不等式的解集是.【6】（A，福建，理21-III） 解析：(I)因為當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.又，所以,所以的最小值為, 所以(II)由(1)知，由柯西不等式得，即. 當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立，所以的最小值為.【7】（A，湖南，理16-III）解析：由，得 .(i)由基本不等式及，有，即.(ii)設(shè)與可同時成立，則由及可得.同理 . 從而這與相矛盾，故與不可能同時成立.【8】（B，陜西，文24理24）解析：(I)由得，則解得.(II),當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故.考點34 創(chuàng)新與拓展【1】（B，湖北，理10）、B解析：由的性質(zhì)知若，則；若，則，即；由知，則可取4；，其中，故不能取5.【2】（B，湖北，文10理9）、C解析：由題意知，,，所以由新定義集合可知，或.當(dāng)時，所以此時中元素的個數(shù)有:個;當(dāng)時，這種情形下和第一種情況下除的值取或外均相同，即此時有，由分類計數(shù)原理知，中元素的個數(shù)為個.【3】（B，廣東，理8）、B解析：正四面體的四個頂點是兩兩距離相等的，即空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值最多等于4.故選B.【4】（B，浙江，理6）、A解析：根據(jù)題中所給出的定義所代表的實際含義為集合互異的元素個數(shù).命題的逆否形式為：“”是“”的充分必要條件，因此命題是正確的. 結(jié)合Venn圖以及題中的定義不難推出命題是正確的【5】（C, 上海，理17）、B解析：取，三個方程都有實根，排除A；取，則B滿足條件；取，則方程無實根，且方程有實根，但方程有實根，排除C；取，則方程無實根，且方程無實根，但方程有實根，排除D.故選B.注 若，則方程無實根，且方程無實根，方程也無實根，所以在得到B可能滿足條件后還要排除其他情況.【6】（C，上海，文理18）、A解析：因點在圓上，所以，即.又點在上，而，因為直線與圓在第一象限交點為，所以.于是 選A.【7】（C，廣東，文10）、A解析：對于：當(dāng)，可以從0,1,2,3這四個數(shù)任取一個，因而有444=64；當(dāng)，可以從0,1,2這三個數(shù)任取一個，因而有333=27；當(dāng)，可以從0,1這兩個數(shù)任取一個，因而有222=8；當(dāng)，都取值0，只有1種情況.故.對于:先處理前面兩個，當(dāng)，可以從0,1,2,3這四個數(shù)任取一個，有4種；當(dāng)，可以從0,1,2這3個數(shù)任取3個；當(dāng)，可以從0,1這兩個數(shù)任取2個；當(dāng)，=0只有1種.故前面兩個的可能結(jié)果有4+3+2+1=10種，同理得后面有10種，故，所以.【8】（A，上海，文5理3）、16解析：由已知可得，所以【9】（B，山東，文14）、解析：由題意知：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.【10】（C，上海，文14理13）、8解析：兩個正弦函數(shù)值差的絕對值最大值是最高點和最低點的縱坐標(biāo)的差，因此只要取相鄰最高點和最低點，兩端點取零點即可.當(dāng)，時，,所以的最小值為8.【11】（A，福建，理21-I）解析：(1)因為所以.(2)由AC=B得,故.【12】（B，江蘇，理21B）、1解析：由已知，得，即，則，即，所以矩陣.從而矩陣的特征多項式，所以矩陣的另一個特征值為1.考點35 交匯與整合【1】（C，上海，文17理16）、D解析：法1 設(shè)，則由復(fù)數(shù)乘法（三角形式）的幾何意義得 ，選D.法2 設(shè)，則是正三角形，所以解得，選B.【2】（C，江蘇，文理14）、解析：，因此.【3】（A，湖北，理20）解析：(I)設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為，則有 （1）目標(biāo)函數(shù)為第3題圖1 第3題圖2 第3題圖3當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為.將變形為.當(dāng)時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為將變形為，當(dāng)時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利當(dāng)時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點分別為. 將變形為，當(dāng)時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利故最大獲利的分布列為816010200108000.30.50.2因此，.(II)由(I)知，一天最大獲利超過10000元的概率，由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為.【4】（C，上海，文23）解析：（1）因，所以，所以是首項為1、公差為6的等差數(shù)列，故.(2) 法1 ，故，于是，所以.所以，對任意的，均有，即的第項是最大項.法2 當(dāng)時， .同理，當(dāng)時，即.于是，對任意的，均有，即的第項是最大項.(3)因，所以 以上各式相加可得 .當(dāng)時也成立，所以.因為對任意，所以，特別地，故.對此時任意的，當(dāng)時，且單調(diào)遞減，有最大值，且單調(diào)遞增，有最小值，故的最大值為，最小值為，所以的最大值為，最小值為，由，解得 .【5】（C，上海，理22）解析：(1)參見【4】（C，上海，文23）（1）的解析.(2)參見【4】（C，上海，文23）（2）的解析.(3)因為，故， 當(dāng)時，符合上式，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，有最大值；單調(diào)遞增，有最小值，所以，又，所以.當(dāng)時，所以，所以，不滿足條件.當(dāng)時，當(dāng)時，無最大值；當(dāng)時，無最小值.綜上所述，.【6】（C，上海，理23）解析：(1)的定義域為，即是以為余弦周期的余弦周期函數(shù).(2)對任意，由于值域為，所以一定存在，使得.當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，所以，與矛盾，所以；同理可得.故存在，使得.(3)必要性：設(shè)，因是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，所以，其中，故為方程在上的解.充分性：因為為方程在上的解，所以，.因是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，所以.由得，即為方程在上的解.再證對任意都有.由（2）知，存在，使得而是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，類似地可以證明：是在上的解，當(dāng)且僅當(dāng)是在上的解.從而在與上的解的個數(shù)相同.故對于，而，故類似地，當(dāng)時，有所以結(jié)論成立.【7】（C，安徽，理21）解析： (I)，因為，所以.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值；對于，在內(nèi)存在唯一的使得當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，時，函數(shù)在處有極小值(II)時，當(dāng)時，取，等號成立；當(dāng)時，取，等號成立；由此可知，在上的最大值為；(III)法1 即為，此時，從而取，則，且第7題圖可知，滿足條件時最大值為1法2 即為，在平面直角坐標(biāo)系中，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，而，亦即，對應(yīng)曲線是開口向上的拋物線向上平移個單位所得，其在上的最大值是1.【8】（C，陜西，理21）解析：(I)，則，則在內(nèi)至少存在一個零點.又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個零點.因為是的零點，所以，即，故.(II)法1 由題設(shè), ,設(shè)，.當(dāng)時，.當(dāng)時，.若，.若，.所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，.法2 由題設(shè), ,.當(dāng)時，.當(dāng)時，用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時，所以成立.假設(shè)時，不等式成立，即. 那么，當(dāng)時，.又.令，則.所以當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增.所以，從而.故，即時不等式也成立.由和知，對一切的整數(shù)，都有.法3 由已知，記等差數(shù)列為，等比數(shù)列為.則，, 所以，,令，當(dāng)時，,所以.當(dāng)時，.而，所以.若，；若，.從而在上遞減，在上遞增，所以，所以當(dāng)且時，又，故. 綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，.