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大連理工大學考研數(shù)學分析筆記

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大連理工大學考研數(shù)學分析筆記

全國考研專業(yè)課高分資料大連理工大學數(shù)學分析筆記筆 記:目標院校目標專業(yè)本科生筆記或者輔導班筆記講 義:目標院校目標專業(yè)本科教學課件期末題:目標院校目標專業(yè)本科期末測試題2-3套模擬題:目標院校目標專業(yè)考研專業(yè)課模擬測試題2套復習題:目標院校目標專業(yè)考研專業(yè)課導師復習題真 題:目標院校目標專業(yè)歷年考試真題,本項為贈送項,未公布的不送! 目錄第二模塊 筆記3第一部分 實數(shù)集與函數(shù)3第二部分 數(shù)列極限8第三部分 函數(shù)極限10第四部分 函數(shù)連續(xù)性15第五部分 導數(shù)與微分32第六部分微分中值定理及其應用38第八部分 不定積分53第九部分 定積分56第十部分定積分的應用62第十一部分 反常積分70第十二部分 數(shù)項級數(shù)74第十三部分 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)92第十四部分 冪級數(shù)103第十五部分 傅里葉級數(shù)118第十六部分 多元函數(shù)的極限與連續(xù)133第十七部分 多元函數(shù)微分學138第十八部分 隱函數(shù)定理及其應用150第十九部分 含參量積分154第二十部分 曲線積分165第二十一部分 重積分168第二十二部分 曲面積分177第二模塊 筆記第一部分 實數(shù)集與函數(shù) 1 實 數(shù) 數(shù)學分析研究的對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù),因此先敘述一下實數(shù)的有關概念一 實數(shù)及其性質(zhì):回顧中學中關于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.有理數(shù): 若規(guī)定: 則有限十進小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。例如: 記為 ;0 記為 ; 記為 實數(shù)大小的比較定義1 給定兩個非負實數(shù)其中 為非負整數(shù),。若由1) 則稱 與 相等,記為 2) 若存在非負整數(shù) ,使得 ,而,則稱 大于 (或 小于 ),分別記為 (或)。規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù);對于負實數(shù),若按定義1有 ,則稱 實數(shù)的有理數(shù)近似表示定義2 設為非負實數(shù),稱有理數(shù)為實數(shù)的位不足近似值,而有理數(shù)稱為的位過剩近似值。對于負實數(shù) 的位不足近似值規(guī)定為:;的位過剩近似值規(guī)定為:比如 ,則1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 稱為 的不足近似值;1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 稱為 的過剩近似值。命題 設 為兩個實數(shù),則 實數(shù)的一些主要性質(zhì) 1 四則運算封閉性:2 三歧性( 即有序性 ):3 實數(shù)大小由傳遞性,即 4 Achimedes性: 5 稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性.6 實數(shù)集的幾何表示 數(shù)軸:例 二. 絕對值與不等式絕對值定義: 從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離:絕對值的一些主要性質(zhì) 性質(zhì)4(三角不等式)的證明: 三. 幾個重要不等式: 對 記 (算術平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值)有均值不等式: 等號當且僅當 時成立. Bernoulli 不等式: (在中學已用數(shù)學歸納法證明過) 對 由二項展開式 有: 上式右端任何一項.2 數(shù)集。確界2 二 數(shù)集 . 確界原理:一 區(qū)間與鄰域:鄰域二 有界數(shù)集 . 確界原理:1. 有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界)閉區(qū)間、為有限數(shù))、鄰域等都是有界數(shù)集,集合 也是有界數(shù)集. 無界數(shù)集: 對任意,存在 ,則稱S為無界集。 等都是無界數(shù)集, 例 證明集合 是無界數(shù)集.證明:對任意, 存在 由無界集定義,E為無界集。確界先給出確界的直觀定義:若數(shù)集S有上界,則顯然它有無窮多個上界,其中最小的一個上界我們稱它為數(shù)集S的上確界;同樣,有下界數(shù)集的最大下界,稱為該數(shù)集的下確界。精確定義定義2 設S是R中的一個數(shù)集,若數(shù) 滿足一下兩條:(1) 對一切 有 ,即 是數(shù)集S 的上界;(2) 對任何 存在 使得(即是S的最小上界)則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作 定義3 設S是R中的一個數(shù)集,若數(shù) 滿足一下兩條:(3) 對一切 有 ,即 是數(shù)集S 的下界;(4) 對任何 存在 使得(即是S的最大下界)則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界。記作 3 函數(shù)概念函數(shù)是整個高等數(shù)學中最基本的研究對象, 可以說數(shù)學分析就是研究函數(shù)的. 因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應有一個清楚的認識.一 函數(shù)的定義 1. 函數(shù)的幾點說明. 函數(shù)的兩要素: 定義域和對應法則約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值. 函數(shù)的表示法: 解析法, 列表法, 圖像法.分段函數(shù) 狄里克雷函數(shù) 黎曼函數(shù) 三 函數(shù)的四則運算(見課本) 四. 函數(shù)的復合: 六 初等函數(shù): 基本初等函數(shù):1 常函數(shù)2 冪函數(shù) 冪函數(shù) 4 具有某些特性的函數(shù)1.有界函數(shù) 若函數(shù)在定義域上既有上界又有下界,則稱為上的有界函數(shù)。這個定義顯然等價于,對一切,恒有 請同學們利用有界函數(shù)的定義給出無界函數(shù)的定義。