高考數學一輪復習 第9章 第55講 曲線與方程課件 理

22110064xy22226620.1.xyxy 方程化簡的結是果226,06,020110064xy該方程表示的幾何意義是到定點，的距離之和為的點的軌跡結合橢圓的定義可知化簡結果析：為解28yx2240.2yxyxM與 軸相切，且與圓相外切的動圓圓心的軌跡方程是222242,028 .xyMxyx 圓方程為，則動圓圓心到的距離等于它到定直線的距離，故所求軌跡方程是解析：224412521xy223.1251,0.xyCAQAQCQMM設圓的圓心為 ，是圓內一定點， 為圓周上一動點，線段的垂直平分線與交于，則點的軌跡方程為222225525211.24441.2521CQMCMQMCMAACMCAacbacMxy依題意得，且，故點的軌跡是以 、 為焦點的橢圓，則，故點的軌跡方程為解析：2214xy 224.4.xyPxPQPQM過圓上任意一點 向 軸作垂線段，則線段的中點的軌跡方程是111,1111221122221122()()0.22()4444.1.4M xyP xyQ xxxxxyyyyP xyxyxyxyxMy設， ，則，、由中點坐標公式得，即又點，在圓上，則，即所以的軌方程是：跡解析221394xyx221212121 122195.4.xyAAPPA AAPA PM設 、是橢圓的長軸兩個端點， 、是橢圓的垂直于的弦的端點，則直線與的交點的軌跡方程為12000002220002001 100220222202022()() ()341.94993333499991394MPPxyxyxyxxyyxyAPyxxyA Pyxxyyxxxxyx 如圖，設點、 、 的坐標分別為 ， 、，、 ，則，即直線的方程為直線的方程為得，整理得解析：定義法求軌跡方程定義法求軌跡方程 已知 F1:(x+3)2+y2=1， F2:(x -3)2 +y2=9, 動圓P與 F1， F2均外切，求圓心P的軌跡方程.【例1】解析：設 P的半徑為r.則由題意有 ， 所以|PF2| - |PF1|= 2 |F1F2|. 由雙曲線的定義知，點 P 的軌跡是以F1 , F2 為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支. 設雙曲線的方程為 ，1213PFrPFr 22221xyab 則 ，所以 . 故點P的軌跡方程為 (x-1).222223acabc 18ab 2218yx 在求動點 P 的軌跡方程時，有時可以先根據題中的幾何條件，判斷出軌跡的形狀及位置，再運用待定系數法求方程的特征量，從而求出軌跡方程，這種方法稱為定義法.本題在得出 |PF2|-|PF1| =2 3時, 方程可化為 ,化簡得 y2= -12(x -4). 故點P的軌跡方程為22(1)34xyx 22(1)34xyx 22(1)34xyx 2412(4)xyx (03)(34)xx 【解析】 如圖所示，已知P(4 , 0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上 兩 動 點 ， 且 滿 足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.相關點法求軌跡方程相關點法求軌跡方程【例3】2222222222222()Rt.Rt3644364100.APBQABRxyABPARPRRABOARARAOORxyPRxyxyxyxyx VV設矩形的對角線的中點為 ，其坐標為 ， ， 則在中，又因為 是弦的中點，依垂徑定理，在中，又，所以有，即解析：111111222222()()40224100404()()410022256RRQQ xyR xyRPQxyxyxyxxyxxy因此，點 在一個圓上，而當 在此圓上運動時， 點即在所求的軌跡上運動 設， ， 因為 是的中點， 所以， 代入方程， 得， 整理得，這就是所求的軌跡方程 本題主要考查利用“相關點代入法”求軌跡方程的能力.在此題中，欲求點Q的軌跡方程，應先求點R的軌跡方程，若沒有發(fā)現這個解題的實質，就會陷入僵局.