2019屆高三數(shù)學(xué)高考備考《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》專題復(fù)習(xí)建議(共21頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 20192019 屆高三數(shù)學(xué)高考備考屆高三數(shù)學(xué)高考備考極坐標(biāo)與參數(shù)方程極坐標(biāo)與參數(shù)方程專題復(fù)習(xí)建議專題復(fù)習(xí)建議 極坐標(biāo)與參數(shù)方程為高考選考內(nèi)容之一，主要考查直線與圓的極坐標(biāo)方程，考查直線、圓、橢圓的參數(shù)方程，考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的互化，考查利用參數(shù)方程求軌跡的問題及軌跡方程的建立，考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的直接應(yīng)用，如極坐標(biāo)系下兩點(diǎn)間距離的求解等，交匯考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、平面幾何的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、三角函數(shù)的性質(zhì)等。 高考對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的題量、考查難度都相對(duì)穩(wěn)定。一道解答題，位于 22 題，滿分 10 分；考查難度定位中等偏易，是考生容易突破的一道題目。試題分設(shè)兩問，第一問考查內(nèi)容多為“互化”，第二問考查內(nèi)容均為利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或極坐標(biāo)方程中, 的幾何意義解決問題，內(nèi)容涉及距離、面積、弦長(zhǎng)、交點(diǎn)、軌跡等問題. 理論上說，本系列的問題通過“互化”轉(zhuǎn)化為普通直角坐標(biāo)方程后，均可用解析幾何的相關(guān)知識(shí)加以解決，但是高考全國(guó)卷更加關(guān)注用本領(lǐng)域知識(shí)解決相關(guān)問題的考查。 隨著新課標(biāo)的實(shí)施，2018 年考查了圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算。 近 5 年本部分內(nèi)容考查情況如下： 年份 題序 考查內(nèi)容 2014 年 23 參數(shù)方程與普通方程的互化 2015 年 23 直線、圓的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 2016 年 23 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化 2017 年 22 參數(shù)方程與普通方程的互化 2018 年 22 圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系 一、存在的問題及原因分析一、存在的問題及原因分析 （一）（一）對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義認(rèn)對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義認(rèn)識(shí)不到位識(shí)不到位 【例 1】直線l的參數(shù)方程為()xattybt為參數(shù)，l上的點(diǎn)1P對(duì)應(yīng)的參數(shù)是1t，則點(diǎn)1P與( , )P a b之間的距離是 A1t B12 t C12 t D122t 【解析】l上的點(diǎn)1P對(duì)應(yīng)的參數(shù)是1t，則111(,)P at bt， 22212111()()22PPatabtbtt，故選 C 【評(píng)析】 易錯(cuò)選為 A.為什么錯(cuò)？因?yàn)樗o的直線l的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)式，l上的點(diǎn)1P對(duì)應(yīng)的參數(shù)是1t精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 并沒有參數(shù)的幾何意義.化成標(biāo)準(zhǔn)式2222txatyb，也可以看出答案為 C. 【例 2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為2, ()23xttyt 為參數(shù).直線與曲線22:(2)1Cyx交于,A B兩點(diǎn).求|AB的長(zhǎng)； 【解析】把直線l的參數(shù)方程2()23xttyt 為參數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程232212tytx（ t為參數(shù)） 代 入 曲 線:C2221,yx整 理 得01042 tt， 所 以10, 42121tttt， 所 以1424) (2122121ttttttAB. 【評(píng)析】本題易錯(cuò)的主要原因是對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的認(rèn)識(shí)不清，由點(diǎn),A B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為12,t t錯(cuò)誤得到212121 2| |()414ABttttt t. 當(dāng)直線的參數(shù)方程非標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，其參數(shù)并不具有距離的幾何意義，只有把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程時(shí)，| | t才表示距離.一般地，直線btyyatxx00（t表示參數(shù)），當(dāng)122ba時(shí)，| | t表示點(diǎn)),(yxp到點(diǎn)00()P x ,y的距離. 