高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 第51講 直線與圓的綜合應(yīng)用課件 理

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1、20或 2224002.21,3(1)0.8,02,0.2.3.2.1xyxyxyaaAB mxycmcPABP若圓的圓心到直線的距離為，則 的值為已知兩圓相交于兩點(diǎn)，兩圓圓心都在直線上，則的值是 動(dòng)點(diǎn) 到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的倍，那么點(diǎn) 的軌跡方程為32216xy一224(.111)CxyxyABAOBSSSSABV過(guò)圓 ：的圓心，作直線分別交、 正半軸于點(diǎn) 、 ，被圓分成四部分 如圖，若這四部分圖形面積滿足，則直線有條(0)2SSSSSSSSABCSSAB 如圖，由已知，得，第，部分的面積是定值，所以為定值，即為定值，當(dāng)直線繞著圓心 移動(dòng)時(shí)，隨，的增大而增大，所以只可能有一個(gè)位置符合題意，

2、即直線只解析：有一條224*132().()5.kCxkykkkN設(shè)有一組圓：下列四個(gè)命題： 存在一條定直線與所有的圓均相切； 存在一條定直線與所有的圓均相交； 存在一條定直線與所有的圓均不相交； 所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 其中真命題的代號(hào)是 寫出所有真命題的代號(hào)212322424*1,331310,019210212().kkkyxyxCCCkkkkkkkk N圓心為，半徑為 ，圓心在直線上，所以直線必與所有的圓相交，正確；由、的圖象可知、不正確；若存在圓過(guò)原點(diǎn)，則有因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在 使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn)解：故填、析直線與圓相切直線與圓相切 【例1】已知E(2,4)，

3、F(4,1)，G(8,9)，EFG的內(nèi)切圓記為 M.(1)試求出 M的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,3)作 M的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B；又過(guò)P作 N：x2y24xy40的兩條切線，切點(diǎn)分別記為C，D.試確定的值，使ABCD. 222221210 0260270.()()(0)210526,345,5275(3)(4)5.EGxyEFxyFGxyMxaybrrabrabrabrabrxye由題意，易得的方程為 ，的方程為 ，的方程為 設(shè)的方程為 ，則有，解得 ， ， 所求方【程為 】解析 2.312,3326.66PMPNPMPNABCDkkPN當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)楣?，解得 當(dāng) 時(shí)， 點(diǎn)在圓 外

4、，故 即為所求的滿足條件的解 為了減少計(jì)算量，本題中的三條直線，兩條互相垂直，兩條關(guān)于水平直線對(duì)稱因而也可以通過(guò)求角平分線的交點(diǎn)而得出圓心事實(shí)上，一條水平線為y4，兩條互相垂直直線的角平分線所在直線的斜率為tan(/4 )3(tan2)，直線方程為y3x13，兩直線交于點(diǎn)(3,4)，即為圓心，后利用圓心到任一條直線的距離即就是圓的半徑另外，本題中涉及線性規(guī)劃，幾何概型等考點(diǎn)，但僅是給出它們的背景，不要深入挖掘?qū)⒅R(shí)點(diǎn)有機(jī)組合而成的綜合問(wèn)題，是命題的一種趨勢(shì) 【變式練習(xí)1】已知圓x2y22x2y10，點(diǎn)A(2a,0)，B(0,2b)，且a1，b1.(1)若圓與直線AB相切時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)的軌

5、跡方程；(2)若圓與直線AB相切，且AOB面積最小時(shí)，求直線AB的方程及AOB面積的最小值 2222221(1)(1)11,11.1(11)2211|1|2|2211122xyCrxyABababABababababab 圓的方程化為 ，則圓心，半徑 直線所在的直線方程為，因?yàn)閳A與直線相切，所以【析】解，2222222(2)24()422210.()22210(11)abababababab aba bababABM xyaxbyABxyxyxy所以 ，所以 設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為， ，則 ， ，代入上式得線段的中點(diǎn)的軌跡方程為 ， 222212242()410(11)2232 2()222222