例 是無界函數(shù)。證明 對任意的 ,存在 ,取,則 2. 單調(diào)函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù)(1)定義域關于原點對稱周期函數(shù) 1) 通常我們所說的周期總是指函數(shù)的最小周期 2) 有的周期函數(shù)不一定有最小周期 ,例如常函數(shù)是周期函數(shù), 狄里克雷函數(shù),它們顯然沒有最小周期第二部分 數(shù)列極限1 數(shù)列極限概念 對于數(shù)列 ,設 A 是一個常數(shù),若任給 ,都存在相應的自然數(shù) 時, ,則稱 A為數(shù)列的極限。下面我們通過圖示,對數(shù)列定義作幾點說明:(1)的任意性 (2)的相應性三、用極限定義證明 的例題2. 數(shù)列極限的等價定義: 對 對任正整數(shù) 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1. 極限唯一性:( 證 )2. 收斂數(shù)列有界性 收斂的必要條件:( 證 )3. 收斂數(shù)列保號性:定理2.4 設 或. 則對(或(或例1 設 證明:若 則( 證 )定理2.5 設若,(注意“ = ” ;并注意和 的情況 ).推論 若 則對 4. 定理( 迫斂性 ) ( 證 )5. 絕對值收斂性: ( 注意反之不確 ). ( 證 )推論 設數(shù)列和收斂, 則6.四則運算性質(zhì):7. 子列收斂性: 子列概念.定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) 收斂 的任何子列收斂于同一極限.定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) 收斂 子列和收斂于同一極限.定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) 收斂 子列、和都收斂. ( 簡證 )一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限:兩個基本極限:1. 利用四則運算性質(zhì)求極限:數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的, 有界很容易用歸納法證明, 而且 利用單調(diào)有界定理, 設其極限為 , 則有 , A=2定理 2.10 數(shù)列收斂,( 或數(shù)列收斂,第三部分 函 數(shù) 極 限1 函數(shù)極限概念一 趨于時函數(shù)的極限設函數(shù)定義在上,類似于數(shù)列情形,我們研究當自變量趨于時,對應的函數(shù)值能否無限地接近于某個定數(shù)。例如,對于函數(shù)從圖象上可見,當無限增大時,函數(shù)值無限地接近于0;而對于函數(shù),則當趨于時函數(shù)值無限地接近于。我們稱這兩個函數(shù)當時有極限。一般地,當趨于時函數(shù)極限的精確定義如下:定義1 設定義在上的函數(shù),為定數(shù)。若對任給的,存在正數(shù),使得當時, 有,則稱函數(shù)當趨于時以為極限,記作 或 。說明:(1)、在定義1中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中的相類似,表明充分大的程度;但這里所考慮的是比大的所有實數(shù),而不僅僅是正整數(shù)。因此,當趨于時函數(shù)以為極限意味著:的任意小鄰域內(nèi)必含有在的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。(2)、定義1的幾何意義如下圖所示,對任給的,在坐標平面上平行于軸的兩條直線 與,圍成以直線為中心線、寬為的帶形區(qū)域;定義中的“當時有”表示:在直線的右方,曲線全部落在這個帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù)給的小一點,即當帶形區(qū)域更窄一點,那么直線一般要往右平移;但無論帶形區(qū)域如何窄,總存在這樣的正數(shù),使得曲線在直線的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。定義1的否定敘述: 定義1 設定義在上的函數(shù),為定數(shù)。若存在某個,對任意充分大的正數(shù),總存在某個,使得:,則稱函數(shù)當趨于時不以為極限.(3)、現(xiàn)設為定義在或上的函數(shù),當或時,若函數(shù)值能無限地接近某定數(shù),則稱當或時以為極限,分別記作: 或 ; 或 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿,只須把定義1中的“”分別改為“”或 “”即可。問題: (4)、顯然,若為定義在上的函數(shù),則(1)(返回)二 趨于時函數(shù)的極限設為定義在某個空心鄰域內(nèi)的函數(shù)?,F(xiàn)在討論當趨于時,對應的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)。這類函數(shù)極限的精確定義如下:定義2(函數(shù)極限的定義)設函數(shù)在某個空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù)。若對任給的,存在正數(shù),使得當時有,則稱函數(shù)當趨于時以為極限,記作或 。下面我們舉例說明如何應用定義來驗證這種類型的函數(shù)極限。請讀者特別注意以下各例中的值是怎樣確定的。通過以上各個例子,讀者對函數(shù)極限的定義應能體會到下面幾點:1.定義2中的正數(shù),相當于數(shù)列極限定義中的,它依賴于,但也不是由所唯一確定,一般來說,愈小,也相應地要小一些,而且把取得更小些也無妨。如在例3中可取或等等。2.定義中只要求函數(shù)在某一空心鄰域內(nèi)有定義,而一般不考慮在點處的函數(shù)值是否有定義,或者取什么值。這是因為,對于函數(shù)極限我們所研究的是當趨于過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在定理3.9設函數(shù)在點的某空心右鄰域 有定義。的充要條件是:對任何以為極限的遞減數(shù)列,有。這個定理的證明可仿照定理3.8進行,但在運用反證法證明充分性時,對的取法要作適當?shù)男薷?,以保證所找到的數(shù)列能遞減地趨于。證明的細節(jié)留給讀者作為練習。相應于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理,關于上述四類單側(cè)極限也有相應的定理?,F(xiàn)以這種類型為例敘述如下:定理3.10設是定義在上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限存在。證 不妨設在上遞增。因在上有界,由確界原理,存在,記為。下證 。