重慶市萬(wàn)州分水中學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章《推理與證明》第1講 合情推理和演繹推理指導(dǎo)課件 新人教A版

第十章 推理與證明第1講合情推理和演繹推理考綱要求考綱研讀合情推理與演繹推理1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.在數(shù)學(xué)中，由于所有命題的正確性都是用演繹推理來(lái)證明的，所以從形式上看，主要考查類比推理和歸納推理合情推理需根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后再提出猜想在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑.1合情推理歸納推理類比推理(1)定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)合情推理可分為_(kāi)和_兩類：歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理簡(jiǎn)言之，歸納推理是由_到_、由_到_的推理；部分整體個(gè)別一般類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理2演繹推理定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫做演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷1在ABC 中，若 BCAC，ACb，BCa，則ABC 的外接圓半徑 r，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體 SABC 中，若 SA，SB，SC 兩兩垂直，SAa，SBb，SCc，則四面體 SABC 的外接球半徑 R_.2已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.1314正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的3在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為AxByC0，圓心在(x0，y0)的圓的一般方程為(xx0)2(yy0)2r2；則類似地，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_(kāi)，球心在(x0，y0，z0)的球的一般方程為_(kāi).AxByCzD0(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2等差數(shù)列等比數(shù)列ana1(n1)dbnb1qn1anam(nm)dbn_則數(shù)列cn為等差數(shù)列若 dn_，則數(shù)列dn為等比數(shù)列bmqnm4類比是一個(gè)偉大的引路人我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請(qǐng)閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個(gè)結(jié)論：5.(2010年廣東廣州海珠區(qū)測(cè)試)如圖1011，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，則截下一個(gè)直角三角形按圖1011所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理得c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OABC，若用s1，s2，s3表示三個(gè)側(cè)面面積，s4表示截面面積，你類比得到的結(jié)論是_. 圖1011例 1：(2011年山東)設(shè)函數(shù) f(x)考點(diǎn)1 歸納推理xx2，觀察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)ff1(x)x3x4，f3(x)ff2(x)x7x8，f4(x)ff3(x)x15x16，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng) nN*且 n2 時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.(2011 年陜西)觀察下列等式11.2349.3456725.4567891049.照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi)解析：把已知等式與行數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)n，加數(shù)的個(gè)數(shù)是2n1；等式右邊都是完全平方數(shù)，行數(shù)等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)1111234923353456725456789104947則第 5 行等號(hào)的左邊有 9 項(xiàng)，右邊是 9 的平方，所以 565(251)192.即 561381.答案：561381歸納推理的一般步驟：通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的觀察、分析和比較，發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)律；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題如以上兩題歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，根據(jù)以上規(guī)律寫出第五個(gè)等式，注意行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵【互動(dòng)探究】1觀察以下等式：11123123612341012345151311323913233336132333431001323334353225可以推測(cè) 132333n3_(用含有 n 的式子表示，其中 n 為自然數(shù))n2(n1)24考點(diǎn)2 類比推理例2：在直角ABC 中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a，b，直角頂棱 SA，SB，SC 兩兩垂直，SAa，SBb，SCc，點(diǎn) S 到平面ABC 的距離為 h，類比上述結(jié)論，寫出 h 與 a，b，c 的等式關(guān)系并證明如圖D16，過(guò) S 作ABC 所在平面的垂線，垂足為 O，連接CO 并延長(zhǎng)交 AB 于 D，連接 SD.SO平面 ABC，SOAB.SCSA，SCSB，SC平面 ABC.SCAB，SCSD.AB平面 SCD.ABSD.圖 D16類比推理經(jīng)常用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想，如空間轉(zhuǎn)化為平面、三角形類比三棱錐、正方形類比正方體、實(shí)數(shù)類比到向量、橢圓類比到雙曲線、等差數(shù)列類比到等比數(shù)列等類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).【互動(dòng)探究】2已知 O 是ABC 內(nèi)任意一點(diǎn)，連接 AO，BO，CO 并延長(zhǎng)平面幾何題，其證明常采用“面積法”請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四面體 VBCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明解：在四面體VBCD 中，任取一點(diǎn)O，連接VO，DO，BO，CO 并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于 E，F(xiàn)，G，H 點(diǎn)考點(diǎn)3 演繹推理例3：(2011年江西)已知兩個(gè)等比數(shù)列an，bn，滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值演繹推理是一種必然性推理，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論也必然正確【互動(dòng)探究】3(2011 年廣東湛江測(cè)試)命題：“若空間兩條直線 a，b分別垂直平面，則 ab”，學(xué)生小夏這樣證明：設(shè) a，b 與面分別相交于 A，B，連接 A，B，a，b，AB，aAB，bAB.ab.這里的證明有兩個(gè)推理，即：和.老師評(píng)改認(rèn)為小夏的證明推理不正確，這兩個(gè)推理中不正確的是_. 考點(diǎn)4信息給予題則下列結(jié)論恒成立的是()AT，V 中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉BT，V 中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉CT，V 中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉DT，V 中每一個(gè)關(guān)于乘法是封閉例4：(2011年廣東)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的若T，V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT，x，y，zV，有xyzV.答案：A解析：由于TVZ，故整數(shù)1一定在T，V兩個(gè)集合中的一個(gè)中，不妨設(shè)1T，則a，bT，由于a，b,1T，則ab1T，即abT，從而T對(duì)乘法封閉另一方面，當(dāng)T非負(fù)整數(shù)，V負(fù)整數(shù)時(shí)，T關(guān)于乘法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，故D不對(duì)；當(dāng)T奇數(shù)，V偶數(shù)時(shí)，T，V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故B，C不對(duì)從而本題就選A.【互動(dòng)探究】4(2011 年四川)設(shè) S 為復(fù)數(shù)集 C 的非空子集若對(duì)任意 x，yS，都有 xy，xy，xyS，則稱 S 為封閉集下列命題：集合 Sabi|(a，b 為整數(shù)，i 為虛數(shù)單位)為封閉集；若 S 為封閉集，則一定有 0S；封閉集一定是無(wú)限集；若 S 為封閉集，則滿足 STC 的任意集合 T 也是封閉集其中真命題是_(寫出所有真命題的序號(hào))1合情推理主要包括類比推理和歸納推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明方法主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行3合情推理僅是合乎情理的推理，它得到的結(jié)論不一定正確而演繹推理得到的結(jié)論一定正確1合情推理包括類比推理和歸納推理歸納推理是從特殊到一般的推理，類比推理是從特殊到特殊的推理合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明，合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展的依據(jù)2演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性