【小學三年級數(shù)學】小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(三年級)16共(8頁)

小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程（三年級）本教程共30講第16講數(shù)陣圖（在神奇的數(shù)學王國中，有一類非常有趣的數(shù)學問題，它變化多端，引 人入勝，奇妙無窮。它就是數(shù)陣，一座真正的數(shù)字迷宮，它對喜歡探究數(shù) 字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研 究它的變化，就連大數(shù)學家歐拉對它都有著濃厚的興趣。那么，到底什么是數(shù)陣呢？我們先觀察下面兩個圖：左上圖中有3個大圓，每個圓周上都有四個數(shù)字，有意思的是，每個 圓周上的四個數(shù)字之和都等于13。右上圖就更有意思了， 19九個數(shù)字 被排成三行三列，每行的三個數(shù)字之和與每列的三個數(shù)字之和， 以及每條 對角線上的三個數(shù)字之和都等于15,不信你就算算上面兩個圖就是數(shù)陣圖。準確地說，數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求 排列而成的某種圖形，有時簡稱數(shù)陣。要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是 一件容易的事情。我們還是先從幾個簡單的例子開始。例1把15這五個數(shù)分別填在左下圖中的方格中， 使得橫行三數(shù)之和與 豎列三數(shù)之和都等于9。同學們可能會覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理， 只有 弄懂其中的道理，才可能解出復雜巧妙的數(shù)陣問題。分析與解：中間方格中的數(shù)很特殊，橫行的三個數(shù)有它，豎列的三個數(shù)也 有它，我們把它叫做“重疊數(shù)”。也就是說，橫行的三個數(shù)之和加上豎列的三個數(shù)之和，只有重疊數(shù)被加了兩次，即重疊了一次，其余各數(shù)均被加 了一次。因為橫行的三個數(shù)之和與豎列的三個數(shù)之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=9+9,重疊數(shù)=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。重疊數(shù)求出來了，其余各數(shù)就好填了 (見右上圖)。例2把15這五個數(shù)填入下頁左上圖中的。里(已填入5),使兩條直線 上的三個數(shù)之和相等。分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數(shù)”為5,而不知道兩條直線上 的三個數(shù)之和都等于什么數(shù)。所以，必須先求出這個“和”。根據(jù)例1的分析知，兩條直線上的三個 數(shù)相加，只有重疊數(shù)被加了兩遍，其余各數(shù)均被加了一遍，所以兩條直線 上的三個數(shù)之和都等于(1+2+3+4+5)+5 +2=10。因此，兩條直線上另兩個數(shù)(非“重疊數(shù)”)的和等于10-5=5。在剩 下的四個數(shù)1, 2, 3, 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。例3把15這五個數(shù)填入右圖中的。里，使每條直線上的三個數(shù)之和相 等。O-U-O6分析與解：例1是知道每條直線上的三數(shù)之和，不知道重疊數(shù)；例2是知 道重疊數(shù)，不知道兩條直線上的三個數(shù)之和；本例是這兩樣什么都不知道。 但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=每條直線上三數(shù)之和X 2,所以，每條直線上三數(shù)之和等于(15+重疊數(shù))+2。因為每條直線上的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)只可能是1, 3或5若“重疊數(shù)” =1,則兩條直線上三數(shù)之和為(15+1) +2=8。填法見左下圖；若“重疊數(shù)” =3,則兩條直線上三數(shù)之和為(15+3) +2=9。填法見下中圖；若“重疊數(shù)” =5,則兩條直線上三數(shù)之和為(15+5) +2=10。填法見右下圖。(5)®由以上幾例看出，求出重疊數(shù)是解決數(shù)陣問題的關(guān)鍵。 為了進一步學 會掌握這種解題方法，我們再看兩例。例4將17這七個自然數(shù)填入左下圖的七個。內(nèi)， 使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于10分析與解：與例1類似，知道每條邊上的三數(shù)之和，但不知道重疊數(shù)。因 為有3條邊，所以中間的重疊數(shù)重疊了兩次。于是得到(1+2+ - +7)+重疊數(shù) X 2=10X 3。由此得出重疊數(shù)為10 X3-(1+2+ +7) +2=1。剩下的六個數(shù)中，兩兩之和等于 9的有2, 7; 3, 6; 4, 5。可得右 上圖的填法。如果把例4中“每條邊上的三個數(shù)之和都等于 10”改為“每條邊上 的三個數(shù)之和都相等"，其他不變，那么仿照例 3,重疊數(shù)可能等于幾？ 