金版教程高考數學 文二輪復習講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數與導數 第三講 導數的簡單應用 Word版含解析

第三講導數的簡單應用 必記公式1基本初等函數的八個導數公式原函數導函數f(x)C(C為常數)f(x)0f(x)x(R)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a>0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a>0，且a1)f(x)logaef(x)ln xf(x)2.導數四則運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)重要概念1切線的斜率函數f(x)在x0處的導數是曲線f(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，因此曲線f(x)在點P處的切線的斜率kf(x0)，相應的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2函數的單調性在某個區(qū)間(a，b)內，如果f(x)>0(f(x)<0)，那么函數yf(x)在這個區(qū)間內單調遞增(單調遞減)3函數的極值設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近所有的點x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函數的一個極大值，記作y極大值f(x0)；如果對x0附近的所有的點都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函數的一個極小值，記作y極小值f(x0)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值4函數的最值將函數yf(x)在a，b內的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值失分警示1判斷極值的條件掌握不清：利用導數判斷函數的極值時，忽視“導數等于零，并且兩側導數的符號相反”這兩個條件同時成立2混淆在點P處的切線和過點P的切線：前者點P為切點，后者點P不一定為切點，求解時應先設出切點坐標3關注函數的定義域：求函數的單調區(qū)間及極(最)值應先求定義域 考點導數的幾何意義典例示法典例1(1)20xx山東高考若函數yf(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱yf(x)具有T性質下列函數中具有T性質的是()Aysinx Byln xCyex Dyx3解析設函數yf(x)圖象上兩點的橫坐標為x1，x2.由題意知只需函數yf(x)滿足f(x1)f(x2)1(x1x2)即可yf(x)sinx的導函數為f(x)cosx，f(0)f()1，故A滿足；yf(x)ln x的導函數為f(x)，f(x1)f(x2)>0，故B不滿足；yf(x)ex的導函數為f(x)ex，f(x1)f(x2)ex1x2>0，故C不滿足；yf(x)x3的導函數為f(x)3x2，f(x1)f(x2)9xx0，故D不滿足故選A.答案A(2)20xx陜西高考設曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_解析yex，則yex在點(0,1)處的切線的斜率k切1，又曲線y(x>0)上點P處的切線與yex在點(0,1)處的切線垂直，所以y(x>0)在點P處的切線的斜率為1，設P(a，b)，則曲線y(x>0)上點P處的切線的斜率為y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)答案(1,1)1求曲線yf(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求yf(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f(x0)，由點斜式寫出方程(2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程(3)已知切線上一點(非切點)，求yf(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程2利用切線(或方程)與其他曲線的關系求參數已知過某點切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直，利用導數的幾何意義、切點坐標、切線斜率之間的關系構建方程(組)或函數求解提醒：求曲線的切線方程時，務必分清在點P處的切線還是過點P的切線，前者點P為切點，后者點P不一定為切點，求解時應先求出切點坐標針對訓練120xx重慶巴蜀中學模擬已知曲線y在點P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2，則直線l的方程為()A2xy20B2xy20或2xy180C2xy180D2xy20或2xy180答案B解析y，y|x22，因此k12，設直線l方程為y2xb，即2xyb0，由題意得2，解得b18或b2，所以直線l的方程為2xy180或2xy20.