事實上,任給,按下確界定義,存在,使得。取 ,則由的遞增性,對一切=,有另一方面,由,更有。從而對一切有這就證得 。最后,我們敘述并證明關于函數(shù)極限的柯西準則。定理3.11(柯西準則)設在 內(nèi)有定義。存在的充要條件是:任給,存在正數(shù),使得對任何,有證 必要性 設,則對任給的,存在正數(shù),使得對任何有。于是對任何 ,有。充分性 設數(shù)列 且 。按假設,對任給的,存在正數(shù),使得對任何,有。由于(),對上述的,存在,使得當 時有 ,, 從而有 .于是,按數(shù)列的柯西收斂準則,數(shù)列的極限存在,記為,即.設另一數(shù)列且, 則如上所證, 存在, 記為. 現(xiàn)證.為此,考慮數(shù)列:,易見且 故仍如上所證, 也收斂.于是,作為的兩個子列,與必有相同的極限。所以由歸結(jié)原則推得按照函數(shù)極限的柯西準則,我們能寫出極限 不存在的充要條件:存在 ,對任何 (無論多么?。偪烧业?,使得 如在例中我們可取,對任何設正整數(shù) ,令 ,則有 ,而于是,按柯西準則極限 不存在解 當時有 。故所求極限等于 。第四部分 函數(shù)連續(xù)性1 連續(xù)性的概念一 函數(shù)在一點的連續(xù)的定義 設函數(shù)在的某個空心鄰域內(nèi)有定義,是一個確定的數(shù),若對,當時,都有 ,則稱 在 時,以 為極限。這里可以有三種情況:1) 無定義,比如上部分講過的特殊極限 2),比如 , 2)的情形1)的情形3)3)的情形對1)、2)兩種情況,曲線在 處都出現(xiàn)了間斷; 第3)種情況與前兩種情況不同,曲線在處連綿不斷,我們稱這種情況即:時, 在 處連續(xù)。為此給出函數(shù)在點 連續(xù)的定義定義1 設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若: 則稱函數(shù) 在 點連續(xù)。2、函數(shù)在一點的左、右連續(xù)的定義相應于在的左、右極限的概念,我們給出左右連續(xù)的定義如下:定義2 設函數(shù) 在 的某左(右)鄰域內(nèi)有定義,若:( )則稱 在 點左(右)連續(xù)。由極限與單側(cè)極限的關系不難得出:3、函數(shù)在點連續(xù)與函數(shù)在該點左、右連續(xù)的關系:定理4.1 函數(shù)在點連續(xù)的充分必要條件為: 在 點既左連續(xù)又右連續(xù)。(事實上: )定理4.1的等價的否定敘述:函數(shù)在點不連續(xù)的充分必要條件為: 在 點或不左連續(xù)或不右連續(xù)。前面我們學習函數(shù)在一點上連續(xù)的有關定義,下面我們來學習二 函數(shù)的間斷點(不連續(xù)點)及其分類1、函數(shù)不連續(xù)點的定義定義3 設函數(shù)在某內(nèi)有定義,若在點無定義,或在點有定義但不連續(xù),則稱點為函數(shù)的間斷點或不連續(xù)點。由連續(xù)的定義知,函數(shù) 在 點不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形:1) ,而在點無定義,或有定義但2) 左、右極限都存在,但不相等, 稱: 為跳躍度或躍度。3) 左、右極限至少一個不存在據(jù)此,函數(shù)的間斷點可作如下分類:2、間斷點及其分類1)、可去間斷點 對于情況1),即若:(存在),而在點無定義,或有定義但,則稱: 為可去間斷點(或可去不連續(xù)點); 三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義 若函數(shù)在區(qū)間I上每一點都連續(xù),則稱為I上的連續(xù)函數(shù),對于區(qū)間端點上的連續(xù)性則按左、右連續(xù)來確定。定義 如果 在區(qū)間 上僅有有限個第一類不連續(xù)點,則稱函數(shù)在區(qū)間 上按段連續(xù)。例如 是按段連續(xù)函數(shù)。小結(jié):1)函數(shù)在一點連續(xù)的三個等價定義;2)函數(shù)的左右連續(xù)性;3)不連續(xù)的分類:可去不連續(xù)點;跳躍不連續(xù);第二類不連續(xù)點;4)區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義。2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)容:1 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 3 反函數(shù)的連續(xù)性 4 一致連續(xù)性重點:連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì);區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)難點:連續(xù)函數(shù)的保號性;一致連續(xù)性. 一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的在點連續(xù)性,即可推斷出函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)的性態(tài)。定理4.2(局部連續(xù)性)若函數(shù)在點連續(xù),則在點的某鄰域內(nèi)有界。定理4.3 (局部保號性) 若函數(shù) 在 點連續(xù),且 ,則對任意 存在 某鄰域 時,定理4.4(四則運算性質(zhì))若函數(shù)則在區(qū)間I上有定義,且都在連續(xù),則()在 點連續(xù)。例 因連續(xù),可推出多項式函數(shù)和有理函數(shù)為多項式)在定義域的每一點連續(xù)。同樣,由上的連續(xù)性,可推出與在定義域的每一點連續(xù)。定理4.5(復合函數(shù)的連續(xù)性)若函數(shù)在點連續(xù),在點連續(xù),則復合函數(shù)在 點連續(xù)。證明 由于在 連續(xù),對任給的,存在 ,使 時有 (1)又由及在連續(xù),故對上述,存在,使得當時,有. 聯(lián)系(1)得: 對任給的,存在 ,當 時有.這就證明了 在點 連續(xù).注:根據(jù)連續(xù)性的定義,上述定理的結(jié)論可表示為 (2)二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì),下面通過局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。定義1 設f為定義在數(shù)集D上的函數(shù),若存在,使得對一切有 ,則稱f在D上有最大(最小值)值,并稱為f在D上的最大(最小值)值.例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)。如在上既無最大值又無最小值,又如 (4)在閉區(qū)間上也無最大、最小值。