高考數(shù)學理一輪資源庫第六章 第5講 數(shù)列的綜合應用

精品資料第5講數(shù)列的綜合應用一、填空題1已知各項均不為0的等差數(shù)列an，滿足2a3a2a110，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b6b8_.解析因為an為等差數(shù)列，所以a3a112a7，所以已知等式可化為4a7a0，解得a74或a70(舍去)，又bn為等比數(shù)列，所以b6b8ba16.答案162在數(shù)列an中，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，則S100_.解析 n為奇數(shù)時，a1a3a5a991；n為偶數(shù)時，a22，a44，a66，a1002492100.所以S100(246100)50502 600.答案 2 6003各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S102，S3014，則S40_.解析 設S20x，S40y，則由題意，得2，x2,14x，y14成等比數(shù)列于是由(x2)22(14x)及x>0，得x6，所以y1416，y30.答案 304 等比數(shù)列an中，a11，an(n3,4，)，則an的前n項和為_解析 設anqn1，則由an，得q2，解得q1或q.所以an1或ann1，從而Snn或Sn.答案 n或5對正整數(shù)n，若曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數(shù)列的前n項和為_解析由題意，得ynxn1(n1)xn，故曲線yxn(1x)在x2處的切線的斜率為kn2n1(n1)2n，切點為(2，2n)，所以切線方程為y2nk(x2)令x0得an(n1)2n，即2n，則數(shù)列的前n項和為222232n2n12.答案2n126在數(shù)列an中，若aap(n1，nN*，p為常數(shù))，則稱an為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：若an是等方差數(shù)列，則a是等差數(shù)列；(1)n是等方差數(shù)列；若an是等方差數(shù)列，則akn(kN*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列其中真命題的序號為_(將所有真命題的序號填在橫線上)解析正確，因為aap，所以aap，于是數(shù)列a為等差數(shù)列正確，因為(1)2n(1)2(n1)0為常數(shù)，于是數(shù)列(1)n為等方差數(shù)列正確，因為aa(aa)(aa)(aa)(aa)kp，則akn(kN*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列答案7設an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bnan1(n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合53，23,19,37,82中，則6q_.解析由題意知an有連續(xù)四項在集合54，24,18,36,81中，四項24,36，54,81成等比數(shù)列，公式為q，6q9.答案98設Sn是等比數(shù)列an的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2a52am，則m_.解析(1)當公比q1時，29a13a16a1，則a10，舍去(2)當公比q1時，2，2q61q3，則2a2q6a2a2q3，即2a8a2a5，從而m8.答案89若數(shù)列an，bn的通項公式分別是an(1)n2 010a，bn2，且anbn對任意nN*恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是_解析由anbn，得(1)na2.若n為偶數(shù)，則a2對任意正偶數(shù)成立，所以a2；若n為奇數(shù)，則a2對任意正奇數(shù)成立，所以a2.故2a.答案10如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫縱坐標分別對應數(shù)列an(nN*)的前12項，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，則a2 009a2 010a2 011_.解析觀察發(fā)現(xiàn)，a2nn，且當n為奇數(shù)時，a2n1a2n10，所以a2 009a2 010a2 01101 005.答案1 005二、解答題11定義一種新運算*，滿足n*knk1(n，kN*，為非零常數(shù))(1)對于任意給定的k值，設ann*k(nN*)，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)對于任意給定的n值，設bkn*k(kN*)，求證：數(shù)列bk是等比數(shù)列；(3)設cnn*n(nN*)，試求數(shù)列cn的前n項和Sn.(1)證明因為ann*k(nN*)，n*knk1(n，kN*，為非零常數(shù))，所以an1an(n1)*kn*k(n1)k1nk1k1.又kN*，為非零常數(shù)，所以an是等差數(shù)列(2)證明因為bkn*k(kN*)，n*knk1(n，kN*，為非零常數(shù))，所以.又為非零常數(shù)，所以bk是等比數(shù)列(3)解cnn*nnn1(nN*，為非零常數(shù))，Snc1c2c3cn0232nn1，當1時，Sn123n；當1時，Sn2233nn.，得Sn.綜上，得Sn12已知在正項數(shù)列an中，a12，點An(，)在雙曲線y2x21上，數(shù)列bn中，點(bn，Tn)在直線yx1上，其中Tn是數(shù)列bn的前n項和(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(3)若cnanbn，求證：cn1cn.(1)解由已知點An在y2x21上知，an1an1，數(shù)列an是一個以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，ana1(n1)d2n1n1.(2)證明點(bn，Tn)在直線yx1上，Tnbn1，Tn1bn11(n2)，兩式相減得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列(3)證明由(2)可知bnn1.cnanbn(n1)，cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)(2n1)0，cn1cn.13 已知數(shù)列an，anpnqn(p>0，q>0，pq，R，0，nN*)(1)求證：數(shù)列an1pan為等比數(shù)列；(2)數(shù)列an中，是否存在連續(xù)的三項，這三項構成等比數(shù)列？試說明理由(3)設A(n，bn)|bn3nkn，nN*，其中k為常數(shù)，且kN*，B(n，cn)|cn5n，nN*，求AB.解 (1)證明：anpnqn，an1panpn1qn1p(pnqn)qn(qp)0，q>0，pq.q為常數(shù)，數(shù)列an1pan為等比數(shù)列(2)取數(shù)列an的連續(xù)三項an，an1，an2(n1，nN*)，aanan2(pn1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pq)2，p>0，q>0，pq，0，pnqn(pq)20，即aanan2，數(shù)列an中不存在連續(xù)三項構成等比數(shù)列(3)當k1時，3nkn3n1<5n，此時AB；當k3時，3nkn3n3n23n為偶數(shù)，而5n為奇數(shù)，此時AB；當k5時，3nkn>5n，此時AB；當k2時，3n2n5n，發(fā)現(xiàn)n1符合要求，下面證明唯一性(即只有n1符合要求)，由3n2n5n得nn1，設f(x)xx，則f(x)xx是R上的減函數(shù)，f(x)1的解只有一個，從而當且僅當n1時nn1，即3n2n5n，此時AB(1,5)；當k4時，3n4n5n，發(fā)現(xiàn)n2符合要求，同理可證明唯一性(即只有n2符合要求)，從而當且僅當n2時nn1，即3n4n5n，此時AB(2,25)，綜上，當k1，k3或k5時，AB；當k2時，AB(1,5)，當k4時，AB(2,25)14 已知數(shù)列an滿足：an1|an1|(nN*)(1)若a1，求a9與a10的值；(2)若a1a(k，k1)，kN*，求數(shù)列an前3k項的和S3k(用k，a表示)；(3)是否存在a1，n0(a1R，n0N*)，使得當nn0時，an恒為常數(shù)？若存在，求出a1，n0；若不存在，說明理由解 (1)a1，a2，a3，a4，a5，a6，所以a9，a10.(2)a1a，a2a1，akak1，ak1ak(0,1)，ak2k1a(0,1)，ak3ak，a3k1ak，a3kk1a，來源:所以S3kka12(k1)kk.(3)()當a10,1時，a21a1，此時，只需1a1a1，a1，所以a1，n01是滿足條件的一組解；()當a11時，不妨設a1m，m1)，mN*，此時，am1a1m0,1)，則a1m，a1m，所以取a1m，n0m1滿足題意；()當a1<0時，不妨設a1(l，l1)，lN*，則a21a1(l，l1)，al2a2l(0,1)，此時，只需a2l，即a1l，所以取a1l，n0l2滿足題意綜上，滿足題意的a1，n0有三組：a1，n01；a1m，n0m1，mN*；a1l，n0l2，lN*.