故選B.220xx江蘇高考在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數)過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2，y2ax，由題意可得解得ab3.考點利用導數研究函數的單調性典例示法題型1利用導數研究函數的單調性(單調區(qū)間)典例220xx重慶高考已知函數f(x)ax3x2(aR)在x處取得極值(1)確定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，討論g(x)的單調性解(1)對f(x)求導得f(x)3ax22x，因為f(x)在x處取得極值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.當x<4時，g(x)<0，故g(x)為減函數；當4<x<1時，g(x)>0，故g(x)為增函數；當1<x<0時，g(x)<0，故g(x)為減函數；當x>0時，g(x)>0，故g(x)為增函數綜上知g(x)在(，4)和(1,0)內為減函數，在(4，1)和(0，)內為增函數題型2根據函數的單調性求參數的范圍典例320xx西安質檢已知函數f(x)mx2xln x.(1)若在函數f(x)的定義域內存在區(qū)間D，使得該函數在區(qū)間D上為減函數，求實數m的取值范圍；(2)當0<m時，若曲線C：yf(x)在點x1處的切線l與曲線C有且只有一個公共點，求m的值或取值范圍解(1)f(x)2mx1，即2mx2x1<0在(0，)上有解當m0時顯然成立；當m>0時，由于函數y2mx2x1的圖象的對稱軸x>0，故需且只需>0，即18m>0，故0<m<.綜上所述，m<，故實數m的取值范圍為.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切線方程為ym12m(x1)，即y2mxm1.從而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解設g(x)mx2xln x(2mxm1)，則g(x)在(0，)上有且只有一個零點又g(1)0，故函數g(x)有零點x1.則g(x)2mx12m.當m時，g(x)0，又g(x)不是常數函數，故g(x)在(0，)上單調遞增函數g(x)有且只有一個零點x1，滿足題意當0<m<時，由g(x)0，得x或x1.且>1，由g(x)>0，得0<x<1或x>；由g(x)<0，得1<x<.故當x在(0，)上變化時，g(x)、g(x)的變化情況如下表：x(0,1)1g(x)00g(x)極大值極小值根據上表知g<0.又g(x)mxmln x1.g>0，故在上，函數g(x)又有一個零點，不符合題意綜上所述，m.1導數與單調性之間的關系(1)導數大(小)于0的區(qū)間是函數的單調遞增(減)區(qū)間(2)函數f(x)在D上單調遞增xD，f(x)0且f(x)在區(qū)間D的任何子區(qū)間內都不恒為零； 函數f(x)在D上單調遞減xD，f(x)0且f(x)在區(qū)間D的任何子區(qū)間內都不恒為零 2.根據函數的單調性求參數取值范圍的思路 (1)求f(x) (2)將單調性轉化為導數f(x)在該區(qū)間上滿足的不等式恒成立問題求解考點利用導數研究函數的極值與最值典例示法題型1求函數的極值(最值)典例420xx合肥質檢已知函數f(x)e1x(2axa2)(其中a0)(1)若函數f(x)在(2，)上單調遞減，求實數a的取值范圍；(2)設函數f(x)的最大值為g(a)，當a>0時，求g(a)的最大值解(1)由f(x)e1x(2axa2)，得f(x)(e1x)(2axa2)2ae1xe(2axa2)2ae1xe1x(2axa2)2ae1xe1x(2axa22a)0，又a0，故x1，當a>0時，f(x)在上為增函數，在上為減函數，12，即a2，0<a2；當a<0時，不合題意，故a的取值范圍為(0,2(2)由(1)得，當a>0時，f(x)maxf2ae即g(a)2ae.則g(a)(2a)e0，得a2，g(a)在(0,2)上為增函數，在(2，)上為減函數，g(a)maxg(2).題型2知極值的個數求參數范圍典例520xx沈陽質檢已知函數f(x)xln xx2xa(aR)在其定義域內有兩個不同的極值點(1)求a的取值范圍；(2)記兩個極值點為x1，x2，且x1<x2.已知>0，若不等式e1<x1x恒成立，求的取值范圍解(1)依題，函數f(x)的定義域為(0，)，所以方程f(x)0在(0，)上有兩個不同的根，即方程ln xax0在(0，)上有兩個不同的根解法一：可以轉化為函數yln x與函數yax的圖象在(0，)上有兩個不同的交點，如圖可見，若令過原點且與函數yln x圖象相切的直線斜率為k，只需0<a<k.令切點A(x0，ln x0)，所以ky|xx0，又k，所以，解得x0e，于是k，所以0<a<.