6、2 0.12232 22ababababababababABxyAOBab因?yàn)?，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立所以直線的方程為 面積的最小值為 Vgg直線和圓的方程的綜直線和圓的方程的綜合應(yīng)用合應(yīng)用 【例2】求過(guò)直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件之一的圓的方程(1)過(guò)原點(diǎn)；(2)有最小面積 22222212412402(1)(4)(14 )0.1140.43170.24xyxyxyxyxyxyxy 設(shè)所求圓的方程為，即又此圓過(guò)原點(diǎn)，所以，故所求圓的方程為【解析】 22222245844(1)()().24555851366()().555xyxy解

7、法一：當(dāng)半徑最小時(shí)，圓面積也最小，對(duì)方程左邊配方， 得 所以當(dāng)，此圓面積最小， 故滿足條件的圓的方程為222404( (1)2-482(1)4025.2612370.555xylxyxy解法二：當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓面積最小，易求得圓心坐標(biāo)為，代入直線方程得，解得所以當(dāng)時(shí)，此圓面積最小故滿足條件的圓的方程為 聯(lián)立直線與圓的方程，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出圓的方程計(jì)算繁瑣可以用過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程進(jìn)行求解 設(shè)直線l：Ax+By+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示過(guò)直線l與圓C的交點(diǎn)的圓系方程1212(2011)5

8、12239,0 xOyCCCMNxCOCA鹽城二模卷 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線 由圓弧和圓弧相接而成，兩相接點(diǎn)、 均在直線上圓弧的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn) ，半徑為；圓弧過(guò)點(diǎn)【變式練習(xí) 】 21230314033CCPPAPOlxmyCEFEFOl求圓弧的方程；曲線 上是否存在點(diǎn) ，滿足？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；已知直線 ：與曲線 交于 、 兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求坐標(biāo)原點(diǎn) 到直線 的距離221222222216955,12(512)6217014,029 141514225(5)CxyxMNAMyxyCOCrCxyx（1）圓弧所在圓的方程為，令，解得，則線段中垂線的方程為，令

9、，得圓弧所在圓的圓心為 又圓弧所在圓的半徑為，所以圓弧的方程為解析： 22222222222()302290.229070()16913522900()14225 529P xyPAPOxyxxyxxxyxxyxxxyx 假設(shè)存在這樣的點(diǎn)， ，則由，得由，解得舍去 ；由，解得舍去 ， 21222222222232214,01513141615131418161615.4EFrEFrEFOldlCEFdddddOl 因?yàn)?，所?、 兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上設(shè)點(diǎn) 到直線 的距離為 ， 因?yàn)橹本€ 恒過(guò)圓弧所在圓的圓心， 所以， 即，解得， 所以點(diǎn) 到直線 的距離為動(dòng)圓性質(zhì)的探究動(dòng)圓性質(zhì)的探究 【例3】已

10、知tR，圓 C：x2y22tx2t2y4t40. (1)若圓C圓心在直線xy20上，求圓C的方程；(2)圓C是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由【解析】(1)圓C的方程可化為(xt)2(yt2)2t4t24t4，其圓心為(t，t2)，則由題意有t t220，所以t1或t2，故圓C的方程為(x1)2(y1)210或(x2)2(y4)216. 22222222221041220.402,20220044022002,0tCxytCxyxyxyxxyyxyxyxCttyxCyC方法 ：當(dāng) 時(shí)，圓 ： ；當(dāng) 時(shí)，圓 ： 解方程組解得或?qū)⒋雸A 的方程，左邊 不恒等于 ；將代入

11、圓 的方程，左邊 右邊，故圓 過(guò)定點(diǎn)222222(4)(24)(2 )0.402240,.0202,0Cxyxty txyxxyyC方法 ：將圓 的方程整理為 令解得故圓 過(guò)定點(diǎn) 動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題有兩種解法： 一是先從動(dòng)圓系中取出兩個(gè)已知圓，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，再將求得的坐標(biāo)代入動(dòng)圓中驗(yàn)證； 二是將動(dòng)圓方程改寫為關(guān)于參數(shù)t的等式，再利用多項(xiàng)式恒等理論列出關(guān)于x，y的方程組，解得定點(diǎn)坐標(biāo) 【變式練習(xí)3】已知圓C：x2y22x4y40，問(wèn)是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 22221122121212122402(