定理4.6 (最大最小值定理) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),則 在閉區(qū)間 上有最大值與最小值。該定理及以后的定理4.7 和定理4.9將在第七部分2給出證明.推論:(有界性)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在閉區(qū)間上有界。定理4.7(介值性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且,若為介于之間的任何實數(shù)( 或 ),則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點,使得:推論(根的存在定理)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且異號,則至少存在一點使得 .即 在內(nèi)至少有一個實根. 應用介值性定理,還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì):若在區(qū)間a,b上連續(xù)且不是常量函數(shù),則值域 也是一個區(qū)間;特別若為區(qū)間 a,b, 在 a,b上的最大值為,最小值為,則;又若 為 a,b上的增(減)連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù),則例3 證明:若為正整數(shù),則存在唯一正數(shù),使得.證明 先證存在性。由于當 時有 ,故存在正數(shù) ,使得 .因在上連續(xù),并有,故有介值性定理,至少存在一點使得.再證唯一性。設正數(shù) 使得 由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正所以只能 ,即 .例4 設 在 a,b 連續(xù),滿足 (5)證明:存在,使得 (6)證 條件(5)意味著:對任何有,特別有以及 .若或,則取,從而(6)式成立?,F(xiàn)設與。令 ,則 ,. 由根的存在性定理,存在,使得 即 .三 反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8(反函數(shù)的連續(xù)性)若函數(shù)在閉區(qū)間嚴格遞增(遞減)且連續(xù),則其反函數(shù)在相應的定義域 ()上遞增(遞減)且連續(xù)。證明 (只證明f(x)嚴格遞增情況)由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性,反函數(shù)存在,而且其定義域為。 設 ,且 則 ,對任給的可在的兩側(cè)各取異于的兩點(),使它們與的距離小于(參見上圖).設,由函數(shù)的嚴格遞增性, 必分別落在的兩側(cè),即當 時,令 ,則當 時,對應的 的值必落在之間,從而 .應用單側(cè)極限的定義,同樣可證在區(qū)間端點也是連續(xù)的。四 一致連續(xù)性前面介紹的函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性,是指它在區(qū)間的每一點都連續(xù)。這只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點附近的局部性質(zhì),就是說連續(xù)定義中的 不僅與 有關,而且與有關。下面介紹的一致連續(xù)性,則是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì),其定義中的只與有關,而與無關。定義2(一致連續(xù)性)設函數(shù) 在區(qū)間I上有定義,若 只要 ,都有 ,則稱 在區(qū)間I上一致連續(xù)。這里要特別注意逐點連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說 在區(qū)間I一致連續(xù)意味著:不論兩點在I中處于什么位置只要它們的距離小于,就可使 . 顯然I必然在I上每一點連續(xù),反之,結(jié)論不一定成立(參見例9)。定理4.9 (一致連續(xù)性)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上一致連續(xù)。3 初等函數(shù)連續(xù)性從前面兩節(jié)知道基本初等函數(shù)中:常函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù),以及有理指數(shù)冪函數(shù),都是定義域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性,以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性。一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一部分中,我們已定義了實指數(shù)的乘冪,并證明了指數(shù)函數(shù) 在上是嚴格單調(diào)的.下面先把關于有理指數(shù)冪的一個重要性質(zhì)推廣到一般指數(shù)冪,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。定理4.10 設 為任意實數(shù),則有.證明 不妨設,則由第一部分3(6)式所定義,即.任給,設為兩個有理數(shù),且,使得.由 的嚴格增遞性,得 .又有 ,故得.由任意性推出 .為證相反的不等式, 設 為有理數(shù),且 ,使得 .再取有理數(shù) 使 , 則有故得到 .由任意性推出,所以有.(后一等式的證明留給讀者.)定理4.11 指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的.證明 先設.有第三部分2例4知這表明在連續(xù).現(xiàn)任取.由定理4.10得 .令則當時有,從而有.這證明了在任一點處連續(xù).當時,令,則有,而可看作函數(shù)與的復合,所以此時亦在上連續(xù)。利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性,以及第三部分5例4中已證明的可知的值域為()( 時也是如此).于是 的反函數(shù)對數(shù)函數(shù) 在其定義域() 內(nèi)也連續(xù).二 初等函數(shù)的連續(xù)性由于冪函數(shù)(為實數(shù))可表為,它是函數(shù)與的復合,故有指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復合函數(shù)的連續(xù)性,推得冪函數(shù)在其定義域()上連續(xù)。前面已經(jīng)指出,常函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因此我們有下述定理:定理 4.12 一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復合運算所得到,所以有:定理4.13 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).