解法二：可以轉化為函數g(x)與函數ya的圖象在(0，)上有兩個不同的交點又g(x)，當0<x<e時，g(x)>0，當x>e時，g(x)<0，所以g(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，)上單調遞減從而g(x)極大值g(e).又g(x)有且只有一個零點是1，且在x0時，g(x)，在x時，g(x)0，所以g(x)的草圖如圖所示，可見，要想函數g(x)與函數ya的圖象在(0，)上有兩個不同交點，只需0<a<.解法三：令g(x)ln xax，從而可以轉化為函數g(x)有兩個不同的零點，而g(x)a(x>0)，若a0，可見g(x)>0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上單調遞增，此時g(x)不可能有兩個不同零點若a>0，當0<x<時，g(x)>0，當x>時，g(x)<0，所以g(x)在上單調遞增，在上單調遞減，從而g(x)極大值gln 1.又因為在x0時，g(x)，在x時，g(x)，于是只需：g(x)極大值>0，即ln1>0，所以0<a<.綜上所述，0<a<.(2)e1<x1x等價于1<ln x1ln x2.由(1)可知x1，x2分別是方程ln xax0的兩個根，即ln x1ax1，ln x2ax2，所以原式等價于1<ax1ax2a(x1x2)，因為>0,0<x1<x2，所以原式等價于a>.又由ln x1ax1，ln x2ax2作差得，ln a(x1x2)，即a.所以原式等價于>，因為0<x1<x2且原不等式恒成立，所以ln <恒成立令t，t(0,1)，則不等式ln t<在t(0,1)上恒成立令h(t)ln t，又h(t)，當21時，可見t(0,1)時，h(t)>0，所以h(t)在(0,1)上單調遞增，又h(1)0，h(t)<0在(0,1)上恒成立，符合題意當2<1時，可見t(0，2)時，h(t)>0，t(2,1)時，h(t)<0，所以h(t)在(0，2)上單調遞增，在(2,1)上單調遞減，又h(1)0，所以h(t)在(0,1)上不能恒小于0，不符合題意，舍去綜上所述，若不等式e1<x1x恒成立，只需21，又>0，所以1.利用導數研究函數極值與最值的步驟(1)利用導數求函數極值的一般思路和步驟求定義域；求導數f(x)；解方程f(x)0，研究極值情況；確定f(x0)0時x0左右的符號，定極值(2)若已知函數極值的大小或存在情況，求參數的取值范圍，則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來討論求解(3)求函數yf(x)在a，b上最大值與最小值的步驟求函數yf(x)在(a，b)內的極值；將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值提醒：(1)求函數極值時，一定要注意分析導函數的零點是不是函數的極值點；(2)求函數最值時，務必將極值點與端點值比較得出最大(小)值；(3)對于含參數的函數解析式或區(qū)間求極值、最值問題，務必要對參數分類討論 全國卷高考真題調研120xx全國卷設函數f(x)是奇函數f(x)(xR)的導函數，f(1)0，當x>0時，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案A解析令F(x)，因為f(x)為奇函數，所以F(x)為偶函數，由于F(x)，當x>0時，xf(x)f(x)<0，所以F(x)在(0，)上單調遞減，根據對稱性，F(x)在(，0)上單調遞增，又f(1)0，f(1)0，數形結合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.220xx全國卷已知f(x)為偶函數，當x0時，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程是_答案y2x解析當x>0時，x<0，f(x)ex1x，而f(x)f(x)，所以f(x)ex1x(x>0)，點(1,2)在曲線yf(x)上，易知f(1)2，故曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程是y2f(1)(x1)，即y2x.其它省市高考題借鑒320xx四川高考已知a為函數f(x)x312x的極小值點，則a()A4 B2C4 D2答案D解析由題意可得f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2，則f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值函數f(x)在x2處取得極小值，則a2.