由此可見，對某些比較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程. 2304,23Ml xyAPAMAPPMP 為直線 ：上的一動點，為一定點，又點 在直線上運動，且，求動點 的軌跡方程00000000()()43441333,23423132308430.P xyM xyxxxxAPPMyyyyxyxy 設， ，因為所以又，代入化簡得【解析】3【變式練習 】 1.已知橢圓的焦點是F1、F2, P是橢圓上的一個動點，如果延長 F1P 到點Q，使得|PQ|=|PF2|, 那么動點Q的軌跡是 .圓解析：因為|PF1|+|PF2|=2a, |PQ|=|PF2|, 所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a, 所以動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓. 2.已知點M(-3 , 0)、N(3 , 0)、B(1 , 0),圓C與直線MN切于點B，分別過M、N且與圓C相切的兩直線相交于點P，則P點的軌跡 方程為 .221(0)8yxx 3.分別過A1(-1 , 0) , A2(1 , 0) 作兩條互相垂直的直線，則它們的交點M的軌跡方程是 .x2+y2=1解析：設M(x , y).因為MA1MA2，所以MA1 MA2=0,即(x+1 , y) (x -1 , y)=0，得x2+y2=1. 4.已知圓C:(x -1)2+y2=1，過原點O作圓C的任意一條弦，求弦的中點的軌跡方程.22221 () ( , ) 0,(1, )( , )011)(01)242 ()90( 0)11()(01)24OQOP x yCPOQCP OQxyx yxyxOPCPMOCxyx方法 ： 直接法設為過 的任意一條弦，是其中點，則，故所以， 即( 方法 ： 定義法因為，動點 在以，為圓心，為直徑的圓上， 所以所求點的軌跡解方程為析：uur uuu r 222211221222223 ().120. *11()()()1.211*11()(01)24PQykxykxkxxxyP xyQ xyPQxyxxkxykxkkkxyx 方法 ： 參數法設動弦的方程為 由，得 設，線段的中點的坐標為 ， ， 則，將以上兩式代入消去 得所求點的軌跡方程為 5.如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2 =4. 過動點 P 分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN (M、N分別為切點)，使得|PM|=2|PN|.試建立適當的坐標系，求動點的軌跡方程. 解析：以線段O1O2的中點O為原點，線段O1O2所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則O1(-2 , 0) , O2(2 , 0). 由已知|PM|= |PN|，得|PM|2=2|PN|2.因為兩圓的半徑均為1，所以|PO1|2 -1=2(|PO2|2 -1).2 設P(x , y)，則(x+2)2+y2 -1=2(x -2)2 +y2 -1, 即(x -6)2+y2=33. 所以動點P的軌跡方程為(x -6)2+y2=33(或x2+y2 -12x+3=0). 1求曲線方程時應注意的問題在求曲線方程時經常出現的問題是產生多解或漏解現象，為此，解題時應注意以下三點： 注意動點應滿足的某些隱含條件； 注意方程變形是否同解； 注意圖形可能的不同位置或字母系數取不同值時的討論 2. 曲線”與“方程”是點的軌跡的兩種表現形式，“曲線”是軌跡的幾何形式，反映的是數量關系所表示的圖形；“方程”是軌跡的代數形式，反映的是圖形所滿足的數量關系在具體解題操作時要將二者結合起來，這就是“數形結合”的方法 3.定義法求軌跡方程，就是在思維的初期，先不用設點的坐標，而直接找動點所滿足的幾何性質.所以利用定義法求軌跡問題時，往往應該先考慮動點滿足的距離關系，判斷它是否滿足五種曲線的定義，從而使問題快速解答.應用定義法時要特別重視用圓錐曲線的定義判斷所求軌跡的類型、位置和形狀，可借助圓錐曲線的標準方程，最大限度地減少直接法中化簡和整理方程的運算量. 4.代入法中，動點M(x , y)的坐標取決于已知曲線C上的點(x, y)的坐標，可先用 x , y 來表示 x，y，再代入曲線C的方程，即得點M的軌跡方程.