第五部分 導數(shù)與微分1 導數(shù)概念速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容,但如果撇開它們具體的物理意義,單從數(shù)量關系上看它們有共同的本質(zhì),兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度,即都反映了函數(shù)的變化率 (3)定義1、設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點可導,并稱該極限為函數(shù)在點處的導數(shù),等.若上述極限不存在,則稱在點不可導。注:令,則(3)式可改寫為 (4)所以,導數(shù)是函數(shù)增量y與自變量增量x之比的極限,這個增量比稱為函數(shù)關于自變量的平均變化率(又稱差商),而導數(shù)則為 在0處關于的變化率,它能夠近似描繪函數(shù) 在點附近的變化性態(tài)。注:此公式對= 0仍舊成立。利用有限增量公式,可得下面結(jié)論: 定理1 若函數(shù) 在 處可導,則函數(shù) 在 處連續(xù)。但是可導僅是連續(xù)的充分條件,而不是必要條件,比如:函數(shù)在 處連續(xù),但不可導。(二)函數(shù)在一點的單側(cè)導數(shù) 類似于函數(shù)在一點有左、右極限, 對于定義在某個閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數(shù),如果要討論改函數(shù)在端點處的變化率時,就要對導數(shù)概念加以補充,引出單側(cè)導數(shù)的概念。定義2 設函數(shù) 在點的某右鄰域 上有定義,若右極限 (0或 (存在,則稱該極限值為 在點 0 的右導數(shù),記作,類似地,可定義左導數(shù)右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)。如同左、右極限與極限之間的關系,導數(shù)與單側(cè)導數(shù)的關系是:定理5.2 若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,則存在的充分必要條件是:都存在,且 = 。說明:分段函數(shù)在分界點處討論導數(shù)便是依據(jù)這一結(jié)論,通過左、右導數(shù)來判斷該點是否存在導數(shù)及若存在應等于什么。由定理2,連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例函數(shù) ,處是焦點,不可導。 在 處振蕩,左右導數(shù)都不存在。(三)導函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間I上每一點都可導(對區(qū)間端點,僅考慮相應的單側(cè)導數(shù)),則稱為I上的可導函數(shù)。此時對每一個I,都有的一個導數(shù)(或單側(cè)導數(shù))與之對應,這樣就定義了一個在I上的函數(shù),稱為在I上的導函數(shù),也簡稱為導數(shù),記作等. 即 .說明:1區(qū)間上的可導概念與連續(xù)一樣,也是逐點定義的局部概念。 2在物理學中導數(shù)y也常用牛頓記號y 表示,而記號 是萊布尼茨首先引用的。目前我們把 看作為一個整體,也可把它理解為 施加于y的求導運算,待到學過“微分”之后,將說明這個記號實際上是一個“商”,相應于上述各種表示導數(shù)的形式,三、導數(shù)的幾何意義我們已經(jīng)知道由導數(shù)的定義,所以曲線 在點的切線方程是 (7)這就是說:函數(shù)在點x0 的導數(shù) 是曲線 在點 (x0,y0)處的切線斜率,若 表示這條切線與x 軸正向的夾角,則 =tan 從而0 意味著切線與x 軸正向的夾角為銳角;= 0表示切線與x 軸平行。四、小結(jié)(可以師生共同總結(jié),或教師引導學生小結(jié),然后教師再條理一下)本節(jié)課重點在于“導數(shù)”的定義,而函數(shù) 在一點 的導數(shù) =是一個構造性的定義,是利用繼用極限為工具,研究函數(shù)連續(xù)性以后,又一次用極限為工具研究函數(shù)性質(zhì)的典型范例,為此 1深刻理解導數(shù),左(右)導數(shù)的概念(三個階段) 取差 對整個運動作分割(第一次否定)求平均 以“勻代不勻”; 再回到時刻(第二次否定)2明確導數(shù)與單側(cè)導數(shù),可導與連續(xù)的關系,導數(shù)與導函數(shù)的相互聯(lián)系與區(qū)別。3能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導數(shù)。4能利用導數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實際應用問題。導數(shù)概念的建立是高等數(shù)學常用的方法,下面我們總結(jié)一下這個過程,這對我們認識、掌握高等數(shù)學的思維方法,提高數(shù)學素質(zhì)是很有幫助的。為了考察運動物體在某時刻的瞬時速度,我們不能只停留在這個時刻,因為那樣我們除了知道物體的位置外,就什么也得不到。我們必須用運動的觀點看待這個問題,使 t 動起來,讓 t 變到 ,產(chǎn)生對位置的第一次否定,得到差和。這就把一點的運動狀態(tài)和周圍的運動狀態(tài)聯(lián)系了起來,就能在運動中把握運動;取差其實就是對整個運動作了分割,一分割就使勻”和“不勻”這對矛盾的兩個方面發(fā)生了轉(zhuǎn)化:整體上的“不勻”,轉(zhuǎn)化為局部的“勻”,然后“以勻代替不勻”求出平均速度。為得到瞬時速度,就必須使 再回到,即令,對狀態(tài)第一次否定的否定。當 回到 時,和都消失了,結(jié)果變成,仿佛什么也的不到,其實不然,因為的消失依賴于的消失,雖然兩個相互制約的差都消失了,但他們的“比”卻保持著,這個比就是瞬時速度,或?qū)?shù),它反映了兩個量之間的“質(zhì)”的聯(lián)系。正是這第二次否定,我們又回到了整體上的“不勻”。求瞬時速度或函數(shù)的導數(shù)經(jīng)歷了一個否定之否定的過程,但第二次否定我們不是又回到出發(fā)點,而是解決了初等數(shù)學解決不了的課題。 4 高階導數(shù)高階導數(shù)的概念:加速度 高階導數(shù)定義: 注意區(qū)分符號 和 以函數(shù) 為例介紹高階導數(shù)計算方法.高階導數(shù)的記法: 函數(shù)在 處的 階導數(shù)記為 相應的階導數(shù)記為 二. 幾個特殊函數(shù)的高階導數(shù):1. 多項式: 多項式的高階導數(shù).例1 求 和 .2. 