中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)35 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)（含解析）.doc

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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)35 圖形的平移和旋轉(zhuǎn) 一．選擇題（共4小題） 1．（xx?海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC位于第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），把△ABC向左平移6個(gè)單位長度，得到△A1B1C1，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（　　） A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2） 【分析】根據(jù)點(diǎn)的平移的規(guī)律：向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y），據(jù)此求解可得． 【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）， ∴向左平移6個(gè)單位后，點(diǎn)B1的坐標(biāo)（﹣3，1）， 故選：C． 　 2．（xx?黃石）如圖，將“笑臉”圖標(biāo)向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。? A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2） 【分析】根據(jù)平移規(guī)律：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減即可解決問題； 【解答】解：由題意P（﹣5，4），向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣1，2）， 故選：C． 　 3．（xx?宜賓）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△ABC的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4．若AA=1，則AD等于（　?。? A．2 B．3 C． D． 【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD為BC邊的中線知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根據(jù)△DA′E∽△DAB知（）2=，據(jù)此求解可得． 【解答】解：如圖， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD為BC邊的中線， ∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△ABC， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 則（）2=，即（）2=， 解得A′D=2或A′D=﹣（舍）， 故選：A． 　 4．（xx?溫州）如圖，已知一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（0，）．現(xiàn)將該三角板向右平移使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，得到△OCB′，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（　?。? A．（1，0） B．（，） C．（1，） D．（﹣1，） 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出平移后坐標(biāo)的特點(diǎn)，進(jìn)而解答即可． 【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)O對應(yīng)，點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)O（0，0）， 所以圖形向右平移1個(gè)單位長度， 所以點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0+1，），即（1，）， 故選：C． 　 二．填空題（共4小題） 5．（xx?長沙）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A′（﹣2，3）向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，那么平移后對應(yīng)的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是?。?，1）　． 【分析】直接利用平移的性質(zhì)分別得出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)得出答案． 【解答】解：∵將點(diǎn)A′（﹣2，3）向右平移3個(gè)單位長度， ∴得到（1，3）， ∵再向下平移2個(gè)單位長度， ∴平移后對應(yīng)的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是：（1，1）． 故答案為：（1，1）． 　 6．（xx?宿遷）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（3，﹣2）先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，則所得點(diǎn)的坐標(biāo)是　（5，1）?。? 【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)即可． 【解答】解：∵將點(diǎn)（3，﹣2）先向右平移2個(gè)單位長度， ∴得到（5，﹣2）， ∵再向上平移3個(gè)單位長度， ∴所得點(diǎn)的坐標(biāo)是：（5，1）． 故答案為：（5，1）． 　 7．（xx?曲靖）如圖：圖象①②③均是以P0為圓心，1個(gè)單位長度為半徑的扇形，將圖形①②③分別沿東北，正南，西北方向同時(shí)平移，每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，第一次移動(dòng)后圖形①②③的圓心依次為P1P2P3，第二次移動(dòng)后圖形①②③的圓心依次為P4P5P6…，依次規(guī)律，P0Pxx=　673　個(gè)單位長度． 【分析】根據(jù)P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；可知每移動(dòng)一次，圓心離中心的距離增加1個(gè)單位，依據(jù)xx=3672+2，即可得到點(diǎn)Pxx在正南方向上，P0Pxx=672+1=673． 【解答】解：由圖可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1； P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2； P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3； ∵xx=3672+2， ∴點(diǎn)Pxx在正南方向上， ∴P0Pxx=672+1=673， 故答案為：673． 　 8．（xx?株洲）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，2），則線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為　4?。? 【分析】利用平移的性質(zhì)得出AA′的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AA′對應(yīng)的高，再結(jié)合平行四邊形面積公式求出即可． 