高考數(shù)學二輪專題復習（真題感悟+熱點聚焦+歸納總結(jié)+專題訓練）第一部分 專題七 第1講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想課件 理

第第1講講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想 1函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要概念，它們之間有著密切的聯(lián)系函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，主要體現(xiàn)在依據(jù)題意，構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來解決問題，是歷年高考的重點和熱點方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進行研究；方程f(x)a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要 函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用可從以下幾個方面思考： (1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式 (2)數(shù)列的通項與前n項和公式是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要，數(shù)列也可用方程思想求解 (3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論； 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切2數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言有機結(jié)合，達到抽象思維和形象思維的和諧統(tǒng)一通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點： (1)要徹底明白一些概念和運算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義； (2)選擇好突破口，恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化； (3)挖掘隱含條件，準確界定參數(shù)的取值范圍，參數(shù)的范圍決定圖形的范圍 數(shù)形結(jié)合思想是重要的思維方式，在高考中占有非常重要的地位近幾年的高考題中的曲線方程問題、函數(shù)與不等式問題、參數(shù)范圍問題、可行域與目標函數(shù)最值、向量兩重性等，都用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法，它不僅是我們解題的一種思想方法，還是我們進一步學習、研究數(shù)學的有力武器. 探究提高研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決 規(guī)律方法(1)等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和公式，可以看成n的函數(shù)，可以用函數(shù)方法解決 (2)數(shù)列求值問題的實質(zhì)是解方程，所以，方程思想在數(shù)列問題中也有著重要的應(yīng)用 探究提高考查直線與圓錐曲線相交時，往往要把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，經(jīng)過消參等過程求解相關(guān)問題，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用【訓練1】 若a，b是正數(shù)，且滿足abab3，則ab的取值范圍為_ 答案9，)熱點二數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用微題型1利用數(shù)形結(jié)合思想解決與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題【例21】 已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x1)f(x1)；x1,1時，f(x)x2，則方程f(x)lg x解的個數(shù)是_ 解析由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為0,1的函數(shù)，又f(x)lg x，則x(0,10，畫出兩函數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù)，由圖象可知共9個交點 答案9 探究提高用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù) 答案(10,12) 探究提高求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答答案(1)2(2)B 探究提高在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：要徹底弄清一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論，既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義要恰當設(shè)立參數(shù)，合理建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化要正確確定參數(shù)的取值范圍答案D【訓練22】 已知點P在拋物線y24x上，那么點P到點Q(2，1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為_1在高中數(shù)學的各個部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個方程，如等差數(shù)列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當題目與這些問題有關(guān)時，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2當問題中涉及一些變化的量時，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題的答案，這就需要使用函數(shù)思想3借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題，二是在問題求解中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解4在許多數(shù)學問題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個處于突出的主導地位，把這個參變量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實質(zhì)就是分離參變量5在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達到解題的目的6有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結(jié)論，這就要對圖形進行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達到解題的目的7利用數(shù)形結(jié)合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象8數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度9數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式(或向量的模、復數(shù)的模)；點到直線的距離公式等.