【例 3】在直角坐標(biāo)系xOy，直線l的參數(shù)方程是1+ cos ,sin .xtyt（t是參數(shù)）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正 半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：4cos，若直線l與曲線C相交于,A B兩點(diǎn)，設(shè)(1,0)P，且1PAPB,求直線l的傾斜角 【解析】直線l為經(jīng)過點(diǎn)(1, 0)P傾斜角為的直線，由1cossinxtyt 代入22(2)4xy，整理得22 cos30tt，2(2cos )120 ，設(shè),A B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為12,tt，則122costt，1230t t ， 所以1t，2t異號(hào)， 則12| | |2cos| 1PAPBtt，所以1cos2 ，又), 0所以直線l傾斜角3或32. 【評(píng)析】本題易錯(cuò)的主要原因仍是直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義認(rèn)識(shí)不到位所致，| | t表示距離，t是包含符號(hào)的，由于本題中，,A B在P點(diǎn)的兩側(cè)，12t ,t異號(hào)，故12| | |2cos| 1PAPBtt而不是22121212| |()44cos121PAPBttttt t. 此外，本題的參數(shù)方程中含兩個(gè)字母參量，哪個(gè)是參數(shù)在審題時(shí)也是值得特別注意的. （二）（二）忽略參數(shù)的取值范圍導(dǎo)致“互化”不等價(jià)忽略參數(shù)的取值范圍導(dǎo)致“互化”不等價(jià) 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 【例 4】將曲線1C的參數(shù)方程1sin22sincosxy（為參數(shù)）化為普通方程. 【解析】把cossiny兩邊平方得xy212sin1)cos(sin22，所以xy212， R,212sin2121.2121x 所求曲線1C的普通方程為xy212，.2121x 【評(píng)析】本題易錯(cuò)點(diǎn)主要在于忽視三角函數(shù)sinyx的有界性，即R,212sin2121所以.2121x在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅要把其中的參數(shù)消去，還要注意yx,的取值范圍. 【例 5】（2014 年廣東省深圳市高考模擬題）若直線bxy與曲線sincosyx(為參數(shù)，且)22有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_ 【解析】曲線sincosyx(為參數(shù)，且)22表示的是以原點(diǎn)為圓心，以 1 為半徑的右半圓，如圖，直線bxy與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),直線應(yīng)介于 兩直線21,ll之間,則(2, 1b . 【評(píng)析】本題易錯(cuò)點(diǎn)主要在于忽視所給的范圍，以為sincosyx(為參數(shù)，且)22表示的圖形是圓。其實(shí)本題中參數(shù)方程表示的是以原點(diǎn)為圓心 1 為半徑的非左半部分的圓的一部分，有了這個(gè)認(rèn)識(shí)之后，便不容易出錯(cuò)。 （三）（三）對(duì)極徑的意義理解不到位，不能靈活使用極徑解決問題對(duì)極徑的意義理解不到位，不能靈活使用極徑解決問題 【例 6】（2017 全國(guó)卷 II 22）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線1C的極坐標(biāo)方程為4cos （） M 為曲線1C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) P 在線段OM上,且滿足6OMOP,求點(diǎn) P 的軌跡2C的直角坐標(biāo)方程； （）設(shè)點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為)3, 2(，點(diǎn) B 在曲線2C上，求OAB面積的最大值 【解析】（）設(shè) P 的極坐標(biāo)為( , )( 0) ，M 的極坐標(biāo)為11() (0), ，則由已知得116 即416cos，得2C的極坐標(biāo)方程為4cos(0) ， 所以2C的直角坐標(biāo)方程為22(2)4 (0)xyx 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （）設(shè)點(diǎn) B 的極坐標(biāo)為，0BB,由題設(shè)知cos=2，=4BOA,于是OAB面積 3223)32sin(2)3sin(cos4sin21AOBOASB. 因?yàn)?2，所以323234， 所以當(dāng)12時(shí)，S 取得最大值32，所以O(shè)AB面積的最大值為32. 【評(píng)析】 本題的主要問題在于對(duì)于極徑的意義理解不到位， 其一， 不能將極徑與OM、OP建立聯(lián)系，從而無法快速求出 P 的軌跡方程，其二，不能利用極徑的幾何意義建立OAB的面積模型進(jìn)行求解，而是順著第一問的思路在直角坐標(biāo)系下尋求解題出路，結(jié)果造成不能順利建模亦或是建立OAB面積關(guān)于直線OB 斜率的函數(shù)關(guān)系，致使解題過程復(fù)雜化，計(jì)算量加大，最終無法準(zhǔn)確求解. 此外，在第（）問題目中還隱含著一個(gè)條件0，如果審題稍有不慎極易遺漏這一限制條件. 【例 7】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線1C的參數(shù)方程為22cos,(2sinxy為參數(shù)）. （）將1C的方程化為普通方程； （）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線2C的極坐標(biāo)方程是)(3R求曲線1C與2C交點(diǎn)的極坐標(biāo). 【解析】（）曲線1C的參數(shù)方程為22cos,(2sinxy為參數(shù)）的普通方程為22(2)4xy； （）把cossinxy代入22(2)4xy得曲線1C的極坐標(biāo)方程為4cos，把3代入得4cos23，又因?yàn)榍€1C和曲線2C的均過原點(diǎn)，.所以曲線1C與2C交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0,0),(2,).3 【評(píng)析】本題直接用極坐標(biāo)方程求交點(diǎn)的極坐標(biāo)非常容易遺漏（0,0）點(diǎn).