高考數(shù)學浙江理科一輪【第五章】平面向量 第五章 5.2

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1、 精品資料 5.2　等差數(shù)列及其前n項和 1． 等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__d__表示． 2． 等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d. 3． 等差中項 如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項． 4． 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋

2、n，(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． 5． 等差數(shù)列的前n項和公式 設等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝或Sn＝na1＋d. 6． 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn，(A、B為常數(shù))． 7． 等差數(shù)列的前n項和的最值 在等

3、差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列． (　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　√　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的． (　√　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)． (　　) (5)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n，

4、則數(shù)列{an}是等差數(shù)列． (　　) (6)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列． (　√　) 2． 設{an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1等于 (　　) A．18 B．20 C．22 D．24 答案　B 解析　因為S10＝S11，所以a11＝0. 又因為a11＝a1＋10d，所以a1＝20. 3． (2012遼寧)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11等于 (　　) A．58 B．

5、88 C．143 D．176 答案　B 解析　S11＝＝＝88. 4． (2013課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　am＝2，am＋1＝3，故d＝1， 因為Sm＝0，故ma1＋d＝0， 故a1＝－， 因為am＋am＋1＝5， 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d ＝－(m－1)＋2m－1＝5， 即m＝5. 5． 在等差數(shù)列{an}中，S15>0，S16<0，則使an>0成立的n的最

6、大值為________． 答案　8 解析　S15＝a1＋a2＋…＋a15＝15a8>0， ∴a8>0， S16＝<0， ∴a1＋a16＝a8＋a9<0，∴a9<0， ∴an>0成立的n的最大值為8. 題型一　等差數(shù)列的基本運算 例1　在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 思維啟迪　等差數(shù)列基本量的計算，基本思想就是根據(jù)條件列方程，求等差數(shù)列的首項與公差． 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，

7、解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 思維升華　(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題． (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法． 　(1)若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7等于

8、 (　　) A．12 B．13 C．14 D．15 (2)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝，S4＝20，則S6等于 (　　) A．16 B．24 C．36 D．48 (3)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是(　　) A. B．1 C．2 D．3 答案　(1)B　(2)D　(3)C 解析　(1)由題意得S5＝＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋52＝13. (2)∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d

9、＝48. (3)∵Sn＝，∴＝，又－＝1， 得－＝1，即a3－a2＝2， ∴數(shù)列{an}的公差為2. 題型二　等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 例2　(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 (2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為 (　　) A．13 B．12 C．11 D．10 (3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2

10、 013等于 (　　) A．2 013 B．－2 013 C．－4 026 D．4 026 思維啟迪　(1)根據(jù)S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列解此題； (2)利用a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2求n； (3)數(shù)列{}為等差數(shù)列． 答案　(1)B　(2)A　(3)C 解析　(1)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故選B. (2)因為a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1

11、＋an＝34＋146＝180， 又因為a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60， 所以Sn＝＝＝390，即n＝13. (3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得{}也為等差數(shù)列． 又∵－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 012d＝－2 014＋2 012＝－2， ∴S2 013＝－22 013＝－4 026，故選C. 思維升華　在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列；{}也是等差數(shù)列．等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具． 　(1)設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＝12，則a1＋a2＋…＋a7等于

12、(　　) A．14 B．21 C．28 D．35 (2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________. 答案　(1)C　(2)60 解析　(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. (2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60. 題型三　等差數(shù)列的前n項和及其最值 例3　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15

13、，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝4n－25，求數(shù)列{|an|}的前n項和． 思維啟迪　(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，進而求得通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解．(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項開始變號． 解　(1)方法一　∵a1＝20，S10＝S15， ∴1020＋d＝1520＋d，∴d＝－. ∴an＝20＋(n－1)＝－n＋. ∴a13＝0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0， ∴當n＝12或13時，Sn取得最大值，且最

14、大值為S13＝S12＝1220＋＝130. 方法二　同方法一求得d＝－. ∴Sn＝20n＋＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N*，∴當n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 方法三　同方法一求得d＝－. 又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當n＝12或13時，Sn有最大值． 且最大值為S12＝S13＝130. (2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝41－25＝－21. 所以數(shù)列{an}是以－21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列

15、． 令 由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6. 即數(shù)列{|an|}的前6項是以21為首項，公差為－4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列， 而|a7|＝a7＝47－25＝3. 設{|an|}的前n項和為Tn，則 Tn＝ ＝ 思維升華　求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項；②利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 　(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于

16、 (　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若ak＋a4＝0，則k＝________. 答案　(1)A　(2)10 解析　(1)設該數(shù)列的公差為d，則a4＋a6＝2a1＋8d＝2(－11)＋8d＝－6，解得d＝2， 所以Sn＝－11n＋2＝n2－12n＝(n－6)2－36， 所以當Sn取最小值時，n＝6. (2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S9－S4＝0， 即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0. 而ak＋a4＝0，故k＝10. 等差數(shù)列的最值

