高中數(shù)學 321直線的方向向量與直線的向量方程課件 新人教B版選修21

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1、 32空間向量在立體幾何中的應用 1知識與技能 理解直線的方向向量 掌握空間直線的向量參數(shù)方程及線段的向量公式 能夠確定直線上點的位置 能夠用向量語言證明線線、線面、面面的平行關系 2過程與方法 用向量的觀點研究直線和直線與直線的位置關系 3情感態(tài)度與價值觀 讓學生體會代數(shù)與幾何的完美結合，說明事物可以相互聯(lián)系與相互轉讓的 重點：理解直線的向量參數(shù)方程及向量中點公式 難點：利用向量證明平行垂直問題 1直線的方向向量是一個很重要的概念，由定點A和方向向量a不僅可以確定直線l的位置，還可具體表示出l上的任意點；還可確定直線平行的條件，計算兩條直線所成的角等 2判定直線平行或垂直：v1l，v2m，l

2、mv1v2；lmv1v2. 5設兩條直線所成角為(銳角)，則直線方向向量的夾角與相等或互補，設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2_. 答案1.直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)) 3v1v2 4vv1(或vv2)或存在兩個實數(shù)x，y，使vxv1yv2 5v1v2，coscos 例1設a，b分別是直線l1、l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1、l2的位置關系 (1)a(2，1，2)，b(6，3，6)； (2)a(1,2，2)，b(2,3,2)； (3)a(0,0,1)，b(0,0，3) 分析設l1、l2的方向向量分別為a，b，則l1l2ab，l1l2ab，由此判斷 解析(1)顯然有b3

3、a，即ab，l1l2(或l1與l2重合) (2)觀察知ab，又ab1(2)23(2)22640，ab，l1l2. (3)顯然b3a，即ab，故l1l2(或l1與l2重合) 說明首先根據(jù)a，b的坐標，對a，b的關系(平行、垂直或其他情況)作出初步判斷，然后再用有關知識給予驗證，從而得到相關結論直線的方向向量在研究線線、線面位置關系，求角或距離等有關問題時要用到，希望注意 l，m是兩條直線，方向向量分別是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若lm，則() Ax1x2，y1y2，z1z2 Bx1kx2，y1py2，zqz2 Cx1x2y1y2z1z20 Dx1x2，y1y2，z1z2 答

4、案D 解析由向量平行的充要條件可得. 例2在長方體OAEBO1A1E1B1中，|OA|3，|OB|4，|OO1|2，點P在棱AA1上，且|AP|2|PA1|，點S在棱BB1上，且|SB1|2|BS|，點Q、R分別是O1B1、AE的中點，求證：PQRS. 證明方法一如圖所示，建立空間直角坐標系，則A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)， A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0) |AP|2|PA1|， 在正方體AC1中，O，M分別為BD1，D1C1的中點證明：OMBC1. 解析以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系Dxyz. 例3如圖所

5、示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點求證：MN平面A1BD. 如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點M，N分別在AE，BD上，且AMDN. 求證：MN平面BCE. 例4正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AC的中點證明：(1)BD1AC；(2)BD1EB1. 如圖所示，棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中點 求證：EFCF. 解析建立如圖的空間直角坐標系Dxyz. 例5如圖，已知F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中點，試求異面直線A1C1與DF所成角的余弦值 說明求兩條異面直線所

6、成角常用的方法有兩種： (1)向量法：即通過兩條直線方向向量的夾角來求兩條異面直線的夾角 (2)定義法(平移法)：由兩條異面直線所成角定義將求兩條異面直線所成角的大小轉化為平面角求解求解的方法是解三角形 在本例給出的正方體中，E為棱AA1的中點，求異面直線BE與AC所成角的大小 分析利用線面平行滿足的條件，轉化為向量運算求待定量 方法二：如圖，以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系 說明運用空間向量將幾何推理轉化為向量運算時，應注意處理和把握以下兩大關系：一是一些幾何題能用純幾何法和向量法解決，體現(xiàn)了純幾何法和向量法在解題中的相互

7、滲透，選哪種方法，多多體驗；二是向量法解題時也有用基向量法和坐標向量法兩種選擇，根據(jù)題目中所給的空間體選擇合適的解題途徑如正方體、長方體、直棱柱等往往通過建系用坐標方法解決更為方便 例7已知四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為菱形ABC60，AB2PA，E是線段BC中點 (1)判斷PE與AD關系； (2)在線段PD上是否存在一點F，使得CF平面PAE，并給出證明 誤解(1)取A為坐標原點，AB，AC，AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設PA1，則P(0,0,1)，B(2,0,0)，O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)， 辨析首先應建立適當?shù)目臻g直角坐標系，其次用向量表示形式驗證求解 正解四邊形ABCD是ABC60的菱形，E為邊BC的中點， AEBC，AEAD，又PA平面ABCD， PAAE，PAAD，以AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立坐標系如圖，設AB2， A(1,3，3)B(9,1,1) C(1，3,3) D(9，1，1) 答案B 答案B A28 B28 C14 D14 答案D 二、填空題 4已知a(2，2,3)，b(4,2，x)，且ab，則x_. 解析代入夾角公式，求得