二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文 通用版講義：第一部分 第三層級(jí) 高考5個(gè)大題 題題研訣竅 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題巧在“轉(zhuǎn)”、難在“分” Word版含解析

思維流程思維流程找突破口找突破口 技法指導(dǎo)技法指導(dǎo)遷移搭橋遷移搭橋 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體， 以導(dǎo)數(shù)為工函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體， 以導(dǎo)數(shù)為工具， 重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)， 如含參函數(shù)的單調(diào)性、具， 重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)， 如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論， 恒成立和能成立問題的數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論， 恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)對(duì)于這類綜討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)對(duì)于這類綜合問題，一般是先轉(zhuǎn)化合問題，一般是先轉(zhuǎn)化(變形變形)，再求導(dǎo)，分解出基，再求導(dǎo)，分解出基本本函數(shù)，分類討論研究其性質(zhì)，再根據(jù)題意解決問題函數(shù)，分類討論研究其性質(zhì)，再根據(jù)題意解決問題. 典例典例 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)eln xax(aR R) (1)討論討論 f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)當(dāng)當(dāng) ae 時(shí)，證明：時(shí)，證明：xf(x)ex2ex0. 快審題快審題 求什么求什么 想什么想什么 討論函數(shù)的單調(diào)性，想到利用導(dǎo)數(shù)判斷討論函數(shù)的單調(diào)性，想到利用導(dǎo)數(shù)判斷 證明不等式，想到對(duì)所證不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化證明不等式，想到對(duì)所證不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化 給什么給什么 用什么用什么 已知函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)解題已知函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)解題 差什么差什么 找什么找什么 證不等式時(shí)，對(duì)不等式變形轉(zhuǎn)化后還不能直接判斷兩函數(shù)的證不等式時(shí)，對(duì)不等式變形轉(zhuǎn)化后還不能直接判斷兩函數(shù)的關(guān)系，應(yīng)找出所構(gòu)造函數(shù)的最值關(guān)系，應(yīng)找出所構(gòu)造函數(shù)的最值. 穩(wěn)解題穩(wěn)解題 (1)f(x)exa(x0)， 若若 a0，則，則 f(x)0，f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增； 若若 a0，則當(dāng)，則當(dāng) 0 x0，當(dāng)，當(dāng) xea時(shí)，時(shí)，f(x)0，所以只需證，所以只需證 f(x)exx2e， 當(dāng)當(dāng) ae 時(shí)，由時(shí)，由(1)知，知，f(x)在在(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， 所以所以 f(x)maxf(1)e. 記記 g(x)exx2e(x0)， 則則 g(x) x1 exx2， 所以當(dāng)所以當(dāng) 0 x1 時(shí)，時(shí)，g(x)1 時(shí)，時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 所以所以 g(x)ming(1)e. 綜上，當(dāng)綜上，當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，f(x)g(x)，即，即 f(x)exx2e， 即即 xf(x)ex2ex0. 法二法二：證：證 xf(x)ex2ex0， 即證即證 exln xex2ex2ex0， 從而等價(jià)于從而等價(jià)于 ln xx2exex. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(x)ln xx2， 則則 g(x)1x1. 所以當(dāng)所以當(dāng) x(0,1)時(shí)，時(shí)，g(x)0； 當(dāng)當(dāng) x(1，)時(shí)，時(shí)，g(x)0， 故故 g(x)在在(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， 從而從而 g(x)在在(0，)上的最大值為上的最大值為 g(1)1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) h(x)exex，則，則 h(x)ex x1 ex2. 所以當(dāng)所以當(dāng) x(0,1)時(shí)，時(shí)，h(x)0， 故故 h(x)在在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 從而從而 h(x)在在(0，)上的最小值為上的最小值為 h(1)1. 綜上，當(dāng)綜上，當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，g(x)h(x)， 即即 xf(x)ex2ex0. 