17、問題 典例：(9分)(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當Sn取最大值時，n的值是 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________． 思維啟迪　(1)由已知分析等差數(shù)列項的變化規(guī)律、符號． (2)等差數(shù)列前n項的和Sn是關于n的二次函數(shù)，可將Sn的最大值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題． 解析　(1)依題意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0； 又數(shù)列{an}是等差數(shù)列，因此在該數(shù)

18、列中，前6項均為正數(shù)， 自第7項起以后各項均為負數(shù)，于是當Sn取最大值時，n＝6，選B. (2)因為等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得， Sn＝na1＋d＝20n－2 ＝－n2＋21n＝－(n－)2＋()2， 又因為n∈N*，所以n＝10或n＝11時，Sn取得最大值，最大值為110. 答案　(1)B　(2)110 溫馨提醒　(1)求等差數(shù)列前n項和的最值常用的方法： ①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項； ②利用等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． (2)注意區(qū)別等差數(shù)列前n項和Sn的最值

19、和Sn的符號. 方法與技巧 1． 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． 2． 方程思想和化歸思想：在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解． 3． 在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設三個數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d

20、，a＋d，a＋3d等，可視具體情況而定． 失誤與防范 1． 當公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)，當公差d＝0時，an為常數(shù)． 2． 公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列． A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． (2012福建)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　方法一　設等差數(shù)列{an}的公差為d，

21、 由題意得 解得∴d＝2. 方法二　∵在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. 又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. 2． 已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有 (　　) A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100<0 C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51 答案　C 解析　由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101 ＝101＝0. 所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0. 3． 已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，則數(shù)列{bn}的前5項和等于(　　) A．

22、30 B．45 C．90 D．186 答案　C 解析　因為， 所以a1＝3，d＝3， bn＝a2n＝a1＋(2n－1)d＝6n， S5＝＝＝90， 因此選C項． 4． (2013遼寧)下面是關于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為 (　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 答案　D 解析　由于p1：an＝a1＋(n－1)

23、d，d＞0， ∴an－an－1＝d＞0，命題p1正確． 對于p2：nan＝na1＋n(n－1)d， ∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d與0的大小和a1的取值情況有關． 故數(shù)列{nan}不一定遞增，命題p2不正確． 對于p3：＝＋d，∴－＝， 當d－a1＞0，即d＞a1時，數(shù)列{}遞增， 但d＞a1不一定成立，則p3不正確． 對于p4：設bn＝an＋3nd， 則bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0. ∴數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列，p4正確． 綜上，正確的命題為p1，p4. 5． 在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a10a11<0，若此數(shù)列的前1

24、0項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是 (　　) A．24 B．48 C．60 D．84 答案　C 解析　由a1>0，a10a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， ∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18 ＝S10－(S18－S10)＝60，故選C. 二、填空題 6． (2013廣東)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________. 答案　20 解析　設公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d＝10， ∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋

25、9d)＝20. 7． Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________. 答案　－1 解析　由題意知 解得　∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1. 8． 已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________. 答案　 解析　由已知＝＋(10－1)＝1＋3＝4， ∴a10＝. 三、解答題 9． 已知等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前10項和S10＝185.求數(shù)列{an}的通項公式an. 解　設數(shù)列{an}的公差為d， 因為a2＝8，S10＝185， 所以，解得， 所以an＝5＋(n－1)3＝3n＋2， 即an＝3n

26、＋2. 10．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1<0，S2 015＝0. (1)求Sn的最小值及此時n的值； (2)求n的取值集合，使an≥Sn. 解　(1)設公差為d，則由S2 015＝0? 2 015a1＋d＝0?a1＋1 007d＝0， d＝－a1，a1＋an＝a1， ∴Sn＝(a1＋an)＝a1 ＝(2 015n－n2)． ∵a1<0，n∈N*， ∴當n＝1 007或1 008時，Sn取最小值504a1. (2)an＝a1， Sn≤an?(2 015n－n2)≤a1. ∵a1<0，∴n2－2 017n＋2 016≤0， 即(n－1)(n－2 016)

27、≤0， 解得1≤n≤2 016. 故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 016，n∈N*}． B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若<－1，且它們的前n項和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為 (　　) A．11 B．19 C．20 D．21 答案　B 解析　∵<－1，且Sn有最大值， ∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0， ∴S19＝＝19a10>0， S20＝＝10(a10＋a11)<0， 故使得Sn>0的n的最大值為19. 2． 設等差數(shù)列{an}，{bn}的

28、前n項和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________． 答案　 解析　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝， ∴＝. 3． 《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升． 答案　 解析　設所構(gòu)成數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 依題意即 解得 ∴a5＝a1＋4d＝＋4＝. 4． 已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設數(shù)列{bn}的通項bn＝

29、，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn. 解　(1)設該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋d＝2k＋2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. 5． (2012湖北)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為－3，前三項的積為8. (1)

30、求等差數(shù)列{an}的通項公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和． 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)當an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn. 當n＝1時，S1＝|a1|＝4；當n＝2時，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 當n≥3時，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(33－7)＋(34－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 當n＝2時，滿足此式． 綜上，Sn＝