【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，2）， ∴AA′=BB′=2， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴A（，）， ∴AA′對應(yīng)的高， ∴線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為2=4． 故答案為：4． 　 三．解答題（共14小題） 9．（xx?棗莊）如圖，在44的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上． （1）在圖1中，畫出一個(gè)與△ABC成中心對稱的格點(diǎn)三角形； （2）在圖2中，畫出一個(gè)與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形； （3）在圖3中，畫出△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后的三角形． 【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可作出圖形； （2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出圖形； （3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出圖形． 【解答】解：（1）如圖所示， △DCE為所求作 （2）如圖所示， △ACD為所求作 （3）如圖所示 △ECD為所求作 　 10．（xx?吉林）如圖是由邊長為1的小正方形組成的84網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中將點(diǎn)D按下列步驟移動(dòng)： 第一步：點(diǎn)D繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到點(diǎn)D1； 第二步：點(diǎn)D1繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)D2； 第三步：點(diǎn)D2繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90回到點(diǎn)D． （1）請用圓規(guī)畫出點(diǎn)D→D1→D2→D經(jīng)過的路徑； （2）所畫圖形是　軸對稱　對稱圖形； （3）求所畫圖形的周長（結(jié)果保留π）． 【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖象即可； （2）根據(jù)軸對稱圖形的定義即可判斷； （3）利用弧長公式計(jì)算即可； 【解答】解：（1）點(diǎn)D→D1→D2→D經(jīng)過的路徑如圖所示： （2）觀察圖象可知圖象是軸對稱圖形， 故答案為軸對稱． （3）周長=4=8π． 　 11．（xx?南充）如圖，矩形ABCD中，AC=2AB，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B落在AC上，BC交AD于點(diǎn)E，在BC′上取點(diǎn)F，使BF=AB． （1）求證：AE=C′E． （2）求∠FBB的度數(shù)． （3）已知AB=2，求BF的長． 【分析】（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30，再由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證； （2）由（1）得到△ABB′為等邊三角形，利用矩形的性質(zhì)及等邊三角形的內(nèi)角為60，即可求出所求角度數(shù)； （3）由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15，過B作BH⊥BF，在直角三角形BB′H中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BH的長，由BF=2BH即可求出BF的長． 【解答】（1）證明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB， ∴∠ACB=∠AC′B′=30，∠BAC=60， 由旋轉(zhuǎn)可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60， ∴∠EAC′=∠AC′B′=30， ∴AE=C′E； （2）解：由（1）得到△ABB′為等邊三角形， ∴∠AB′B=60， ∴∠FBB′=15； （3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15， 過B作BH⊥BF， 在Rt△BB′H中，cos15=，即BH=2=， 則BF=2BH=+． 　 12．（xx?徐州）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） ①畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1； ②畫出將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90所得的△A2B2C2； ③△A1B1C1與△A2B2C2成軸對稱圖形嗎？若成軸對稱圖形，畫出所有的對稱軸； ④△A1B1C1與△A2B2C2成中心對稱圖形嗎？若成中心對稱圖形，寫出所有的對稱中心的坐標(biāo)． 【分析】（1）將三角形的各頂點(diǎn)，向x軸作垂線并延長相同長度得到三點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，順次連接； （2）將三角形的各頂點(diǎn)，繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到三點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)．順次連接各對應(yīng)點(diǎn)得△A2B2C2； （3）從圖中可發(fā)現(xiàn)成軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出對稱軸即連接兩對應(yīng)點(diǎn)的線段，做它的垂直平分線； （4）成中心對稱圖形，畫出兩條對應(yīng)點(diǎn)的連線，交點(diǎn)就是對稱中心． 【解答】解：如下圖所示： （3）成軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出對稱軸即連接兩對應(yīng)點(diǎn)的線段，作它的垂直平分線， 或連接A1C1，A2C2的中點(diǎn)的連線為對稱軸． （4）成中心對稱，對稱中心為線段BB2的中點(diǎn)P，坐標(biāo)是（，）． 　 13．（xx?溫州）如圖，P，Q是方格紙中的兩格點(diǎn)，請按要求畫出以PQ為對角線的格點(diǎn)四邊形． （1）在圖1中畫出一個(gè)面積最小的?PAQB． （2）在圖2中畫出一個(gè)四邊形PCQD，使其是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，且另一條對角線CD由線段PQ以某一格點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到．注：圖1，圖2在答題紙上． 【分析】（1）畫出面積是4的格點(diǎn)平行四邊形即為所求； （2）畫出以PQ為對角線的等腰梯形即為所求． 【解答】解：（1）如圖①所示： （2）如圖②所示： 　 14．（xx?臨沂）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜360），得到矩形AEFG． （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)．求證：FD=CD； （2）當(dāng)α為何值時(shí)，GC=GB？畫出圖形，并說明理由． 【分析】（1）先運(yùn)用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根據(jù)AE=AB=CD，即可得出CD=DF； （2）當(dāng)GB=GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG=60，即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)． 