高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第三章 第五節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與兩角和與差的三角函數(shù)課件 文

第五節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與兩角和與差的三角函數(shù) 1.1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)(1)平方關(guān)系平方關(guān)系:_.:_.(2)(2)商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系: :2.2.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin tan cos k,kZ .2 （）sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1cos coscos cos -sin sin-sin sin sin cossin cos - cos sin- cos sin sin cossin cos + cos sin+ cos sin tan -tan1+tantan判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”）. .（1 1）兩角和與差的正弦、余弦公式中的角）兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意是任意的的.( ).( )（2 2）存在實(shí)數(shù)）存在實(shí)數(shù), ,使等式使等式sin(+)=sin +sinsin(+)=sin +sin 成成立立.( ).( )(3)(3)在銳角在銳角ABCABC中，中，sin Asinsin Asin B B和和cos Acoscos Acos B B大小不確大小不確定定.( ).( )（4 4）公式）公式 可以變形為可以變形為tan + tan tan + tan =tan(+)(1-tan tan=tan(+)(1-tan tan ), ),且對(duì)任意角且對(duì)任意角,都成立都成立.( ).( )（5 5）sin 15sin 15=sin(45=sin(45-30-30)=cos 45)=cos 45sin 30sin 30- -sin 45sin 45cos 30cos 30.( ).( )tan tan tan1tan tan 【解析【解析】（1 1）正確）正確. .對(duì)于任意的實(shí)數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù), , ,兩角和與差的正兩角和與差的正弦、余弦公式都成立弦、余弦公式都成立. .（2 2）正確）正確. .如令如令=0=0，sin 0=0,sin 0=0,sin(+0)=sin =sin +sinsin(+0)=sin =sin +sin 0. 0.(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .cos(A+Bcos(A+B) )0,0,即即cos Acos B-sin Asincos Acos B-sin Asin B B0.0.sin Asin Bsin Asin Bcos Acos B.cos Acos B.(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .變形可以，但不是對(duì)任意角變形可以，但不是對(duì)任意角,都成立都成立. .AB,2（5 5）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤.sin 15.sin 15=sin(45=sin(45-30-30)=sin 45)=sin 45cos 30cos 30- -coscos 45 45sin 30sin 30, ,故錯(cuò)誤故錯(cuò)誤. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） (5) (5)1.tan =31.tan =3，則，則 的值等于的值等于( )( )（A A）2 2 （B B）3 3 （C C）4 4 （D D）6 6【解析【解析】選選D. D. 2sin 2cos22sin 22sin cos 2tan 2 36.coscos 2.2.已知已知,均為銳角，且均為銳角，且 則則sin(+sin(+) )的的值是值是( )( )【解析【解析】選選B.B.由由,均為銳角，均為銳角， 得得sin(+)=sin cos +cos sinsin(+)=sin cos +cos sin 31sin ,cos ,53 46 2A15（ ）38 2B15（ ）122 2C15（ ）D（ ）以上均不對(duì)31sin ,cos ,53 42 2cos sin 53 ，3142 238 2.5353153.3.已知已知sin x=2cos xsin x=2cos x，則，則sinsin2 2x+1=( )x+1=( )【解析【解析】選選B.B.方法一：方法一：sinsin2 2x+cosx+cos2 2x=1,x=1,方法二方法二：由：由sin x=2cos x,sin x=2cos x,得得tan x=2,tan x=2, 6A5 9B5 4C3 5D4221sin xsin x1,2（）2249sin x,sin x1.55 22222222sin xcos x2tan x19sin x1.sin xcos xtan x15 4.tan 204.tan 20+tan 40+tan 40+ tan 20+ tan 20tan 40tan 40=_.=_.【解析解析】由由得得, ,代入所求得代入所求得, ,答案：答案： tan 20tan 40tan 6031tan 20 tan 40 tan 20tan 4033tan 20 tan 40 , 33tan 20 tan 403tan 20 tan 403. 335.sin 625.sin 62cos 58cos 58+cos 62+cos 62sin 122sin 122的值為的值為_._.