故選D.420xx北京高考設函數f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調區(qū)間解(1)因為f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依題設，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x>0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以當x(，1)時，g(x)<0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調遞減；當x(1，)時，g(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)>0，x(，)綜上可知，f(x)>0，x(，)故f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)一、選擇題120xx鄭州質檢函數f(x)excosx的圖象在點(0，f(0)處的切線方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案C解析依題意，f(0)e0cos01，因為f(x)excosxexsinx，所以f(0)1，所以切線方程為y1x0，即xy10，故選C.220xx山西忻州四校聯考設函數f(x)xsinxcosx的圖象在點(t，f(t)處切線的斜率為k，則函數kg(t)的部分圖象為()答案B解析f(x)(xsinxcosx)xcosx，則kg(t)tcost，易知函數g(t)為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A、C.當0<t<時，g(t)>0，所以排除D，故選B.320xx廣西質檢若函數f(x)(x2cx5)ex在區(qū)間上單調遞增，則實數c的取值范圍是()A(，2 B(，4C(，8 D2,4答案B解析f(x)x2(2c)xc5ex，因為函數f(x)在區(qū)間上單調遞增，等價于x2(2c)xc50對任意x恒成立，即(x1)cx22x5，c對任意x恒成立，x，(x1)4，當且僅當x1時等號成立，c4.420xx沈陽質檢已知函數yx2的圖象在點(x0，x)處的切線為l，若l也與函數yln x，x(0,1)的圖象相切，則x0必滿足()A0<x0< B.<x0<1C.<x0< D.<x0<答案D解析由題令f(x)x2，f(x)2x，f(x0)x，所以直線l的方程為y2x0(xx0)x2x0xx，因為l也與函數yln x(x(0,1)的圖象相切，令切點坐標為(x1，ln x1)，y，所以l的方程為yxln x11，這樣有所以1ln 2x0x，x0(1，)，令g(x)x2ln 2x1，x(1，)，所以該函數的零點就是x0，又因為g(x)2x，所以g(x)在(1，)上單調遞增，又g(1)ln 2 <0，g()1ln 2 <0，g()2ln 2>0，從而<x0<，選D.5已知函數f(x)x3ax2xc(xR)，則下列結論錯誤的是()A函數f(x)一定存在極大值和極小值B若函數f(x)在(，x1)，(x2，)上是增函數，則x2x1C函數f(x)的圖象是中心對稱圖形D函數f(x)的圖象在點(x0，f(x0)(x0R)處的切線與f(x)的圖象必有兩個不同的公共點答案D解析對于選項A，f(x)3x22ax1，方程3x22ax10的根的判別式4a212>0恒成立，故f(x)0必有兩個不等實根，不妨設為x1，x2，且x1<x2，令f(x)>0，得x<x1或x>x2，令f(x)<0，得x1<x<x2，所以函數f(x)在(x1，x2)上單調遞減，在(，x1)和(x2，)上單調遞增，所以當xx1時，函數f(x)取得極大值，當xx2時，函數f(x)取得極小值，故A選項的結論正確；對于選項B，令f(x)3x22ax10，由根與系數的關系可得x1x2，x1x2，易知x1<x2，所以x2x1，故B選項的結論正確；對于選項C，易知兩極值點的中點坐標為，又fxx3f，fxx3f，所以ff2f，所以函數f(x)的圖象關于點成中心對稱，故C選項的結論正確；對于D選項，令ac0得f(x)x3x，f(x)在(0,0)處切線方程為yx，且有唯一實數解，即f(x)在(0,0)處切線與f(x)圖象有唯一公共點，所以D不正確，選D.6已知函數f(x)(a2)xax3在區(qū)間1,1上的最大值為2，則a的取值范圍是()A2,10 B1,8C2,2 D0,9答案B解析f(x)3ax2a2.(1)當a0時，f(x)2<0，f(x)在1,1上為減函數，所以f(x)maxf(1)2，符合題意(2)當0<a2時，f(x)0恒成立，所以函數f(x)在定義域內為減函數，所以f(x)maxf(1)2，符合題意(3)當a<0或a>2時，由f(x)0，解得x .當 1，即 1，即1a<0時，函數f(x)在1,1上單調遞減，所以此時函數在定義域內的最大值為f(1)2，滿足條件；當 >1，即 <1，即a<1或a>2時，若a<1，函數f(x)在與上單調遞增，在上單調遞減，所以此時函數在定義域內的最大值為f(1)2或f，而f>f(1)2，不滿足條件，若a>2，函數f(x)在與上單調遞減，在上單調遞增，所以此時函數在定義域內的最大值為f(1)2或f，則必有f2，即(a2) a32，整理并因式分解得(a8)(a1)20，所以由a>2可得2<a8.綜上可得1a8，故選B.二、填空題720xx九江一模已知直線yx1是函數f(x)ex圖象的切線，則實數a_.答案e2解析設切點為(x0，y0)，則f(x0)e x01，e x0a，又e x0x01，x02，ae2.820xx廣東肇慶模擬已知函數f(x)x3ax23x9，若x3是函數f(x)的一個極值點，則實數a_.