【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90，EF=BC=AD， ∴∠AEB=∠ABE， 又∵∠ABE+∠EDA=90=∠AEB+∠DEF， ∴∠EDA=∠DEF， 又∵DE=ED， ∴△AED≌△FDE（SAS）， ∴DF=AE， 又∵AE=AB=CD， ∴CD=DF； （2）如圖，當(dāng)GB=GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上， 分兩種情況討論： ①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí)，取BC的中點(diǎn)H，連接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四邊形ABHM是矩形， ∴AM=BH=AD=AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等邊三角形， ∴∠DAG=60， ∴旋轉(zhuǎn)角α=60； ②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí)，同理可得△ADG是等邊三角形， ∴∠DAG=60， ∴旋轉(zhuǎn)角α=360﹣60=300． 　 15．（xx?寧波）如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE． （1）求證：△ACD≌△BCE； （2）當(dāng)AD=BF時(shí)，求∠BEF的度數(shù)． 【分析】（1）由題意可知：CD=CE，∠DCE=90，由于∠ACB=90，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，從而可證明△ACD≌△BCE（SAS） （2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45，BE=BF，從而可求出∠BEF的度數(shù)． 【解答】解：（1）由題意可知：CD=CE，∠DCE=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD與△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS） （2）∵∠ACB=90，AC=BC， ∴∠A=45， 由（1）可知：∠A=∠CBE=45， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5 　 16．（xx?黑龍江）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），B（1，1），C（3，1）． （1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1； （2）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后的△A2B2C2； （3）在（2）的條件下，求線段BC掃過的面積（結(jié)果保留π）． 【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可； （2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可； （3）BC掃過的面積=﹣，由此計(jì)算即可； 【解答】解：（1）△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1如圖所示； （2）△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后的△A2B2C2如圖所示； （3）BC掃過的面積=﹣=﹣=2π． 　 17．（xx?廣西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）將△ABC向下平移5個(gè)單位后得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1； （2）將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2； （3）判斷以O(shè)，A1，B為頂點(diǎn)的三角形的形狀．（無須說明理由） 【分析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到△A1B1C1為所作； （2）利用網(wǎng)格特定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2， （3）根據(jù)勾股定理逆定理解答即可． 【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求： （2）如圖所示，△A2B2C2即為所求： （3）三角形的形狀為等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=， 即， 所以三角形的形狀為等腰直角三角形． 　 18．（xx?眉山）在邊長為1個(gè)單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請解答下列問題： （1）作出△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)； （2）作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)； （3）已知△ABC關(guān)于直線l對稱的△A3B3C3的頂點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），請直接寫出直線l的函數(shù)解析式． 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)寫出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)得到△A1B1C1； （2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可； （3）根據(jù)對稱的特點(diǎn)解答即可． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，C1（﹣1，2）； （2）如圖，△A2B2C2為所作，C2（﹣3，﹣2）； （3）因?yàn)锳的坐標(biāo)為（2，4），A3的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）， 所以直線l的函數(shù)解析式為y=﹣x， 　 19．（xx?自貢）如圖，已知∠AOB=60，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E． （1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由； （3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？請?jiān)趫D3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明． 【分析】（1）先判斷出∠OCE=60，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD=OC，同OE=OC，即可得出結(jié)論； （2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代換即可得出結(jié)論； （3）同（2）的方法即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分線， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30， ∵CD⊥OA， ∴∠ODC=90， ∴∠OCD=60， ∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60， 在Rt△OCD中，OD=OC?cos30=OC， 同理：OE=OC， ∴OD+OE=OC； （2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由： 過點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90， ∵∠AOB=60， ∴∠FCG=120， 同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC， ∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)， ∴CF=CG， ∵∠DCE=120，∠FCG=120， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE， ∴OD+OE=OC； （3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC， 理由：過點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90， ∵∠AOB=60， ∴∠FCG=120， 同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC， ∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)， ∴CF=CG，∵∠DCE=120，∠FCG=120， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD， ∴OE﹣OD=OC． 　 