在極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的過程中，經(jīng)常需要在方程兩邊同乘以或除以，這時(shí)需要考慮等價(jià)問題：如果曲線0),(不通過極點(diǎn)， 那么0),(與0),(不等價(jià)； 如果曲線0),(通過極點(diǎn)， 那么0),(與0),(等價(jià)，這是因?yàn)?包含在方程( , )0 的曲線中. 本題由于曲線1C和曲線2C的均過原點(diǎn)，所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)還包含有(0,0).如果本題用直角坐標(biāo)方程求解也不難，且不易遺漏原點(diǎn).所以求交點(diǎn)坐標(biāo)的問題，一般宜用我們熟悉的直角坐標(biāo)方程求解. （四）（四）思維不嚴(yán)謹(jǐn)性，完備性欠缺思維不嚴(yán)謹(jǐn)性，完備性欠缺 【例 8】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線4:1 yxC曲線sincos1:2yxC（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （）寫出直線1C與2C的極坐標(biāo)方程； （）若射線)0(:l分別交1C與2C于 A，B 兩點(diǎn)，求OAOB的取值范圍. 【 解 析 】 （ ）在 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 直 線4:1 yxC直 線1C的 極 坐 標(biāo) 方 程 為, 4)sin(cos曲線sincos1:2yxC的普通方程為1) 1(22yx，曲線2C的極坐標(biāo)方程為cos2. （）設(shè)24),(),(21BA則,cos2,sincos421 ,1)42(cos241) 12sin2(cos41)sin(coscos241|12OAOB 1)42cos(2224，) 12(41 1)42cos(2410 OAOB的取值范圍是).12(41, 0( 【評(píng)析】本題的易漏點(diǎn)在于對(duì)題目隱含條件的挖掘，求出OAOB,1)42(cos241) 12sin2(cos41)sin(coscos241|12OAOB后直接得OAOB的取值范圍是4221,4221忽略了射線)0(:l分別交1C與2C于相交，隱含著24這一條件. 【例 9】(2018 全國(guó)卷 II 22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2cos ,4sin ,xy（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為1cos ,2sin ,xtyt （t為參數(shù)） （）求C和l的直角坐標(biāo)方程； （）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率 【解析】（）曲線C的直角坐標(biāo)方程為221416xy 當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為tan2tanyx， 當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為1x （）將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80tt 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為1t，2t，則120tt 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 又由得1224(2cossin)1 3costt ，故2cossin0，于是直線l的斜率tan2k 【評(píng)析】()根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線 C 的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時(shí)要注意分0cos 與0cos兩種情況這也是考生容易忽略之處.( )將直線參數(shù)方程代入曲線 的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得cos,sin之間關(guān)系，求得tan，即得的斜率這里，直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用顯得特別重要也是能否順利求解的關(guān)鍵. 【例 10】(2018 全國(guó)卷22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓 O 的參數(shù)方程為cossinxy(為參數(shù))，過點(diǎn)0,2且傾斜角為的直線l與圓 O 交于,A B兩點(diǎn). () 求的取值范圍； () 求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程. 【解析】()當(dāng)2時(shí)，直線:0l x ，符合題意； 當(dāng)2時(shí)，設(shè)直線:2l ykx，由題意得2211dk，即,11,k ，又tank，3,4224. 綜上，3,44 ()可設(shè)直線參數(shù)方程為cos3,442sinxtyt ，代入圓的方程可得： 22 2 sin10tt ， 122sin2Pttt，2sincos3,4422sinsinxy 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 即點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程為223sin2,2442cosxy (也可以設(shè)直線的普通方程聯(lián)立去做，但是要注意討論斜率不存在的情況) 【評(píng)析】本題易錯(cuò)的地方有三處：一是直接假設(shè)直線:2l ykx，沒有討論斜率不存在的情況；二是由,11,k ，把tank中的范圍取錯(cuò)；三是對(duì)AB中點(diǎn)P的221tttp不會(huì)運(yùn)用，導(dǎo)致無法求解.