【解析解析】原式原式=sin 62=sin 62cos 58cos 58+cos 62+cos 62sin 58sin 58= =sin 120sin 120= =答案：答案： 3.232考向考向 1 1 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013寶雞模擬）若寶雞模擬）若 且且 則則sin(-sin(-)=( )=( )(2)(2)（20132013萍鄉(xiāng)模擬）若萍鄉(xiāng)模擬）若sin ,cossin ,cos 是方程是方程4x4x2 2+2mx+m=0+2mx+m=0的兩根，則的兩根，則m m的值為的值為( )( )5cos 23 ,0 ,2 （） 5A3 2B3 1C3 2D3 A 15 B 15 C 15 D15 （3 3）已知）已知是三角形的內(nèi)角是三角形的內(nèi)角, ,且且求求tan tan 的值的值; ;把把 用用tan tan 表示出來表示出來, ,并求其值并求其值. .1sin cos .5 221cossin【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）利用誘導(dǎo)公式及）利用誘導(dǎo)公式及sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1求解求解. .（2 2）應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及平方關(guān)系得到關(guān)于）應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及平方關(guān)系得到關(guān)于m m的方程后求解的方程后求解. .（3 3）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系及已知，列方程組求出由同角三角函數(shù)平方關(guān)系及已知，列方程組求出sin sin ，coscos 的值的值, ,然后求出然后求出tan tan ；運(yùn)用運(yùn)用1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2，把原式化為關(guān)于，把原式化為關(guān)于sin sin ，coscos 的的齊次式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于齊次式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan tan 的代數(shù)式后求值即可的代數(shù)式后求值即可. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B. B. 又又(2)(2)選選B.B.由題意知由題意知: :又又(sin +cos(sin +cos ) )2 2=1+2sin cos=1+2sin cos , ,解得解得5cos 2cos ,3 ,0 ,2 （）2252sin 1 cos1,33 （）2sinsin .3 mmsin cos ,sin cos ,24 2mm1,42 m15, 又又=4m=4m2 2-16m0,m0-16m0,m0或或m4,m4,(3)(3)方法一：由題意得方法一：由題意得由由( () )得得 將其代入將其代入( () )，整理得，整理得25sin25sin2 2-5sin -12=0.-5sin -12=0.解得解得 或或是三角形的內(nèi)角，是三角形的內(nèi)角，sin sin 0,0,m15. 221sin cos ,( )5sincos1,( ) 1cos sin 5 ，4sin 5 3sin ,5 413sin ,cos sin .555 4tan .3 方法二方法二: :即即 且且0,00,cos 0,sin 0,cos 0,1sin cos ,5 221sin cos 5 （ ） ，12412sin cos ,2sin cos ,2525 22449sin cos 12sin cos 1.2525 12sin cos 025 7sin cos ,5 由由 得得1sin cos ,57sin cos ,5 4sin ,53cos ,5 4tan .3 2222221sincoscossincossin22222222sincostan1cos,cossin1tancos4tan ,3 222222411tan1253.4cossin1tan713 （）（）【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在例（在例（1 1）中，條件不變，結(jié)論改為）中，條件不變，結(jié)論改為“求求tan(tan(- -)=_”)=_”，則如何求解？，則如何求解？【解析【解析】 又又答案：答案： 5cos 2cos ,3 ,0 ,2 （）2252sin 1 cos1,33 （）2sin 2 53tantan .cos 553 2 55【拓展提升【拓展提升】 應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的關(guān)注點(diǎn)（1 1）應(yīng)用同角三角關(guān)系式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用）應(yīng)用同角三角關(guān)系式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用. .對(duì)于對(duì)于sin+cos ,sin cos ,sin -cossin+cos ,sin cos ,sin -cos 這三個(gè)式子，利這三個(gè)式子，利用（用（sin sin coscos ）2 2=1=12sin cos2sin cos 知一求二知一求二. .（2 2）注意公式逆用及變形應(yīng)用）注意公式逆用及變形應(yīng)用. .如如1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2，sinsin2 2=1-cos=1-cos2 2,cos,cos2 2=1-sin=1-sin2 2.【提醒【提醒】解答例（解答例（2 2）時(shí)常誤選）時(shí)常誤選C C，原因是忽視一元二次方程中，原因是忽視一元二次方程中判別式對(duì)未知量的限制判別式對(duì)未知量的限制. .【變式備選【變式備選】（1 1）已知）已知tan =2,tan =2,則則 _._. _. _.