題后悟道題后悟道 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的關(guān)鍵函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的關(guān)鍵 (1)會(huì)求函數(shù)的極值點(diǎn)，先利用方程會(huì)求函數(shù)的極值點(diǎn)，先利用方程 f(x)0 的根，將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，的根，將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，再列成表格，最后依表格內(nèi)容即可寫出函數(shù)的極值；再列成表格，最后依表格內(nèi)容即可寫出函數(shù)的極值； (2)證明不等式，常構(gòu)造證明不等式，常構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)法判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而可證明原函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)法判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而可證明原不等式成立；不等式成立； (3)不等式恒成立問題除了用分離參數(shù)法， 還可以從分類討論和判斷函數(shù)的單調(diào)性入手，不等式恒成立問題除了用分離參數(shù)法， 還可以從分類討論和判斷函數(shù)的單調(diào)性入手，去求參數(shù)的取值范圍去求參數(shù)的取值范圍 針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)xln x，g(x)ax22，直線，直線 l：y(k3)xk2. (1)若曲線若曲線 yf(x)在在 xe 處的切線與直線處的切線與直線 l 平行，求實(shí)數(shù)平行，求實(shí)數(shù) k 的值；的值； (2)若至少存在一個(gè)若至少存在一個(gè) x01，e使使 f(x0)1 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f(x)的圖象恒在直線的圖象恒在直線 l 的上方，的上方，求求 k 的最大值的最大值 解：解：(1)由已知得，由已知得，f(x)ln x1，且，且 yf(x)在在 xe 處的切線與直線處的切線與直線 l 平行，平行， 所以所以 f(e)ln e12k3，解得，解得 k5. (2)因?yàn)橹辽俅嬖谝粋€(gè)因?yàn)橹辽俅嬖谝粋€(gè) x01，e使使 f(x0)g(x0)成立，成立， 所以至少存在一個(gè)所以至少存在一個(gè) x 使使 xln x2ln xx成立成立 令令 h(x)2ln xx，當(dāng)，當(dāng) x1，e時(shí)，時(shí)，h(x)2 1ln x x20 恒成立，恒成立， 因此因此 h(x)2ln xx在在1，e上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. 故當(dāng)故當(dāng) x1 時(shí)，時(shí)，h(x)min0， 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為(0，) (3)由已知得，由已知得，xln x(k3)xk2 在在 x1 時(shí)恒成立，時(shí)恒成立， 即即 k0 在在 x1 時(shí)恒成立時(shí)恒成立. 所以所以 m(x)在在(1，)上單調(diào)遞增，且上單調(diào)遞增，且 m(3)1ln 30， 所以在所以在(1，)上存在唯一實(shí)數(shù)上存在唯一實(shí)數(shù) x0(x0(3,4)使使 m(x0)0，即，即 x0ln x020. 當(dāng)當(dāng) 1xx0時(shí)，時(shí)，m(x)0，即，即 F(x)x0時(shí)，時(shí)，m(x)0，即，即 F(x)0， 所以所以 F(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 故故 F(x)minF(x0)x0ln x03x02x01 x0 x02 3x02x01x02(5,6) 故故 kx02(kZ Z)，所以，所以 k 的最大值為的最大值為 5. 總結(jié)升華總結(jié)升華 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題堪稱函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題堪稱“龐然大物龐然大物”，所以征服它需要一定的膽量和勇氣，可以參變，所以征服它需要一定的膽量和勇氣，可以參變量分離、可把復(fù)雜函數(shù)分離為基本函數(shù)、可把題目分解成幾個(gè)小題、也可把解題步驟分解量分離、可把復(fù)雜函數(shù)分離為基本函數(shù)、可把題目分解成幾個(gè)小題、也可把解題步驟分解為幾個(gè)小步，也可從邏輯上重新?lián)Q敘注重分步解答，這樣，即使解答不完整，也要做到為幾個(gè)小步，也可從邏輯上重新?lián)Q敘注重分步解答，這樣，即使解答不完整，也要做到盡可能多拿步驟分同時(shí)要注意分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用盡可能多拿步驟分同時(shí)要注意分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用 專題過關(guān)檢測專題過關(guān)檢測 1(2018 全國卷全國卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax2x1ex. (1)求曲線求曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程；處的切線方程； (2)證明：當(dāng)證明：當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，f(x)e0. 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)ax2 2a1 x2ex， 所以所以 f(0)2，f(0)1， 所以曲線所以曲線 yf(x)在在(0，1)處的切線方程是處的切線方程是 y12x，即，即 2xy10. (2)證明：當(dāng)證明：當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)， f(x)e(x2x1ex1)ex. 令令 g(x)x2x1ex1， 則則 g(x)2x1ex1. 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，時(shí)，g(x)1 時(shí)，時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 所以所以 g(x)g(1)0. 