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1、20221212192.5.1xyFFABFABF橢圓的焦點為 、 ，是橢圓過焦點 的弦，則的周長是V222121222420.ABFlABAFBFAFAFBFBFaaaV解析的周長：23kk或22.3.212xykkk若表示橢圓，則 的取值范圍是2212320113023.2223xykkkkkkkk因為表示橢圓，或解所以，即析：22143xy2221503.xCxyx已知焦點在 軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓 ：的半徑，則橢圓的標準方程是222221501422.1.21.43xyxcraaecaxy由，知又，所以所求橢圓的標準方程為解析：544或221184.92.xykk如果
2、橢圓的離心率是 ，那么實數(shù)的值為 222222222222221809101114.8229801018195.4xakbcabkkecckkaakyabkcabkcckkeaak 當焦點在 軸上時， 所以，所以，且，解得當焦點在 軸上時， 所以，且， 解得解析：522145.xyymmm橢圓的一條準線方程為，則5.4mymmm焦點在 軸上，解析：橢圓的標準方程橢圓的標準方程 12( 61)(32)1PP已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，求該橢【例】圓的方程2212221(00)( 61)(32)1619,321131.93mxnymnPPmmnmnnxy設所求的橢圓方程為，
3、因為橢圓經(jīng)過兩點，所以解得，故所求的橢圓標準方程為【】解析 已知兩點，橢圓標準方程的形式不確定，可以根據(jù)焦點位置設出橢圓標準方程進行分類討論，用待定系數(shù)法求出a，b的值，但若設為mx2ny21，則包含了焦點在x軸上和焦點在y軸上的兩種情況，是一個好的選擇，避免討論，簡化解題過程 【變式練習1】求中心在原點，并與橢圓9x24y236有相同的焦點，且經(jīng)過點Q(2，3)的橢圓的標準方程 222222222222(05)10515,9411011510yyxabababababyx由題設知，所求橢圓的焦點在 軸上，且焦點坐標為 ，故設所求橢圓的方程為，則解得故所求橢圓【的方程為析】解橢圓的幾何性質(zhì)橢圓
4、的幾何性質(zhì) 224,022,212591524xyABMMAMBMBMA已知，是橢圓 內(nèi)的兩個點，是橢圓上的動點求：的最大【例 】值和最小值；的最小值 222211259534.4,0(4,0)21010|( 42)(02)2 10,2 102 10,2 10102 10,102 10,102 10 xyabcAFMAMFaMAMBMFMBMBMFBFMBMFMAMBMAMB 如圖，由 ，知 ， ，所以 所以點為橢圓的右焦點，左焦點為又因為 ，所以 ，因為所以故10即的最大值為 最小值為解【析】 252,4|4,|555.4425172,445(5 2)3xMMNMAeMNMAMNMBMAMB
5、MNBMNMBNMBMNBNM由題意橢圓的右準線為 設到右準線的距離為，由橢圓的第二定義知 所以，所以由圖易知當 、 共線且在點 、 之間時，最小為 此時坐標為， 當圓錐曲線上的點與兩焦點的距離建立聯(lián)系時，?？紤]第一定義；當圓錐曲線上的點與焦點和相應準線的距離建立聯(lián)系時，?？紤]第二定義，并注意利用平面幾何、三角知識來解題問題(1)是用橢圓第一定義中的數(shù)量關系進行轉換，使問題化歸為幾何中求最大(小)值的基本模式，主要是利用三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等結論；問題(2)利用第二定義實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的轉化，利用了三點共線時，距離和最小 221212194()21223xyFFP xyPF
6、PFxy已知 、是橢圓 的兩個焦點， 為橢圓上一點求的最大值；求 的最大值【變式練習 】和最小值 12212121212136|()9239.aPFPFPFPFPFPFPFPFPFPF因為 ，故由橢圓的定義知 ，所以【解析，當且僅當 時等號成立所以的最大值為】 minmax3cos22sin236cos6sin6 2sin()4sin()1(23 )6 2;4sin() 1(23 )6 24xyxyxyxy易知橢圓的參數(shù)方程為，則 當 時， 當 時， 說明：此題還有其他解法，上面方法較簡捷利用橢圓的參數(shù)方程，直接將目標函數(shù)轉化為三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的最值求解 橢圓的綜合應用橢圓的綜合應用 2