在本題求解過程中，思維的嚴(yán)謹(jǐn)，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，參數(shù)的幾何意義的理解，曲線圖象的準(zhǔn)確定位顯得尤為重要. （五五）作圖分析不到位作圖分析不到位 【例 11】(2018 全國(guó)卷22)在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線1C的方程為2xky以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線2C的極坐標(biāo)方程為03cos22 （）求2C的直角坐標(biāo)方程； （）若1C與2C有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求1C的方程 【解析】（）由sin,cosyx，222yx得2C的直角坐標(biāo)方程為4)1(22yx. （）由（）知2C是圓心為 A(-1，0)，半徑為 2 的圓 由題設(shè)知，1C是過點(diǎn) B(0，2)且關(guān)于 y 軸對(duì)稱的兩條射線記 y 軸右邊的射線為1l，y 軸左邊的射線為2l由于 B 在圓2C的外面，故1C與2C有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于1l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)且2l與2C有兩個(gè)公共點(diǎn)，或2l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)且1l與2C有兩個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)1l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A 到1l所在直線的距離為 2，所以2122kk，故34k或 k=0 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) k=0 時(shí)，1l與2C沒有公共點(diǎn)；當(dāng)34k時(shí)，1l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)，2l與2C有兩個(gè)公共點(diǎn) 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 當(dāng)2l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A 到2l所在直線的距離為 ，所以2122kk，故 k=0 或34k 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) k=0 時(shí)，1l與2C沒有公共點(diǎn)；當(dāng)34k時(shí)，2l與2C沒有公共點(diǎn) 綜上，所求1C的方程為234xy 【評(píng)析】（）是個(gè)簡(jiǎn)單的問題，（）容易把答案寫成234xy或234xy錯(cuò)誤原因一是沒有發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)（0,2），且此直線關(guān)于 y 軸對(duì)稱；二是不會(huì)作圖分析.其實(shí)畫出圖像，根據(jù)對(duì)稱性可知，1C與2C有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)只可能是1l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)且2l與2C有兩個(gè)公共點(diǎn)的情況（1l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可保證2l與2C有兩個(gè)公共點(diǎn)），不可能是2l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)且1l與2C有兩個(gè)公共點(diǎn)（若2l與2C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則1l與2C沒有公共點(diǎn)）本題是考查核心素養(yǎng)之直觀想象的創(chuàng)新試題，也是備考的良好素材. 二、解決問題的思考與對(duì)策二、解決問題的思考與對(duì)策 （一）（一）關(guān)注兩個(gè)“互化”的技能訓(xùn)練關(guān)注兩個(gè)“互化”的技能訓(xùn)練 參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化是高考每年必考的內(nèi)容之一，考查形式多樣，有直接要求互化的，也有通過轉(zhuǎn)化化為直角坐標(biāo)方程或普通方程，然后利用解析幾何的相關(guān)知識(shí)解決問題的，因此，應(yīng)通過專項(xiàng)訓(xùn)練使之熟練化、自動(dòng)化. 【例 12】（湖北省 2018 屆高三 4 月調(diào)研考試）在直角坐標(biāo)系中，曲線,曲線為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. ()求曲線的極坐標(biāo)方程； ()已知射線與曲線分別交于點(diǎn)（異于原點(diǎn) ），當(dāng)時(shí)，求的取值范圍. 【解析】()因?yàn)椋郧€的普通方程為：，由，得曲線的極坐標(biāo)方程. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 對(duì)于曲線,則曲線的極坐標(biāo)方程為. ()由()得,， 因?yàn)?，則 【評(píng)析】求曲線的極坐標(biāo)方程要經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)化，問題()轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域，再轉(zhuǎn)化為3(1, )2t時(shí)，求244ytt的值域。而該函數(shù)在3(1, )2單調(diào)遞增，值域便可求出。 （二）（二）強(qiáng)化對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)強(qiáng)化對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的認(rèn)識(shí)的幾何意義的認(rèn)識(shí) 利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，可以快速求解與線段長(zhǎng)度、距離等相關(guān)的問題. 使用時(shí)應(yīng)注意t表示距離時(shí)方程的特征和t所具有的“方向”性. 【例 13】（2017 福建省普通高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)單科質(zhì)量檢查題）在極坐標(biāo)系中，曲線cos2:1C，曲線cos4sin:22C.