高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)與選考內(nèi)容 第5講 不等式選講課件 文

第5講 不等式選講考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|；(3)會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.2.了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.(1)柯西不等式的向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3) .(此不等式通常稱為平面三角不等式)3.不等式選講考綱(3)(6)略.7.會用上述不等式證明一些簡單問題.能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值. 8.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、縮放法2011年新課標(biāo)卷第24題考查解絕對值不等式；2012年新課標(biāo)卷第24題考查含絕對值不等式的解法；2013年新課標(biāo)卷第24題(1)求絕對值不等式的解集；(2)含參不等式的求解；2014年新課標(biāo)卷第24題均值不等式的應(yīng)用；2015年新課標(biāo)卷第24題考查含絕對值不等式解法，分段函數(shù)，一元二次不等式解法從近幾年的高考試題來看，利用絕對值的幾何意義求最值和解絕對值不等式是考試的重點(diǎn)1.常用的證明不等式的方法(1)比較法：比較法包括作差比較法和作商比較法.(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式.(3)分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立.(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式AB，先假設(shè) AB，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定AB.凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法.(5)放縮法：要證明不等式 A0，|f(x)|aaf(x)af(x)a.(2)理解絕對值的幾何意義：|a|b|ab|a|b|.1.(2015 年新課標(biāo))已知函數(shù) f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當(dāng) a1 時(shí)，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)圖象與 x 軸圍成的三角形面積大于 6，求 a 的取值范圍.(1)求 a3b3 的最小值；(2)是否存在 a，b，使得 2a3b6？并說明理由.3.(2013 年新課標(biāo))已知函數(shù) f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng) a2 時(shí)，求不等式 f(x)1 時(shí)，且當(dāng) x值范圍.1,2 2a解：(1)當(dāng) a2 時(shí)，不等式 f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù) y|2x1|2x2|x3，其圖象如圖 D63，從圖象可知，圖 D63當(dāng)且僅當(dāng) x(0,2)時(shí)，y0，所以原不等式的解集是x|0 x0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，又ab0，ab0，ab0,2ab0(ab)(ab)(2ab)0.2a3b3(2ab2a2b)0.2a3b32ab2a2b.【規(guī)律方法】比較法證不等式的步驟可歸納為：作差并化簡，其化簡目標(biāo)應(yīng)是 n 個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；得出結(jié)論.例 2：(2013 年新課標(biāo))設(shè) a，b，c 均為正實(shí)數(shù)，且 abc1，證明：證明：(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca.由題設(shè)，得(abc)21，即 a2b2c22ab2ac2bc1，即3ab3bc3ac1，即abbcca .13【規(guī)律方法】分析法證明不等式，就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷用充分條件代替前面的不等式，直至使不等式成立的條件已具備，就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若 A，則 B”這個(gè)命題的模式是：欲證命題 B 為真，只需證明命題B1 為真，從而又只需證明命題B2 為真，從而又只需證明命題A 為真，今已知A 真，故B 必真.簡寫為：BB1 B2BnA.1cos()即證2coscos，即證 1coscossinsin2coscos，只需證 1cos()，結(jié)論顯然成立.故原不等式成立.考點(diǎn) 2 絕對值不等式例 4：(2012 年新課標(biāo))已知函數(shù) f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng) a3 時(shí)，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范圍. 2x5，x2，解：(1)當(dāng)a3 時(shí)，f(x) 1，2x3，2x5，x3，當(dāng) x2 時(shí)，由 f(x)3，得2x53.解得 x1；當(dāng) 2x3 時(shí)，f(x)3，無解；當(dāng) x3 時(shí)，由 f(x)3，得 2x53.解得 x4.f(x)3 的解集為x|x1 或 x4.(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|，當(dāng) x1,2時(shí)，|xa|x4|x2|4xx22，2ax2a.由條件得2a1，且 2a2，即3a0.故滿足條件的 a 的取值范圍為3,0.例 5：已知函數(shù) f(x)|ax2|axa|(a0).(1)當(dāng) a1 時(shí)，求 f(x)x 的解集；(2)若不存在實(shí)數(shù) x，使 f(x)3 成立，求 a 的取值范圍.解：(1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)|x2|x1|x，當(dāng) x2 時(shí)，解得 x3；當(dāng) 1x2 時(shí)，解得 x1.無解；當(dāng) x1 時(shí)，解得 x1.綜上可得到解集x|x1，或 x3.(2)依題意， 對xR，都有 f(x)3.則 f(x)|ax2|axa|(ax2)(axa)|a2|3.a23，或 a23.a5，或 a1(舍去).a5.例 6：(2015 年福建)已知 a0，b0，c0，函數(shù) f(x)|xa|xb|c 的最小值為 4.(1)求 abc 的值；解：(1)因?yàn)?f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb 時(shí)，等號成立，又 a0，b0，所以|ab|ab.所以 f(x)的最小值為 abc.所以 abc4.1.利用比較法證明不等式時(shí)，為了判斷作差后的符號，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù).2.分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過程，恰好是綜合法的分析、思考過程，即綜合法是分析法的逆過程.混淆了它們間的區(qū)別與聯(lián)系易產(chǎn)生思維障礙.要注意兩種證明方法的書寫格式，否則易產(chǎn)生邏輯上的錯(cuò)誤.利用反證法證明問題是從否定結(jié)論入手的，沒有使用假設(shè)命題而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的.3.放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較.常用的放縮技巧有：舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；在分式中放大或縮小分子或分母；應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮.4.掌握絕對值不等式的解法和利用證明不等式的基本方法.5.含絕對值不等式的解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法、分類討論法及平方法.