7、22212122121(0)2 .an .3txyEababFFPEFPFPFFSb【例 】如圖，設橢圓 ： 的焦點為 與 ，且，求證：的面積 11221 212222111 222121 21 21 22221 221 2221sin2 .2222cos2()22cos222(1cos2 )2(1cos2 )44421212sin22 1222PFr PFrSrrFFccrrrrrrrrrrarrrracbbrrcosbScossin cosb設 ， ，則 又 ，由余弦定理有 ，于是所【以這樣即有 證明】22tanbcos 用定義去解決圓錐曲線問題比較方便如本例，設|PF1|r1，|PF2|
8、r2，則S1/2r1r2sin2.若能消去r1r2，再借助余弦定理即可解決問題 2213621230.xyABFPxPAPFPMABMAPMBMd已知點 、 分別是橢圓 長軸的左、右端點，點 是橢圓的右焦點，點 是橢圓上的點，位于 軸的上方，且求點 的坐標；設為橢圓長軸上的一點，到直線的距離等于，求橢圓上的點到點的距【變離 的式練習 】最小值 22221(6,0)4,0()(6)(4)13620(6)(4)03291806.23503,223 5( ,3)2 2AFPxyAPxyFPxyxyxxyxxxxyxyP由已知可得點，設點 的坐標為 ， ，則 ， ， ， 由已知得，則 ，解得 或 由于
9、 ，故 ，于是 所以點【析】的坐標是解uuu ruur 2222222360.,0|6|2|6|6|662.2()549(2)4420()15.992966152APxyMmmMAPmmmmxyMddxyxxxxxxd直線的方程為 設點的坐標為，則點到直線的距離是由于，又，故解得 故橢圓上的點 ， 到點的距離 滿足 因為，所以當 時， 取得最小值22221.1xyyaaa若方程 表示焦點在 軸上的橢圓，則 的取值范圍是_(1,0) 222221010.xyaaaaa方程化為標準方程得依題意得，解得【解析】22.321GxGGG已知橢圓 的中心在坐標原點，長軸在 軸上，離心率為，且 上一點到 的
10、兩個焦點的距離之和為，則橢圓 的方程為_22= 13 69xy22223212623 33=1369eaacbacxy題意 ， ，得 ，則 ， ，則所求橢圓方程為【解析】2 552222220103.xyxyabab直線經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于 2202,00,11252 55xxyxybcacea由題意知橢圓的焦點在 軸上，又直線與 軸、 軸的交點分別為、，它們分別是橢圓的焦點與頂點，所以，從而，解析：22121=195).14(6xyCCC已知橢圓與橢圓：有相同的焦點，橢圓過點，求橢圓的標準方程22222221222111122112211222211221122
11、112211=19595224.=1(61)4(6)1=11()4448=184xyCabcacCCCcabxyCCbbbbbbabxyCC在橢圓：中， ， ，所以 又因為已知橢圓與橢圓有相同的焦點，所以在橢圓 中， ，設橢圓 ：，又橢圓過點 ，所以，解得 舍去 或 ，則所以橢圓 的標準方析：【解】程為 22221212=10(1)23 245.xyababFFBPQFPF QBx設橢圓的左、右兩個焦點分別為 、 ，短軸的上端點為 ，短軸上的兩個三等分點為 、 ，且四邊形為正方形求橢圓的離心率；若過點 作此正方形的外接圓的切線在 軸上的一個截距為，求此橢圓的方程 1122222221(0)3(
12、,0)331910101010bPFcFPF Qbcbccbcacae由題意知， 設因為四邊形【解為正方形，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以，所以離心率 析】 2220,32 22 23 .3 21.4=1.109Bcyxcxcxy因為，故由幾何關系可求得一條切線的斜率為，所以切線方程為 因為切線在 軸上的截距為，所以 故所求橢圓的方程為 1橢圓的兩個定義的靈活運用：橢圓的兩個定義都是用橢圓上的點到焦點的距離來刻畫的第二定義將到焦點的距離與到準線的距離(平行于坐標軸的線)建立了等量關系由此可對一些距離進行有效轉化因此，在解題中凡涉及曲線上的點到焦點的距離時，應先想到利用定義進行求解，會有事半功倍之效222 2(0)abceabcacbea橢圓的標準方程有兩種形式，在解題時要防止遺漏，要深刻理解橢圓中的幾何量 ， ， ， 等之間的關系 如 ， ， 及每一個量的本質(zhì)含義，并能熟練地應用于解題 3求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)如若不能確定焦點的位置，則兩種情況都要考慮，這一點一定要注意，不要遺漏，此時設所求的橢圓方程為一般形式：Ax2By21(A0，B0且AB)；若 AB，則焦點在y軸上
高考數(shù)學一輪復習 第9章 第52講 橢圓課件 理