【解析【解析】由由tan =2,tan =2,得：得：由由tan =2,tan =2,得得: :答案：答案：-3 -3 tan4（）6sin cos 3sin 2cos tan 1tan3.41tan （）6sin cos 6tan 113.3sin 2cos 3tan 24134(2)(2)已知已知且且00，0,0,求求和和的值的值. .3sin 32cos, 3cos2cos,2 （）【解析解析】將所給兩式變形可化為將所給兩式變形可化為 則則2 2+ +2 2，得，得 或或當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1sin sin 2 3cos cos 2 21cos,2 2cos ,0,2 4 3,44 3323cos cos.24222 0,.6 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0,00)0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖像關(guān)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖像關(guān)于于y y軸對(duì)稱，則軸對(duì)稱，則m m的最小值是的最小值是( )( )(2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )的最小正周期及在區(qū)間的最小正周期及在區(qū)間 上的最大值和最小上的最大值和最小值值. .若若 求求coscos 2x 2x0 0的值的值. .3 A3 2B3 C6 5D6 2f x2 3sin xcos x2cos x1 xR .0,2006f xx,54 2 ，【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】（1 1）將函數(shù)）將函數(shù)y=f(xy=f(x) )化為化為f(x)=Acos(x+f(x)=Acos(x+) )的形的形式，根據(jù)平移后所得函數(shù)為偶函數(shù)求式，根據(jù)平移后所得函數(shù)為偶函數(shù)求m.m.(2)(2)逆用倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)成逆用倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)成f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+) )的形式后解題的形式后解題. .利用利用f(xf(x0 0) )求求 再構(gòu)造角求解再構(gòu)造角求解. .00sin2x,cos2x66（）（），【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選C. C. 把此函數(shù)的圖像向右平移把此函數(shù)的圖像向右平移m(mm(m0)0)個(gè)單位后所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)個(gè)單位后所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為為由題意知函數(shù)由題意知函數(shù)y=g(xy=g(x) )為偶函數(shù)，故為偶函數(shù)，故 所以所以 又又m0,m0,故故m m的最小值為的最小值為 f x3cos xsin x2cosx6（）， g x2cosxm2cosxm.66（）mkkZ6 ，mkkZ ,6 .6(2)(2)由由函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為 在區(qū)間在區(qū)間 上是增加的，在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，又上是減少的，又所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值為上的最大值為2 2，最小值為，最小值為-1.-1. 2f x2 3sin xcos x2cos x123 2sin xcos x(2cos x1)3sin 2xcos 2x2sin2x,6（）2T.2 f x2sin (2x)60,6,6 2 f 01,f2,f1,62 （ ）（ ）0,2由由可知可知 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以所以由由 得得從而從而00f x2sin 2x6（），06f x5，03sin2x0,65（）0 x,4 2 ，0272x,636 ，2004cos2x1 sin 2x,665 （）（）00cos 2xcos 2x66（）00cos2xcos sin2xsin 6666（）（）34 3.10【拓展提升【拓展提升】解三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題的注意點(diǎn)解三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題的注意點(diǎn)（1 1）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用往往滲透在）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用往往滲透在三角函數(shù)性質(zhì)中，解題時(shí)需要利用這些公式把函數(shù)解析式化為三角函數(shù)性質(zhì)中，解題時(shí)需要利用這些公式把函數(shù)解析式化為y =Asin(x+y =Asin(x+）的形式后）的形式后, ,再進(jìn)一步探討定義域、值域、最再進(jìn)一步探討定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等問題值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等問題. .（2 2）注意特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，）注意特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，主要考查基本運(yùn)算能力和公式的靈活應(yīng)用主要考查基本運(yùn)算能力和公式的靈活應(yīng)用【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( (其中其中0 01,aR),1,aR),且且f(xf(x) )的圖像在的圖像在y y軸右側(cè)的第一個(gè)最高軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（1 1）求）求的值的值. .（2 2）如果）如果f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最小值為上的最小值為 求求a a的值的值. . 