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系 xOy，曲線 C 的參數(shù)方程為tytx23,212（t 為參數(shù)）. （）求1C,2C的直角坐標(biāo)方程； （）C 與1C,2C交于不同四點(diǎn)，這四點(diǎn)在 C 上的排列順序?yàn)?P,Q,R,S,求RSPQ 的值. 【解析】法法 1:1: （）因?yàn)閟in,cosyx， 由cos2得cos22， 所以曲線1C的直角坐標(biāo)方程為1) 1(22yx. 由cos4sin2得cos4sin22， 所以曲線2C的直角坐標(biāo)方程為xy42. （）如圖 1，不妨設(shè)四個(gè)交點(diǎn)自下而上依次為 P,Q,R,S,它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為4321,tttt. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 把tytx23,212代入xy42，得032832 tt， 則0448)32(34)8(21，3841tt. 把tytx23,212代入1) 1(22yx，得02tt， 則012，132tt. 所以.311381)()()(41323412ttttttttRSPQ 法法 2 2：（）同解法 1. （）把tytx23,212代入xy42，得032832 tt， 如圖 2，不妨設(shè)四個(gè)交點(diǎn)自下而上依次為 P,Q,R,S,點(diǎn) S,P 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為21,tt,則 032,382121tttt 又圓1C中，QRCRQC101,60為等邊三角形，所以1QR, 2211,ttPRttRS， .311)(2112QRtttQRtRSPQ 法法 3 3：（）同解法 1. （）如圖 2，不妨設(shè)四個(gè)交點(diǎn)自下而上依次為 P,Q,R,S. 依題意直線 C 的方程為233yx，且過 R(2,0)，代入xy42，得 083342yy，設(shè)),(),(2211yxPyxS，則 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 083342121yyyy， 因?yàn)橹本€ C 的傾斜角為3，所以2132,32yRPyRS 又QRC1為邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形，1QR, 所以.3111)(32321322112yyyyRSPQ 【評(píng)析】注意t表示距離時(shí)方程的特征和t所具有的“方向”性. （三）（三）關(guān)注圓、橢圓參數(shù)方程在求最值方面的應(yīng)用關(guān)注圓、橢圓參數(shù)方程在求最值方面的應(yīng)用 涉及有關(guān)最值或參數(shù)范圍問題的求解，?？衫脠A與橢圓的參數(shù)方程，化為三角函數(shù)的最值問題處理. 【例 14】（2017 全國(guó)卷 I 22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為3cossinxy（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為41xattyt 為參數(shù). （）若1a ，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為17，求a. 【解析】（）當(dāng)1a 時(shí)，直線l的方程為430 xy，曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2219xy. 聯(lián)立方程2243019xyxy，解得30 xy或21252425xy ，則C與l交點(diǎn)坐標(biāo)是30，和21242525，. （）直線l一般式方程為044ayx，設(shè)曲線C上點(diǎn))sin,cos3(P 則點(diǎn)P到l的距離5sin43cos4sin41717aad，其中3tan4 依題意得max17d，解得16a 或8a . 【評(píng)析】注意輔助角公式的運(yùn)用。 （四）（四）關(guān)注極徑、極角幾何意義的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用關(guān)注極徑、極角幾何意義的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用 【例 15】（2018 年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測(cè)試題）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線M的參數(shù)方程為1cos ,1sinxy （為參數(shù)），12, l l為過點(diǎn)O的兩條直精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 線，1l交M于,A B兩點(diǎn)2l交M于,C D兩點(diǎn)，且1l的傾斜角為，6AOC （）求1l和M的極坐標(biāo)方程； （）當(dāng)0,6時(shí)，求點(diǎn)O到, , ,A B C D四點(diǎn)距離之和的最大值 【解析】 （）依題意，直線1l的極坐標(biāo)方程為 ()R. 由1cos ,1sinxy 消去，得22(1)(1)1xy 將cos ,sinxy代入上式， 得22 cos2 sin10 ， 故 M 的極坐標(biāo)方程為22 cos2 sin10 . （）依題意，可設(shè)1234(, ), (, ), (， +）， （， +）66ABCD，且1234,，均為正數(shù). 將代入22cos2 sin10 ，得22(cossin)10 ， 所以122 (cossin)， 同理可得，342 cos()sin()66， 所以點(diǎn) O 到 A,B,C,D 四點(diǎn)的距離之和為 12342 (cossin)2 cos()sin()66 (13)sin(33)cos 2 (13)sin()3 因?yàn)?,6，所以當(dāng)sin()13，即6時(shí)，1234取得最大值為2 (13). 所以點(diǎn)O到, , ,A B C D四點(diǎn)距離之和的最大值為22 3. 