12、22)440.()()10.OAOBlyxmxyxyyyxmxmxmmABOAOBA xyB xyyykkx xy yxx假設(shè)存在直線 ： ，由，消去 ，得 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)，則 ，即【】解析1221221212121221212121221442()()()2()0.34014.1401040.xxmmmx xy yxm xmx xm xxmx xy yx xm xxmmmmmmmlxyxy 由方程，得 ，因?yàn)?，所以把代入?，解得 或 將 和 分別代入方程，檢驗(yàn)得，所以存在直線 ，方程為 和 1.過(guò)點(diǎn)P(0,1)與圓x2y22x30相交的所有直線中，被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)的直線方

13、程是_2.已知直線l：xy40與圓C：(x1)2(y1)22，則C上各點(diǎn)到l的距離的最大值與最小值之差為_ xy102 222(3)(5)362,2( 12).5.32xyABCABCCV已知圓 和點(diǎn)、 ， ，若點(diǎn) 在圓上且的面積為 ，則滿足條件的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)是_31211222212321432014330437064.(3)(5)363.ABCCABABxyABlxylxyCldCldxyllC由的面積為 知，點(diǎn) 到直線的距離為 ，直線的方程為 ，與直線平行且距離為 的直線為 ： 和 ： ，圓心 到直線 的距離為 ，圓心 到直線 的距離為 所以圓 與直線 相切與直線 相交，滿【解析】足條件的

14、點(diǎn) 的個(gè)數(shù)是V9223480221.40PxyPAPBxyxyABCPACB 已知 是直線上的動(dòng)點(diǎn)，、是圓的兩條切線， 、 是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形面積的最小值為22222222()11 .1|1111222.111PACBPACPxyPCxyACPAPCACxySSPAACPAxy 四邊形設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ， ， 則由勾股定理及， 得， 從而解析：V22221,1()1,13480|3 14 18|()9349-12 2.PACBPACBSPACP xyCxydS 四邊形四邊形最小值故欲求的最小值，只需求的最小值，即定點(diǎn)與直線上動(dòng)點(diǎn)， 的距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)到直線的距離的平方即這個(gè)最

15、小值， 所以5.已知圓x2y22x4y30.(1)若圓C的切線在x軸上和y軸上的截距的絕對(duì)值相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點(diǎn)P(x，y)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|PO|，求使|PM|最小的P點(diǎn)坐標(biāo) 222(1)(2)2( 1,2)210|2|2126(26) .xyCrCxyykxkdkkyx圓的方程化為 ，則圓心，半徑當(dāng)圓 的切線在 軸上和 軸上的截距都為 時(shí)，設(shè)切線方程為 ，則圓心到直線的距離 所以 ，所以所求切線的方解程為【析】000.| 12|231.21030.| 12|251.21050.(26)10301050.Cxyxyaxybaaxyxyab

16、xyxyyxxyxyxyxy 當(dāng)圓 的切線在 軸上和 軸上的截距都不為 時(shí)，設(shè)切線的方程為 或 由，得 或所以切線的方程為 或 又由，得 或所以切線的方程為 或 所以滿足條件的切線的方程為 或 或 或 或 22222222222(1)(2)2243.2430()2430243022 .20(2430PMPCrxyxyxyPOxyPMPOxyP xyl xyPMPOOl xyOPlOPkyxxyPxy依題意， ， 因?yàn)椋?，即點(diǎn)，在直線 ： 上要使最小，需最小，即原點(diǎn) 到直線 ： 的距離最小此時(shí)，所以直線的斜率為 ，方程為 解方程組，得 點(diǎn)的坐標(biāo)為3 3, )10 5 1求圓的方程通常用待定系數(shù)法若所求的圓過(guò)已知兩圓的交點(diǎn)或一直線與圓的交點(diǎn)，一般用圓系方程 2如果圓心問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題更方便求解，則將圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)式表示，特別是求最值的問(wèn)題 3有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要由圓心到直線的距離與半徑的大小來(lái)確定 4直線與圓所涉及的知識(shí)都是平面解析幾何的最基礎(chǔ)的內(nèi)容，并滲透到解析幾何的各個(gè)部分，尤其是直線與圓的位置關(guān)系等，構(gòu)成了解析幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)因此，要在這些基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)在的聯(lián)系和基本方法的運(yùn)用、通法的熟練程度上下狠功夫