答案5解析f(x)3x22ax3，由題意知x3為方程3x22ax30的根，所以3(3)22a(3)30，解得a5.920xx石家莊一模設過曲線f(x)exx(e為自然對數的底數)上任意一點處的切線為l1，總存在過曲線g(x)ax2cosx上一點處的切線l2，使得l1l2，則實數a的取值范圍為_答案1a2解析函數f(x)exx的導數為f(x)ex1，設曲線f(x)exx上的切點為(x1，f(x1)，則l1的斜率k1ex11.函數g(x)ax2cosx的導數為g(x)a2sinx，設曲線g(x)ax2cosx上的切點為(x2，g(x2)，則l2的斜率k2a2sinx2.由題設可知k1k21，從而有(ex11)(a2sinx2)1，a2sinx2，對x1，x2使得等式成立，則有y1的值域是y2a2sinx2值域的子集，即(0,1)a2，a2，1a2.三、解答題1020xx石景山區(qū)高三統(tǒng)測已知函數f(x)xaln x，g(x)(a>0)(1)若a1，求函數f(x)的極值；(2)設函數h(x)f(x)g(x)，求函數h(x)的單調區(qū)間；(3)若存在x01，e，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范圍解(1)f(x)xaln x的定義域為(0，)當a1時，f(x).由f(x)0，解得x1.當0<x<1時，f(x)<0，f(x)單調遞減；當x>1時，f(x)>0，f(x)單調遞增；所以當x1時，函數f(x)取得極小值，極小值為f(1)1ln 11；(2)h(x)f(x)g(x)xaln x，其定義域為(0，)又h(x).由a>0可得1a>0，在x(0,1a)上h(x)<0，在x(1a，)上h(x)>0，所以h(x)的遞減區(qū)間為(0,1a)；遞增區(qū)間為(1a，)(3)若在1，e上存在一點x0，使得f(x0)<g(x0)成立，即在1，e上存在一點x0，使得h(x0)<0.即h(x)在1，e上的最小值小于零當1ae，即ae1時，由(2)可知h(x)在1，e上單調遞減故h(x)在1，e上的最小值為h(e)，由h(e)ea<0，可得a>.因為>e1，所以a>；當1<1a<e，即0<a<e1時，由(2)可知h(x)在(1,1a)上單調遞減，在(1a，e)上單調遞增h(x)在1，e上最小值為h(1a)2aaln (1a)因為0<ln (1a)<1，所以0<aln (1a)<a.2aaln (1a)>2，即h(1a)>2不滿足題意，舍去綜上所述：a.11已知函數f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函數yf(x)的極值點，求a的值；(2)若f(x)<0在定義域內恒成立，求實數a的取值范圍解(1)函數的定義域為(0，)，f(x).因為x1是函數yf(x)的極值點，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.經檢驗，當a1時，x1是函數yf(x)的極值點，所以a1.(2)當a0時，f(x)ln x，顯然在定義域內不滿足f(x)<0；當a>0時，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)0f(x)極大值所以f(x)maxfln <0，所以a>1.綜上可得a的取值范圍是(1，)1220xx廣西質檢已知函數f(x)aln x(a0，aR)(1)若a1，求函數f(x)的極值和單調區(qū)間；(2)若在區(qū)間(0，e上至少存在一點x0，使得f(x0)<0成立，求實數a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定義域為(0，)，由f(x)<0得0<x<1，由f(x)>0得x>1，所以當x1時，f(x)有極小值1.f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，)，單調遞減區(qū)間為(0,1)(2)f(x)，且a0，令f(x)0，得到x，若在區(qū)間(0，e上存在一點x0，使得f(x0)<0成立，即f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值小于0.當<0，即a<0時，f(x)<0在(0，e上恒成立，即f(x)在區(qū)間(0，e上單調遞減，故f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為f(e)aln ea，由a<0，得a<，即a.當>0，即a>0時，若e，則f(x)0對x(0，e成立，所以f(x)在區(qū)間(0，e上單調遞減，則f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為f(e)aln ea>0，顯然，f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值小于0不成立若0<<e，即a>時，則有xf(x)0f(x)極小值所以f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為faaln，由faalna(1ln a)<0，得1ln a<0，解得a>e，即a(e，)綜上，由可知：a(e，)符合題意