正弦和余弦函數(shù): 計算、的公式.3 和的高階導數(shù):4 的高階導數(shù):5 的高階導數(shù):6 分段函數(shù)在分段點的高階導數(shù):以函數(shù) 為例,求 .三. 高階導數(shù)的運算性質(zhì): 設函數(shù) 和 均 階可導. 則1 2 3 乘積高階導數(shù)的Leibniz公式: 第六部分微分中值定理及其應用 1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性一極值概念:1 回憶極值的概念和可微極值點的必要條件:定理 ( Fermat ) 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,且在點可導,若點為的極值點,則必有 1、羅爾中值定理:若函數(shù)滿足如下條件:(i)在閉區(qū)間a,b上連續(xù); (ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;(iii),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使得 ()=0(分析)由條件(i)知在a,b上有最大值和最小值,再由條件(ii)及(iii),應用費馬定理便可得到結(jié)論。證明:因為在a,b上連續(xù),所以有最大值與最小值,分別用M與m表示,現(xiàn)分兩種情況討論:(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數(shù),從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m M,則因 (a)=(b),使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內(nèi)某點處取得,從而是的極值點,由條件(ii) 在點處可導,故由費馬定理推知=0.注1:羅爾定理的幾何意義:在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上,如果曲線的兩端點高度相等,則至少存在一條水平切線。注2:習慣上把結(jié)論中的稱為中值,羅爾定理的三個條件是充分而非必要的,但缺少其中任何一個條件,定理的結(jié)論將不一定成立,見下圖:中值定理:(a)=(b)時的特殊情況,應用羅爾定理證明此定理要構造輔助函數(shù) ,使得滿足羅爾定理的條件(i)-(iii) 且 ,從而推得 證明:作輔助函數(shù) 顯然,F(xiàn)(a)=F(b)(=0),且F在a,b上滿足羅爾定理的另兩個條件,故存在點(a,b),使得即注1羅爾定理是拉格朗日中值定理時的特例注2幾何意義:在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線上至少存在一點,該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB,我們在證明中引入的輔助函數(shù),正是曲線 與直線AB 之差,事實上,這個輔助函數(shù)的引入相當于坐標系統(tǒng)原點在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn),使在新坐標系下,線段AB平行于新軸(F(a)=F(b)。注3此定理的證明提供了一個用構造函數(shù)法證明數(shù)學命題的精彩典范;同時通過巧妙地數(shù)學變換,將一般化為特殊,將復雜問題化為簡單問題的論證思想,也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的體現(xiàn)。注4拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式,它有幾種常用的等價形式,可根據(jù)不同問題的特點,在不同場合靈活采用:注5拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關,并不彼此獨立,因為:在(a,b)可導可以推出在(a,b)連續(xù),但反之不成立。把這兩個條件的“重疊”部分去掉,改成“函數(shù)在(a,b)可導且在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣,兩個條件互相獨立,但文字累贅且不便記憶,因此一般不這樣敘述。中值定理的簡單應用: ( 講1時 )3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論推論1 函數(shù)在區(qū)間I上可導且為I上的常值函數(shù). 證明: 任取兩點 (設),在區(qū)間 上應用拉格朗日中值定理,存在()I,使得推論2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導且 推論3(導數(shù)極限定理)設函數(shù)在點的某鄰域U()內(nèi)連續(xù),在U()內(nèi)可導,且極限存在,則在點可導,且證明:分別按左右導數(shù)來證明上式成立(1) 任取,在上滿足拉格朗日中值定理條件,則存在,使得由于,因此當時隨之有,對上式兩邊取極限,使得 (2)同理可得因為=存在,所以=,從而即注1由推論3可知:在區(qū)間I上的導函數(shù)在I上的每一點,要么是連續(xù)點,要么是第二類間斷點,不可能出現(xiàn)第一類間斷點。注2導數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導數(shù)。推論4 ( 導函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導, 且 ( 證 )定理( Darboux ) 設函數(shù)在區(qū)間上可導且. 若為介于與之間的任一實數(shù), 則 這就證得在區(qū)間I上任何兩點之值相等。可微函數(shù)單調(diào)性判別法:1單調(diào)性判法:定理 1設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導. 則在內(nèi)(或) 在內(nèi)( 或).證明:必要性 充分性 在I 上遞增。定理2 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導. 則在內(nèi)嚴格( 或嚴格) ) 對有( 或; ) 在內(nèi)任子區(qū)間上例 證明不等式 證明: 設 時 2柯西中值定理和不等式極限一 柯西中值定理 定理(6.5) 設 、滿足(i) 在區(qū)間 上連續(xù),(ii) 在 內(nèi)可導(iii) 不同時為零;(iv) 則至少存在一點 使得 柯西中值定理的幾何意義 曲線 由參數(shù)方程 給出,除端點外處處有不垂直于 軸的切線,則 上存在一點 P處的切線平行于割線 .。 注意曲線 AB在點 處的切線的斜率為 ,而弦 的斜率為 . 