【評(píng)析】極徑、極角幾何意義的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用給問題的研究帶來方便。 （五）（五）注重算法的選擇，關(guān)注運(yùn)用本領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行的問題解決注重算法的選擇，關(guān)注運(yùn)用本領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行的問題解決 將陌生的問題化為已知的問題加以解決，是問題解決的常見思維模式，對(duì)極坐標(biāo)、參數(shù)方程的有關(guān)問題解決，最簡(jiǎn)潔的思路就是將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用解析幾何的知識(shí)解決問題，然而在有些情況下這種轉(zhuǎn)化卻會(huì)加大運(yùn)算過程，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)無法計(jì)算結(jié)果的情形，近年來高考全國(guó)卷就經(jīng)常出現(xiàn)這種情況，因此除了掌握化為普通直角坐標(biāo)方程求解的算法外，還應(yīng)關(guān)注運(yùn)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 用本領(lǐng)域知識(shí)解決問題的算法. 【例 16】 （2018 江蘇卷） 在極坐標(biāo)系中， 直線 l 的方程為sin()26， 曲線 C 的方程為4cos，求直線 l 被曲線 C 截得的弦長(zhǎng) 【解析】因?yàn)榍€ C 的極坐標(biāo)方程為=4cos，所以曲線 C 的圓心為（2，0），直徑為 4 的圓 因?yàn)橹本€ l 的極坐標(biāo)方程為sin()26，則直線 l 過 A（4，0），傾斜角為6， 所以 A 為直線 l 與圓 C 的一個(gè)交點(diǎn) 設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為 B，則OAB=6 連結(jié)OB， 因?yàn)镺A為直徑， 從而OBA=2， 所以4cos2 36AB 因此，直線 l 被曲線 C 截得的弦長(zhǎng)為2 3 【評(píng)析】本題的解法多樣，比如轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，如果通過本領(lǐng)域知識(shí)極坐標(biāo)系進(jìn)行研究也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，但對(duì)極坐標(biāo)系中常見方程的類型要很熟悉。 （六）（六）關(guān)注作圖能力的培養(yǎng)關(guān)注作圖能力的培養(yǎng) 與解析幾何相同，本部分核心內(nèi)容也是利用代數(shù)的手段研究幾何問題，因此正確的作圖對(duì)于成功解題有著決定性作用，應(yīng)養(yǎng)成邊讀邊畫，以圖助理解，以圖找思路的良好習(xí)慣，圖形引領(lǐng)數(shù)形結(jié)合，戰(zhàn)無不勝. 【例 17】( (2014 浙江卷) ()在極坐標(biāo)系 Ox 中，設(shè)集合 A(，)|04，0cos ，求集合 A 所表示區(qū)域的面積； ()在直角坐標(biāo)系 xOy 中， 直線 l：x4tcos4，ytsin4(t 為參數(shù))，曲線 C：xacos ，y2sin ( 為參數(shù))，其中 a0. 若曲線 C 上所有點(diǎn)均在直線 l 的右下方，求 a 的取值范圍 【解析】()在 cos 兩邊同乘 ，得2cos .化成直角坐標(biāo)方程，得 x2y2x， 即2)21( xy214. 所以集合 A 所表示的區(qū)域?yàn)椋河缮渚€ yx(x0)，y0(x0)，圓2)21( xy214所圍成的區(qū)域，如圖所示的陰影部分，所求面積為1618. ()由題意知，直線 l 的直角坐標(biāo)為 xy40. 因?yàn)榍€ C 上所有點(diǎn)均在直線 l 的右下方，故對(duì) R，有 acos 2sin 40 恒成立， 即 a24cos()4（其中a2tan）恒成立，只需442 a， 所以 a244.又 a0，得 0a2 3. 【評(píng)析】f(x)A 在區(qū)間D上恒成立f(x)min A；f(x)A 在區(qū)間D上恒成立f(x)max A. 三、典型問題剖析三、典型問題剖析 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （一）（一）兩種“互化”及其應(yīng)用兩種“互化”及其應(yīng)用 【例 18】 （2013 全國(guó)卷 23） 已知曲線 C1的參數(shù)方程為45cos ,55sinxtyt(t 為參數(shù))， 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 2sin . ()把 C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； ()求 C1與 C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02) 【解析】()將45cos ,55sinxtyt消去參數(shù)t，化為普通方程25)5()4(22yx， 即016108:221yxyxC. 將cos ,sinxy代入01610822yxyx得016sin10cos82. 所以1C的極坐標(biāo)方程為016sin10cos82. ()2C的普通方程為0222yyx. 由2222810160,20 xyxyxyy 解得1,1xy或0,2.xy 所以1C與2C交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為( 2,)4，(2,)2. 【評(píng)析】 本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化， 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化， 以及利用 “互化”解決有關(guān)曲線交點(diǎn)的問題.解題的關(guān)鍵在于兩種“互化”相關(guān)公式的理解與熟練掌握. （二）（二）利用參數(shù)方程解決問題利用參數(shù)方程解決問題 【例 19】（2014 全國(guó)卷 23） 已知曲線194:22yxC，直線tytxl222:（t為參數(shù)） （）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； （）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為 30的直線，交l于點(diǎn)A，求PA的最大值與最小值. 