因此因此 f(x)e0. 2(2018 全國卷全國卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)13x3a(x2x1) (1)若若 a3，求，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)只有一個(gè)零點(diǎn) 解：解：(1)當(dāng)當(dāng) a3 時(shí)，時(shí)，f(x)13x33x23x3， f(x)x26x3. 令令 f(x)0，解得，解得 x32 3或或 x32 3. 當(dāng)當(dāng) x(，32 3)(32 3，)時(shí)，時(shí)，f(x)0； 當(dāng)當(dāng) x(32 3，32 3)時(shí)，時(shí)，f(x)0， 所以所以 f(x)0 等價(jià)于等價(jià)于x3x2x13a0. 設(shè)設(shè) g(x)x3x2x13a， 則則 g(x)x2 x22x3 x2x1 20， 僅當(dāng)僅當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，g(x)0， 所以所以 g(x)在在(，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 故故 g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而 f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)至多有一個(gè)零點(diǎn) 又又 f(3a1)6a22a136 a162160， 故故 f(x)有一個(gè)零點(diǎn)有一個(gè)零點(diǎn) 綜上，綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)只有一個(gè)零點(diǎn) 3(2018 西安質(zhì)檢西安質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)ln xkx(kR R) (1)若曲線若曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線與直線處的切線與直線 x20 垂直，求垂直，求 f(x)的單調(diào)性和極小值的單調(diào)性和極小值(其中其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))； (2)若對(duì)任意的若對(duì)任意的 x1x20，f(x1)f(x2)0)， 曲線曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線與直線處的切線與直線 x20 垂直，垂直， f(e)0，即，即1eke20，得，得 ke， f(x)1xex2xex2(x0) 由由 f(x)0，得，得 0 x0，得，得 xe， f(x)在在(0，e)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 當(dāng)當(dāng) xe 時(shí)，時(shí)，f(x)取得極小值，且取得極小值，且 f(e)ln eee2. f(x)的極小值為的極小值為 2. (2)由題意知對(duì)任意的由題意知對(duì)任意的 x1x20，f(x1)x10)， 則則 h(x)在在(0，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， h(x)1xkx210 在在(0，)上恒成立，上恒成立， 即當(dāng)即當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，kx2x x12214恒成立，恒成立， k14. 故故 k 的取值范圍是的取值范圍是 14， . 4(2018 沈陽質(zhì)檢沈陽質(zhì)檢)已知已知 f(x)exax22x(aR) (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若若 f(x)ax1 恒成立，求恒成立，求 a 的值；的值； (3)在在(2)成立的條件下，證明：成立的條件下，證明：f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)存在唯一的極小值點(diǎn) x0，且，且2f(x0)0， g(x)在在 R 上單調(diào)遞增，且當(dāng)上單調(diào)遞增，且當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，g(x)0， exax1 不能恒成立不能恒成立 若若 a0，令，令 g(x)0，xln a. 當(dāng)當(dāng) x(，ln a)時(shí)，時(shí)，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 函數(shù)函數(shù) g(x)在在 xln a 處取得極小值，處取得極小值， g(ln a)aaln a1. 要使要使 ex2ax2ax1 恒成立，恒成立， 只需只需 aaln a10. 設(shè)設(shè) h(a)aaln a1， 則則 h(a)1ln a1ln a， 當(dāng)當(dāng) a(0,1)時(shí)，時(shí)，h(a)0，函數(shù)，函數(shù) h(a)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； 當(dāng)當(dāng) a(1，)時(shí)，時(shí)，h(a)ln 2 時(shí)，時(shí)，m(x)0，當(dāng)，當(dāng) xln 2 時(shí)，時(shí)，m(x)0， 函數(shù)函數(shù) m(x)在在(，ln 2)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， m(x)ex2x2 在在 xln 2 處取得極小值，且處取得極小值，且 m(ln 2)2ln 20，m(2)e260， m(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)， f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)存在唯一的極小值點(diǎn) x0， f(x0)0，即，即 ex02x020， f(x0)ex0 x202x02x02x202x02x20， m 32e322322e3250， x0 32，2 ， 函數(shù)函數(shù) f(x)的極小值的極小值 f(x0)2x20 2，14， 即即2f(x0)14.