受此啟發(fā),可以得出柯西中值定理的證明如下:由于, 類似于拉格朗日中值定理的證明,作一輔助函數(shù) 容易驗證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理,至少有一點 使得 ,即 由此得注2:在柯西中值定理中,取 ,則公式(3)可寫成 這正是拉格朗日中值公式,而在拉格朗日中值定理中令 ,則 . 這恰恰是羅爾定理.注3:設 在區(qū)間 I上連續(xù),則 在區(qū)間 I上為常數(shù) , . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點:由拉格朗日中值定理知:滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦,必與兩點間某點的切線平行??梢杂眠@種幾何解釋進行思考解題: 3、作為函數(shù)的變形要點:若在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可微,則在a,b上 (介于與之間)此可視為函數(shù)的一種變形,它給出了函數(shù)與導數(shù)的一種關系,我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3 設在上可導,并設有實數(shù)A0,使得在上成立,試證證明 :在0,上連續(xù),故存在 使得 =M于是M=A。故 M=0,在0, 上恒為0。用數(shù)學歸納法,可證在一切( i=1,2,)上恒有=0, 所以=0, 。利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性 1. 證明中值點的存在性: 例 1 設函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導, 則 , 使得.證 在Cauchy中值定理中取 .2.證明恒等式: 四 、小結(jié)本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性;難點是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1 拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理,它的特例是羅爾定理,它的推廣是接下來我們要學習的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導數(shù)的橋梁,是數(shù)學分析的重要定理之一。2 構造輔助函數(shù)法是應用微分中值定理的基本方法。實際上,輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段,通過巧妙地數(shù)學變換,將一般問題化為特殊問題,將復雜問題化為簡單問題,這種論證思想也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的體現(xiàn)。關于如何恰當?shù)貥嬙旌瓦x用輔助函數(shù)問題,請同學們結(jié)合第三部分的題目仔細體會總結(jié)。二 不定式的極限 一. 型:定理 6.6 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足:(i) (ii) 在點 的某空心鄰域內(nèi)而這可導,且;(iii) 可為實數(shù),也可為 )則 ( 證 ) 注意: 若將定理中的x 換成 ,只要相應地求證條件(ii)中的鄰域,也可以得到同樣的結(jié)論。二.型不定式 極限:定理 6.7 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足:(i) (ii) 在點的某右鄰域內(nèi)二這可導,且;(iii) 可為實數(shù),也可為 )則 注意1 不存在,并不能說明 不存在(為什么?)注意2 不能對任何比式極限都按洛必達法則來求,首先要注意它是不是不定式極限,其次是否滿足洛必達法則條件例 求極限 . ( Hospital法則失效的例 )三. 其他待定型: .前四個是冪指型的. 3 泰勒公式 一. 問題和任務: 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗證多項式函數(shù) 一般函數(shù)上面的結(jié)果能否成立或近似成立呢?若一個函數(shù)能用多項式近似,對函數(shù)的計算、性質(zhì)的研究就會大大簡化。用多項式逼近函數(shù)的可能性; 對已知的函數(shù), 希望找一個多項式逼近到要求的精度.三 Taylor( 16851731 )多項式:分析前述任務,引出用來逼近的多項式應具有的形式定義 Taylor 多項式 及Maclaurin多項式四 Taylor公式和誤差估計:稱 為余項. 稱給出 的定量或定性描述的式為函數(shù) 的Taylor公式.1. 誤差的定量刻畫( 整體性質(zhì) ) Taylor中值定理:定理 6.9 設函數(shù) 滿足條件:) 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導數(shù);) 在開區(qū)間內(nèi)有階導數(shù).則對 使 .證稱這種形式的余項為Lagrange型余項. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具 Lagrange 型余項的Taylor公式. Lagrange 型余項還可寫為 .時, 稱上述Taylor公式為 Maclaurin 公式, 此時余項常寫為 .關于Taylor公式中Lagrange型余項的進一步討論可參閱:Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 誤差的定性描述( 局部性質(zhì) ) Peano型余項:定理2 若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有階導數(shù), 且存在, 則證 設 , . 應用Hospital法則 次, 并注意到 存在, 就有 .稱 為Taylor公式的Peano型余項, 相應的Maclaurin公式的Peano型余項為. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開:例 驗證下列函數(shù)的Maclaurin公式4 函數(shù)的極值與最大(小)值一 可微極值點判別法: 極值問題: 極值點, 極大值還是極小值, 極值是多少.1.可微極值點的必要條件: Fermat定理.函數(shù)的駐點和(連續(xù)但)不可導點統(tǒng)稱為穩(wěn)定點, 穩(wěn)定點的求法.2.極值點的充分條件: 對每個穩(wěn)定點, 用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點.定理 4 (充分條件) 設函數(shù)在點 連續(xù), 在鄰域 和 內(nèi)可導. 則 ) 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時, 為 的一個極小值點; ) 在內(nèi) 在內(nèi)時, 為 的一個極大值點; ) 若在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號, 則 不是極值點.