【解析】（）曲線C的參數(shù)方程為：2cos3sinxy （為參數(shù)）， 直線 l 的普通方程為：260 xy. （）在曲線 C 上任意取一點(diǎn) P (2cos,3sin)到 l 的距離為54cos3sin65d， 則02 5|5sin6sin305dPA，其中為銳角且4tan3. 當(dāng)sin1 時(shí)，PA取得最大值，最大值為22 55； 當(dāng)sin1時(shí)，PA取得最小值，最小值為2 55. 【評(píng)析】本題解題的關(guān)鍵之一在于將PA的最值問題，轉(zhuǎn)化為點(diǎn) P 到直線l的距離的最值問題，其二精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 在于確定 P 點(diǎn)的坐標(biāo)形式， 通過橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)， 進(jìn)而利用三角函數(shù)有界性解決問題， 解題過程輕松、快捷. （三）（三）利用利用, 的幾何意義解決問題的幾何意義解決問題 【例 20】(2016 全國(guó)卷22)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為25)6(22yx （）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； （）直線l的參數(shù)方程是cossinxtyt（t為參數(shù)）, l與C交于BA,兩點(diǎn)，10AB，求l的 斜率 【解析】（）由25)6(22yx，得2212110 xyx， 因?yàn)?22,cosxyx，所以C的極坐標(biāo)方程為011cos122. （）設(shè)BA,對(duì)應(yīng)的極徑分別為12, ，則 212 cos110得212 cos110，121212cos ,11 ， 所以22121212()4144cos44AB ， 由|10AB 得2315cos,tan83 ，所以l的斜率為153或153 （四）（四）極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 【例 21】（廈門市 2018 屆高三上學(xué)期期末質(zhì)檢）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2cos ,sin ,xy（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，,A B為C上兩點(diǎn)，且OAOB，設(shè)射線:OA，其中02. （）求曲線C的極坐標(biāo)方程； （）求OA OB的最小值. 【解析】（）將1C的方程化為直角坐標(biāo)方程為2212xy，即2212xy. 將cosx，siny代入可得22cossin12 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 化簡(jiǎn)得2221 sin （）根據(jù)題意：射線OB的極坐標(biāo)方程為2或2. 1221 sinOA，222221 cos1 sin2OB 則1222221 sin1 cosOA OB 2221 sin1 cos 22241 sin1 cos32 ， 當(dāng)且僅當(dāng)22sincos，即4時(shí)，取得最小值43. 故OA OB的最小值為43. 【評(píng)析】 射線OB的極坐標(biāo)方程有兩種情況， 容易忽視2的情形， 另外應(yīng)用均值不等式求最值，要注意取等號(hào)的條件。 【例 22】已知拋物線2:2(0)ypx p的焦點(diǎn)與橢圓224205xy的右焦點(diǎn)重合 (）求拋物線的方程； (）動(dòng)直線l恒過點(diǎn)(0,1)M與拋物線交于A、B不同兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，請(qǐng)你觀察并判斷：在線段 MA，MB，MC，AB 中，哪三條線段的長(zhǎng)總能構(gòu)成等比數(shù)列？說明你的結(jié)論并給出證明 【解析】（）橢圓方程為：2215144xy，2251,44ab， 所以21c ，即橢圓的右焦點(diǎn)為（1 , 0）， 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為（2p，0），所以p2，則拋物線的方程為24yx （） 先特殊化： 當(dāng)直線 MA 過拋物線的焦點(diǎn) F 時(shí)， 此時(shí) F 與 C 重合， 直線 MA 方程為 x+y=1,設(shè)點(diǎn) M,A,C,B是滿足條件依次從上到下排列的點(diǎn). 由,222,222044412122yyyyxyyx 由此可得,223,22321xx 即).222,223(),222,223(BA 可得,2)223(,2)223(, 8,2MBMAABMCMF 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 所以，MBMCMA,成等比數(shù)列. 猜想：猜想：MBMCMA,成等比數(shù)列，證明如下： 依題意，直線l的斜率必然存在 設(shè)直線l：1(0)ykxk，則 C（1k，0），21|1|MCkk 由21,4 ,ykxyx 得222(2)10k xkx ， 因?yàn)?24(2)40kk，所以k1. 用直線的參數(shù)方程容易表達(dá) MA、MB 的長(zhǎng)，設(shè)直線 MA 的參數(shù)方程為 ,sin1,costytx代入拋物線24yx中，整理得. 01)sin4sin2(sin22tt 所以)tan( ,1sin122221kkkttMBMA 所以2MCMBMA,即MBMCMA,成等比數(shù)列. 【評(píng)析】第(）問中究竟哪三條線段總能構(gòu)成等比數(shù)列，顯然討論的情況不少，但如果能用特殊化計(jì)算出線段 MA，MB，MC，AB 的值，便不能得出構(gòu)成等比數(shù)列的三條線段，再給出一般性的證明，問題便解決了。值得注意的是，本題是解析幾何的問題，本來不應(yīng)該出現(xiàn)在這里，想說的是利用參數(shù)方程證明能給問題的順利解答帶來了方便。 四、過關(guān)練習(xí)四、過關(guān)練習(xí) 1.