怎樣填？例5將1020填入左下圖的。內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三 個數(shù)字之和都相等。解：與例2類似，中間。內(nèi)的15是重疊數(shù)，并且重疊了四次，所以每條 邊上的三個數(shù)字之和等于(10+11+ - +20)+15X4 -5=45。剩下的十個數(shù)中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10, 20; 11, 19;12, 18; 13, 17; 14, 16。于是得到右上圖的填法。例15都具有中心數(shù)是重疊數(shù)，并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì)，這 樣的數(shù)陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個數(shù)，稱為輻射 型3-3圖；例5有五條邊每邊有三個數(shù)，稱為輻射型 5-3圖。般地，有m條邊，每邊有n個數(shù)的形如下圖的圖形稱為輻射型 m-輻射型數(shù)陣圖只有一個重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)” -1 ,即m-1 對于輻射型數(shù)陣圖，有已知各數(shù)之和+重疊數(shù)x重疊次數(shù)=直線上各數(shù)之和x直線條數(shù)。由此得到：（1）若已知每條直線上各數(shù)之和，則重疊數(shù)等于（直線上各數(shù)之和X直線條數(shù)-已知各數(shù)之和）+重疊次數(shù)。如例1、例4。（2）若已知重疊數(shù)，則直線上各數(shù)之和等于（已知各數(shù)之和+重疊數(shù)X重疊 次數(shù)）一直線條數(shù)。如例2、例5。若重疊數(shù)與每條直線上的各數(shù)之和都不知道，則要從重疊數(shù)的可能取 值分析討論，如例3。練習161 .將17這七個數(shù)分別填入左下圖中的。里，使每條直線上的三個 數(shù)之和都等于12。如果每條直線上的三個數(shù)之和等于 10,那么又該如何填？2 .將19這九個數(shù)分別填入右上圖中的。里（其中9已填好），使每 條直線上的三個數(shù)之和都相等。如果中心數(shù)是5,那么又該如何填？3 .將19這九個數(shù)分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個 數(shù)之和相等。（至少找出兩種本質(zhì)上不同的填法）4 .將39這七個數(shù)分別填入左下圖的。里，使每條直線上的三個數(shù) 之和等于20。5 .將111這十一個數(shù)分別填入右上圖的。里，使每條直線上的三個 數(shù)之和相等，并且盡可能大。6 .將17這七個數(shù)分別填入下圖的。里，使得每條直線上三個數(shù)之 和與每個圓圈上的三個數(shù)之和都相等。答案與提示練習16和為為和為黑和力25和為28和為275.提示：中心數(shù)是重疊數(shù)，并且重疊4次。所以每條直線上的三數(shù)之 和等于(1 +2+-+ 11)+重疊數(shù)X 4 +5= (66+重疊數(shù)X 4) +5。為使上式能整除，重疊數(shù)只能是1, 6或11。顯然，重疊數(shù)越大，每 條直線上的三數(shù)之和越大。所以重疊數(shù)是 11,每條直線上的三數(shù)之和是 22。填法見右圖。6.解：所有的數(shù)都是重疊數(shù)，中心數(shù)重疊兩次，其它數(shù)重疊一次。所 以三條邊及兩個圓周上的所有數(shù)之和為(1 +2+ 7) X2+中心數(shù)=56+中心數(shù)。因為每條邊及每個圓周上的三數(shù)之和都相等，所以這個和應該是 5 的倍數(shù)，再由中心數(shù)在1至7之間，所以中心數(shù)是4。每條邊及每個圓周 上的三數(shù)之和等于(56+4) -5= 12。中心數(shù)確定后，其余的數(shù)一下還不好直接確定。我們可以試著先從輻 射型3-3圖開始。中心數(shù)是4,每邊其余兩數(shù)之和是12-4=8,兩數(shù)之和是 8的有1, 7; 2, 6; 3, 5。于是得到左下圖的填法。對于左上圖，適當調(diào)整每條邊上除中心數(shù)外的兩個數(shù)的位置， 便得到 本題的解（見右上圖）。豎式計算370+7=784-685=76X 15 =486 e=607 55=900-807=915 3=560 +458+542=423 3=87X19=362+6=525+ 3=254+5=192 + 4 =602+7 =839+ 9=726+6=51 X 16 =78 X 22 =416+4=823+8=63X43=367 +795 與=2 >53=79 >97=28X 32 =54X 25 =48X61=39X42 =168 3=370 與=640 7=1944=470 %=522 -6=3127=570 七=810+9=660 + 5=804 + 7=462 + 3 =780+4 =729+ 9 =624 + 6 =2500+300=156-97=386+479=321 X 12 =125X 23 =18X 250 =52 X 49=34 X 54=106X 51 =48 X 34 =82 X 16=45 X 93=66 X 65=55 X 18=75X 26=816+ 8=