定理 5 (充分條件) 設點 為函數(shù) 的駐點且存在,則 ) 當時, 為的一個極大值點; ) 當時, 為的一個極小值點.證法一 當 時, 在點的某空心鄰域內(nèi)與 異號,證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項.二 最大值最小值先看三個函數(shù)的圖象 (c61) 由上面圖像看出,函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點處,不可導點處, 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點。因此, 函數(shù)的最大最小值點應從:穩(wěn)定點, 不可導點, 端點 中去尋找, 這三種點中,函數(shù)取最大者為函數(shù)的最大點,取最小者為函數(shù)的最小值點,因此求解最大最小點的步驟應為:第一步 求出穩(wěn)定點, 不可導點和端點第二步 算出這些點處的函數(shù)值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值 5函數(shù)的凸性與拐點 一 凸性的定義及判定:1 凸性的定義:由直觀引入. 強調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義1 設函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù). 若對I 和恒有則稱曲線 在區(qū)間I的凸函數(shù), 反之, 如果總有則稱曲線 在區(qū)間I的凹函數(shù). 若在上式中, 當 時, 有嚴格不等號成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴格凸(或嚴格凹)的. 凸性的幾何意義: 倘有切線,考慮與切線的位置關系; 與弦的位置關系; 曲線的彎曲方向.引理 為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是:對I上任意三點: , 總有證明: 必要性充分性定理6.13 設函數(shù)在區(qū)間I上可導, 則下面條件等價:(i) 為I上凸函數(shù)(ii)為I上的增函數(shù)(iii)對I上的任意兩點有證明2 利用二階導數(shù)判斷曲線的凸向:定理 6.14 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導數(shù), 則在 內(nèi) 在 內(nèi)嚴格上凸;在 內(nèi)嚴格下凸.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對設, 把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式, 有 .其中 和 在 與 之間. 注意到 , 就有 , 于是, 若有上式中,即 嚴格上凸. 若有上式中,即 嚴格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若則有.不妨設 , 并設 , 分別在區(qū)間和上應用Lagrange中值定理, 有.有 又由 , <, , 即 , 嚴格下凸.可類證 的情況.3 凸區(qū)間的分離: 的正、負值區(qū)間分別對應函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二. 曲線的拐點: 拐點的定義.6 函數(shù)圖象的討論我們要認識一個函數(shù),搞清它的性質(zhì),往往要從研究它的圖象入手,借助對函數(shù)圖象的觀察、分析,發(fā)現(xiàn)其隱含的規(guī)律性東西。比如我們在第二部分研究特殊極限 時,首先用中學時講過的從中學求點描跡作圖知道,作圖象的一般步驟應是1確定函數(shù)定義域 ,以安排合適大小的坐標系;2確定函數(shù)的奇偶性、周期性,以減少作圖工作量 ;3給出反映函數(shù)特性的某些關鍵點,比如與軸的交點;4函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,凸凹性、拐點。例 1 作函數(shù) 圖象 1 函數(shù)定義域 2 該函數(shù)不是奇偶函數(shù),也不是周期函數(shù) 3 與軸的交點 與 4 單調(diào)區(qū)間和極值y=1/4*(x-3)2/(x-1);y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)2 時,導數(shù)不存在,導數(shù)的符號由決定:時, 函數(shù)嚴格遞增, 時, 遞減, 為極大點, 為極小點。x 13y 極大極小凸凹性d2ydx2=simplify(diff(y1) d2ydx2 = 2/(x-1)3 x<1 上凸, x>1下凸x<-1x =-11<x<1x=11<x<3x=3x>3增 極大減 減 極小增 漸近線垂直漸近線:顯然 x=1為垂直漸近線斜漸近線: = k再計算 s=1/4*x;s1=symsub(y,s);simplify(s1) ans = -1/4*(5*x-9)/(x-1) 有斜漸近線 我們把找到的特殊點, 漸近線先畫出來 第八部分 不定積分1不定積分概念與基本積分公式一 原函數(shù)與不定積分前面我們學習了導數(shù)與微分,由已知函數(shù)利用基本求導公式和求導法則可以求出它的導數(shù),那自然會想到:求導運算能否和數(shù)的四則運算那樣,知道了導數(shù)反過來就能求出,比如知道了物體的運動速度,求路程,知道了加速度求速度?定義(原函數(shù))如果在區(qū)間 I 上 ,則稱 為 在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如例1中的是 的原函數(shù);是 的原函數(shù),等等因為常數(shù)導數(shù)為零,所以如果的原函數(shù)存在,則對任意常數(shù)C,都是的原函數(shù)。這就是說,原函數(shù)存在的話,它有無限多個。而且容易證明,的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)。換句話說>的原函數(shù)的全體為 ,C為任意常數(shù)。定義(不定積分)>在區(qū)間I上原函數(shù)的全體稱為 在I上的不定積分。記作 。其中為積分號, 為積分函數(shù), 為積分變量。不定積分的幾何意義一個函數(shù)的原函數(shù)盡管有無限多個, 但它們的幾何圖形是一模一樣的, 最多是在坐標系中的高低位置不一樣, 相差一個上下平移關系。二 基本積分公式怎樣求不定積分呢?我們先按照不定積分的定義給出一些常見函數(shù)的不定積分:

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