（荊州中學(xué) 2018 屆高三 5 月模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 曲線1C的極坐標(biāo)方程為4sin，M為曲線1C上異于極點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)P在射線OM上，且, 2 5,OPOM成等比數(shù)列 （）求點(diǎn)P的軌跡2C的直角坐標(biāo)方程； （）已知(0,3)A,B是曲線2C上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為2，直線AB與1C交于,D E兩點(diǎn)，試求ADAE的值 【解析】（）設(shè)( , )P ，1(, )M ，則由,2 5,OPOM成等比數(shù)列，可得20OPOM， 即1=20 ，120= 又1(, )M 滿足14sin，即204sin， sin5，化為直角坐標(biāo)方程為5y （）依題意可得(2,5)B，故1ABk，即直線AB傾斜角為4， 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 直線AB的參數(shù)方程為2,223,2xtyt 代入圓的直角坐標(biāo)方程22(2)4xy，得2230tt，故122tt ，1 230t t ， 122ADAEtt 2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是35cos ,45sinxy（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. （）求曲線C的極坐標(biāo)方程； （）設(shè)1:6l，2:3l，若12,l l與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的,A B兩點(diǎn)，求AOB的面積. 【解析】（）將 C 的參數(shù)方程化為普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25， 即 x2+y2-6x-8y=0 C 的極坐標(biāo)方程為sin8cos6 （）把6代入sin8cos6，得3341， )6334(，A 把3代入sin8cos6，得3432， )3343(，B SAOBAOBsin2121)63sin()343)(334(21432512 3. （三明市 2018 屆高三 5 月質(zhì)量檢查） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 直線l的參數(shù)方程為13 ,1xtyt (t為參數(shù))在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos （）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； （）若直線l與曲線C交于,P Q兩點(diǎn)，求POQ 【解析】解法一：（）由13 ,1,xtyt 得l的普通方程為313xy ， 又因?yàn)閏os ,sin ,xy， 所以l的極坐標(biāo)方程為cos3sin13 （或2 sin()136 ） 由2cos得22 cos，即222xyx， 所以C的直角坐標(biāo)方程為2220 xyx 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （）設(shè),P Q的極坐標(biāo)分別為 1122, ，則12POQ， 由cos3sin13,2cos , 消去得2coscos3sin13 ， 化為cos23sin23，即3sin 262， 因?yàn)?2，即 72 +666，所以263，或2263， 即12,12,4或12,4,12所以12=6POQ 解法二： （）同解法一 （）曲線C的方程可化為2211xy，表示圓心為1,0C且半徑為 1 的圓6 6 分分 將l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式31,2112xtyt (其中t為參數(shù))，代入C的直角坐標(biāo)方程為2220 xyx得，22313112 10222ttt， 整理得，20tt，解得0t 或1t 設(shè),P Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為12,tt ，則121PQtt所以3PCQ， 又因?yàn)镺是圓C上的點(diǎn)，所以26PCQPOQ。 解法三： （）同解法一 （）曲線C的方程可化為2211xy，表示圓心為1,0C且半徑為 1 的圓 又由得l的普通方程為3130 xy，則點(diǎn)C到直線l的距離為32d ， . 所以22 11PQd，所以PCQ是等邊三角形，所以3PCQ， 又因?yàn)镺是圓C上的點(diǎn)，所以26PCQPOQ。 4.（寧德市 2018 屆高三第二次（5 月）質(zhì)量檢查）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線1C的極坐標(biāo)方程為2(4cos )4r ，曲線2C的參數(shù)方程為精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 43 cos ,3 sinxryr（為參數(shù)） （）求曲線1C的直角坐標(biāo)方程和曲線2C的極坐標(biāo)方程； （）當(dāng)r變化時(shí)，設(shè)1,C2C的交點(diǎn)M的軌跡為3C若過原點(diǎn)O，傾斜角為3的直線l 與曲線3C交于點(diǎn),A B，求OAOB的值 【解析】解法一：（）由1C ：2(4cos )4r ， 得224 cos4r，即222440 xyxr， 曲線2C化為一般方程為：222(4)3xyr，即2228163xyxr， 化為極坐標(biāo)方程為：228 cos1630r （）由224 cos4r及228 cos1630r，消去2r，得曲線3C的極坐標(biāo)方程為 22 cos20()R 將代入曲線3C的極坐標(biāo)方程，可得220， 故121，1220 ， 故121OAOB （或由220得0) 1)(2(得1, 221， 故211 OAOB。 解法二：（）同解法一； （）由22244xyxr及2228163xyxr，消去2r，得曲線3C的直角坐標(biāo)方程為 2222xyx 設(shè)直線l的參數(shù)方程為1,232xtyt（t為參數(shù)）， 與2222xyx聯(lián)立得2213244ttt ， 即220tt ，故121tt，1 220t t ， 121OAOBtt 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （或由220tt 得，, 0) 1)(2(tt得1, 221tt， 211 OAOB