20．（xx?岳陽）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90，CD為∠ACB的平分線，將∠ACB沿CD所在的直線對折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，連結(jié)AB，BB，延長CD交BB于點(diǎn)E，設(shè)∠ABC=2α（0＜α＜45）． （1）如圖1，若AB=AC，求證：CD=2BE； （2）如圖2，若AB≠AC，試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）； （3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（α+45），得到線段FC，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O，設(shè)△COE的面積為S1，△COF的面積為S2，求（用含α的式子表示）． 【分析】（1）由翻折可知：BE=EB′，再利用全等三角形的性質(zhì)證明CD=BB′即可； （2）如圖2中，結(jié)論：CD=2?BE?tan2α．只要證明△BAB′∽△CAD，可得==，推出=，可得CD=2?BE?tan2α； （3）首先證明∠ECF=90，由∠BEC+∠ECF=180，推出BB′∥CF，推出===sin（45﹣α），由此即可解決問題； 【解答】解：（1）如圖1中， ∵B、B′關(guān)于EC對稱， ∴BB′⊥EC，BE=EB′， ∴∠DEB=∠DAC=90， ∵∠EDB=∠ADC， ∴∠DBE=∠ACD， ∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD=BB′=2BE． （2）如圖2中，結(jié)論：CD=2?BE?tan2α． 理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90， ∴△BAB′∽△CAD， ∴==， ∴=， ∴CD=2?BE?tan2α． （3）如圖 3中， 在Rt△ABC中，∠ACB=90﹣2α， ∵EC平分∠ACB， ∴∠ECB=（90﹣2α）=45﹣α， ∵∠BCF=45+α， ∴∠ECF=45﹣α+45+α=90， ∴∠BEC+∠ECF=180， ∴BB′∥CF， ∴===sin（45﹣α）， ∵=， ∴=sin（45﹣α）． 　 21．（xx?廣東）已知Rt△OAB，∠OAB=90，∠ABO=30，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，如題圖1，連接BC． （1）填空：∠OBC=　60　； （2）如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度； （3）如圖2，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？ 【分析】（1）只要證明△OBC是等邊三角形即可； （2）求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計(jì)算即可； （3）分三種情形討論求解即可解決問題：①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)． ③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G． 【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC，∠BOC=60， ∴△OBC是等邊三角形， ∴∠OBC=60． 故答案為60． （2）如圖1中， ∵OB=4，∠ABO=30， ∴OA=OB=2，AB=OA=2， ∴S△AOC=?OA?AB=22=2， ∵△BOC是等邊三角形， ∴∠OBC=60，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90， ∴AC==2， ∴OP===． （3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E． 則NE=ON?sin60=x， ∴S△OMN=?OM?NE=1.5xx， ∴y=x2． ∴x=時(shí)，y有最大值，最大值=． ②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)． 作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BM?sin60=（8﹣1.5x）， ∴y=ONMH=﹣x2+2x． 當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，y＜， ③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G． MN=12﹣2.5x，OG=AB=2， ∴y=?MN?OG=12﹣x， 當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值=2， 綜上所述，y有最大值，最大值為． 　 22．（xx?德州）再讀教材： 寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN=2） 第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平． 第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平． 第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖①中所示的AD處． 第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形． 問題解決： （1）圖③中AB=　?。ūＡ舾枺?； （2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由； （3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說明理由． 實(shí)際操作 （4）結(jié)合圖④，請?jiān)诰匦蜝CDE中添加一條線段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來，并寫出它的長和寬． 【分析】（1）理由勾股定理計(jì)算即可； （2）根據(jù)菱形的判定方法即可判斷； （3）根據(jù)黃金矩形的定義即可判斷； （4）如圖④﹣1中，在矩形BCDE上添加線段GH，使得四邊形GCDH為正方形，此時(shí)四邊形BGHE為所求是黃金矩形； 【解答】解：（1）如圖3中，在Rt△ABC中，AB===， 故答案為． （2）結(jié)論：四邊形BADQ是菱形． 理由：如圖③中， ∵四邊形ACBF是矩形， ∴BQ∥AD， ∵AB∥DQ， ∴四邊形ABQD是平行四邊形， 由翻折可知：AB=AD， ∴四邊形ABQD是菱形． （3）如圖④中，黃金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE． ∵AD=．AN=AC=1， CD=AD﹣AC=﹣1， ∵BC=2， ∴=， ∴矩形BCDE是黃金矩形． ∵==， ∴矩形MNDE是黃金矩形． （4）如圖④﹣1中，在矩形BCDE上添加線段GH，使得四邊形GCDH為正方形，此時(shí)四邊形BGHE為所求是黃金矩形． 長GH=﹣1，寬HE=3﹣．