313f xcos 2 xsin 2 xa222 .65,363，【解析【解析】(1)(1)由由由題意，得由題意，得(2)(2)由（由（1 1）知，）知，又當(dāng)又當(dāng) 時(shí)，時(shí)，故故 又又f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最小值為上的最小值為則則 故故 3f xsin2 xa.32 （）12,.6322 3f xsinxa.32（）5x,36 7x0,36 ，1sinx1,23（）5,363，133a,22 31a.2【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】解決三角函數(shù)綜合問題的答題規(guī)范解決三角函數(shù)綜合問題的答題規(guī)范【典例【典例】（1212分）分）(2012(2012廣東高考廣東高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)(1)(1)求求A A的值的值. .(2)(2)設(shè)設(shè)求求cos(+cos(+) )的值的值. . xf xAcos,xR,f2.463（）且 （ ）43028,0,f4,f4,231735 （）（）【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】已知條件已知條件條件分析條件分析代入解析式可求代入解析式可求A A代入解析式可求代入解析式可求sin sin 代入解析式可求代入解析式可求coscos 利用平方關(guān)系可求利用平方關(guān)系可求coscos ,sin,sin f( )23430f(4)317 28f(4)35 ,0,2 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1） 3 3分分（2 2）由（）由（1 1）知）知 5 5分分又又 7 7分分f2,Acos2,3126 （ ）（）2A2.cos4 xf x2cos.46（）430f4,317 （）14302cos42cos,436217 （）（）15sin ,17 28f435 （），12842cos42cos ,cos .43655 （）又又 1010分分cos(+)=cos cos -sin sincos(+)=cos cos -sin sin 12 12分分83,0,cos ,sin .2175 8415313.17517585 【失分警示【失分警示】 ( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.1.（20132013榆林模擬）已知榆林模擬）已知 則則sinsin4 4-cos-cos4 4的值的值為為( )( )【解析【解析】選選B.sinB.sin4 4-cos-cos4 4=sin=sin2 2-cos-cos2 2=2sin=2sin2 2-1=-1=5sin ,5 1A5 3B5 1C5 3D5231.55 2.2.（20132013宜城模擬）函數(shù)宜城模擬）函數(shù) 的值域的值域是是( )( )【解析【解析】選選B. B. 由由 得得 故故 因此因此ysin xcos x,x(0,)2 A 12（， ） B 12（， C22 ， D 0 2（ ，ysin xcos x2sin(x),4x(0,)23x(,),4442sin(x)(,1 ,422sin(x)(1, 2 .43.3.（20132013撫州模擬）已知撫州模擬）已知,都是銳角，若都是銳角，若 則則+=( )=( )【解析【解析】選選A.A.由由,都為銳角，所以都為銳角，所以 所以所以 又又0+0+,所以所以5sin ,5 10sin ,10 A4 3B4 3C44和 3D44和222 53 10cos 1 sin,cos 1 sin,510 2cos()coscossinsin ,2 .4 4.(20134.(2013銅陵模擬）銅陵模擬） _._.【解析【解析】原式原式答案：答案：-1-1tan 70 cos 103tan 201)（sin 70cos 103sin 20cos 20cos 70cos 202sin 2030cos 20 cos 10sin 20cos 202sin 10 cos 101.sin20 5.5.（20132013池州模擬）銳角池州模擬）銳角,滿足滿足 則則cos(-cos(-)=_.)=_.1sin sin ,4 3cos cos ,4 【解析【解析】由由 得得由由 得得+ +得得答案：答案： 1sin sin ,4 221sin sin2sin sin 16 3cos cos 4 229coscos2cos cos 16 10522cos,168 11cos.16 11161.1.已知已知 則則f(x)f(x)在在 的最大值與最小值的差等于的最大值與最小值的差等于( )( ) sin x,cos x ,3sin x,sin x ,f x ，aba bx0,2 23A2（ ）23B2（ ）C 23（ ）D 23（ ）【解析解析】選選B.B.由由當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，f(xf(x) )在在 上的最大值為上的最大值為 最小值為最小值為故兩者之差為故兩者之差為 2f x3sin xsin xcos x a b1 cos 2x13sin 2x22 133sin 2xcos 2x2223sin2x,32（）x0,2 42x,333 3sin(2x)1.230,2312，3.3323131.222 2.2.函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像( )( )（A A）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（B B）關(guān)于）關(guān)于y y軸對(duì)稱軸對(duì)稱（C C）關(guān)于點(diǎn)）關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱對(duì)稱（D D）關(guān)于直線）關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱 f xsin xcos(x)sin(x)sin(x)424(,0)83x8【解析【解析】選選D. D. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,此時(shí)此時(shí)故故f(xf(x) )的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱. . f xsin xcos(x)sin(x)sin(x)424sin xcos(x)cos xsin(x)44sin(2x),43x832x2.4842sin(2x)1.43x8