高考數(shù)學總復習 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課件 新人教A版選修45

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1、選修選修4-5 4-5 不等式選講不等式選講第二節(jié)證明不等式的基本方法第二節(jié)證明不等式的基本方法考綱要求考情分析1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法；能用比較法、綜合法、分析法證明簡單的不等式2.會用數(shù)學歸納法證明不等式.1.從考查內(nèi)容看，高考側(cè)重于對不等式證明方法的考查，且常與函數(shù)、數(shù)列等知識結(jié)合在一起命題2.從考查形式看，主要以解答題或其一問的形式出現(xiàn)，屬中檔題.一、證明不等式的基本方法1比較法(1)作差比較法理論依據(jù)：ab；ab ；abab0.證明步驟：作差 得出結(jié)論ab0ab0變形判斷符號ab ab 變形 判斷與1的大小關(guān)系 2綜合法一般地，從 出發(fā)，利

2、用 、 、 、 等，經(jīng)過一系列的 、 而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又叫 和 3分析法證明命題時，從 出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至所需條件為 或_(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種 的思考和證明方法已知條件定義公理定理性質(zhì)推理論證順推證法由因?qū)ЧㄒC的結(jié)論充分條件已知條件一個明顯成立的事實執(zhí)果索因綜合法和分析法有何內(nèi)在聯(lián)系？提示：綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚，當問題比較復雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達整個證明過程4反證法(1)假設(shè)，以此為出發(fā)

3、點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用等，進行正確的推理，得到和(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明，我們把它稱為反證法要證的命題不成立定義、公理、定理、性質(zhì)命題的條件原命題成立(2)證明步驟反設(shè)肯定原結(jié)論5放縮法(1)證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值或 ，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法(2)理論依據(jù)ab，bcac.歸謬放大縮小二、數(shù)學歸納法證明不等式1數(shù)學歸納法的概念當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當時命題成立；(2)假設(shè)當 時命題成立，證明 時命題也成立在完成了這兩個

4、步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法nn0nk(kn0)nk12數(shù)學歸納法的基本過程1已知x、yR，Mx2y21，Nxyxy，則M與N的大小關(guān)系是()AMNBMNCMND不能確定答案：A2若|xa|m，|ya|n，則下列不等式一定成立的是()A|xy|2mB|xy|2nC|xy|nmD|xy|nm解析：|xa|m，|ya|n，|xa|ya|mn.|(xa)(ya)|xa|ya|mn，|xy|0，求證：3a32b33a2b2ab2.證明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)ab0ab0,3a22b20(

5、3a22b2)(ab)03a32b33a2b2ab2.【考向探尋】選取比較法，綜合法，分析法證明不等式【典例剖析】已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2b21，c2d21，求證：|acbd|1.本題使用綜合法、分析法、比較法都可證明(1)比較法是證明不等式的一個最基本、最常用的方法。當被證明的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法；當被證明的不等式的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時，一般使用作商比較法(2)綜合法是由因?qū)Ч?，宜于表達；分析法是執(zhí)果索因，利于思考，但是表述格式要求嚴謹一般可用分析法探求思路，用綜合法書寫過程用分析法證明不等式時一定要注意表達的規(guī)范性【活學活用】1

6、已知：abc0，求證：abbcca0.【考向探尋】用放縮法證明不等式【典例剖析】設(shè)f(x)ax2bxc，當|x|1時，總有|f(x)|1，求證：|f(2)|8.解答本題可按以下思路進行由條件知|f(0)|1，|f(1)|1，|f(1)|1；探求|f(2)|與|f(0)|、|f(1)|、|f(1)|的關(guān)系；利用不等式|ab|a|b|證明證明：證法一：當|x|1時，|f(x)|1，|f(0)|1，即|c|1.又|f(1)|1，|f(1)|1，|abc|1，|abc|1.又|abc|abc|2|c|abcabc2c|2a|，且|abc|abc|2|c|4，|a|2.|2b|abc(abc)|abc|

7、abc|2，|b|1，|f(2)|4a2bc|f(1)3ab|f(1)|3|a|b|1618，即|f(2)|8.證法二：當|x|1時，|f(x)|1，|f(0)|1，|f(1)|1，|f(1)|1.|2f(1)2f(1)4f(0)f(1)f(1)f(0)|3f(1)f(1)3f(0)|3|f(1)|f(1)|3|f(0)|31113178. 證明含有絕對值的不等式，其思路主要有兩種：一是恰當?shù)剡\用|a|b|ab|a|b|進行放縮，并注意不等號的傳遞性及等號成立的條件；二是把含有絕對值的不等式等價轉(zhuǎn)化為不含有絕對值的不等式，再利用比較法、綜合法及分析法等進行證明，其中去掉絕對值符號的常用方法是平

8、方法放縮法證明不等式，就是利用不等式的傳遞性進行證明不等關(guān)系，即要證ab，只需先證明ap，且pb.其中p的確定是最重要，也是最困難的，要憑借對題意的深刻分析，對式子巧妙變形的能力，以及一定的解題經(jīng)驗【活學活用】2設(shè)f(x)x2x13，實數(shù)a滿足|xa|1.求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)證明：|f(x)f(a)|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1)|f(x)f(a)|2(|a|1).【考向探尋】1用反證法證明不等式2用數(shù)學歸納法證明不等式(1)題中含有“至少”，用反證法證明(2)不等式與正整數(shù)n有關(guān)，用數(shù)學歸納法證明(1)證

9、明：假設(shè)|f(1)|與|f(1)|都小于2，即|f(1)|1p1|2p|2，|f(1)|1p1|2p|2，則4(2p)(2p)|2p|2p|4矛盾，(1)適宜用反證法證明的數(shù)學命題結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；關(guān)于唯一性、存在性的命題；結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題使用反證法證明問題時，準確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)，是正確運用反證法的前提(2)與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明問題，如果用常規(guī)方法有困難，可以考慮利用數(shù)學歸納法來證明利用數(shù)學歸納法證題時，在第二步中，要注意利用歸納假設(shè)同時，這一步驟往往會涉及到分析法、放縮法等綜合手段(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.又(x1)2(y1)2(z1)20，30，(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.式與式矛盾，所以假設(shè)不成立，即a，b，c中至少有一個大于0.由于本問題是含有正整數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟第一步：審題確定用數(shù)學歸納法證明；第二步：驗證初始值n0(n0N*)時不等式成立；第三步：作出歸納假設(shè)；即nk(kN*且kn0)時不等式成立；第四步：證明nk1時不等式成立；第五步：下結(jié)論，說明不等式成立