高考數(shù)學一輪總復習 第八章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 理

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1、第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考綱要求考點分布考情風向標1.理解以下判定定理.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.2.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題2011年大綱卷考查直二面角的有關計算；2011年新課標卷以四棱錐為背景，證明線線垂直；2012年新課標卷以三棱柱為背景，證明面面垂直；2013年大綱卷考查線面所成的角；2013年新課標

2、卷考查直線與平面的位置關系；2013年新課標卷以三棱柱為背景，證明線線垂直；2014年新課標卷以三棱柱為背景，證明線線垂直；考查線面位置判定定理、性質(zhì)定理及求三棱柱的高；2015年新課標卷以四棱錐為背景，證明面面垂直1.垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€解答題出現(xiàn)，所以是高考的熱點，是復習的重點.縱觀歷年來的高考題，立體幾何中沒有難度過大的題，所以復習要抓好三基：基礎知識，基本方法，基本能力.2.要重視和研究數(shù)學思想、數(shù)學方法.在本節(jié)中“化歸”思想尤為重要，不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關系是解題的突破口項目圖形條件結(jié)論判定ab，b(b 為內(nèi)的任意

3、直線)aam，an，m，n，mnOaab，ab1.直線與平面垂直項目圖形條件結(jié)論性質(zhì)a，baba，bab(續(xù)表)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線那么這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面2.平面與平面垂直3.直線與平面所成的角(1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么直線與平面所成的角等于 0.(2)如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角等于90.(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角，其范圍是(0，90).斜線與平面所成的線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線

4、所成的一切角中最小的角.4.二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖象叫做二面角.從二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.1.垂直于同一條直線的兩條直線一定()DCA.平行C.異面B.相交D.以上都有可能2.給定空間中的直線 l 及平面，條件“直線 l 與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線 l 與平面垂直”的( )A.充要條件C.必要非充分條件B.充分非必要條件D.既非充分又非必要條件3.如圖851，在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()D圖 851BD1AC；BD1A1C1

5、；BD1B1C.A.0 個C.2 個B.1 個D.3 個4.(2013 年新課標)已知 m，n 為異面直線，m平面，n 平面.直線 l 滿足 lm，ln，l，l，則()A.，且 lB.，且 lC.與相交，且交線垂直于 lD.與相交，且交線平行于 l解析：根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖D47.由圖可知與相交，且交線平行于 l.故選 D.圖 D47答案：D考點 1 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1：(2014 年山東)如圖852，在四棱錐 PABCD 中，APE，F(xiàn) 分別為線段 AD，PC 的中點.(1)求證：AP平面 BEF；(2)求證：BE平面 PAC.圖 852證明：(1)如圖 D48，圖 D4

6、8設 ACBEO，連接 OF，EC.由于 E 為 AD 的中點，AE BC.四邊形 ABCE 為平行四邊形.又 AEAB，則ABCE 為菱形.O 為 AC 的中點.又 F 是 PC 的中點，在PAC 中，PA OF.平面BEF，OF平面 BEF，且PAAP平面 BEF.(2)由題意知，EDBC，EDBC，四邊形 BCDE 為平行四邊形.因此 BECD.又 AP平面 PCD，APCD.因此 APBE.四邊形 ABCE 為菱形，BEAC.又 APACA，AP，AC平面 PAC ，BE平面 PAC .【規(guī)律方法】直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直，通過直線與平面位

7、置關系的不斷轉(zhuǎn)化來處理有關垂直的問題.出現(xiàn)中點時，平行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn)圓周上的點時，聯(lián)想到直徑所對的圓周角為直角.【互動探究】C1.如圖 853，PA O 所在的平面，AB 是O 的直徑，C是O 上的一點，E，F(xiàn) 分別是 A 在 PB，PC 上的射影，則下列)結(jié)論中正確命題的個數(shù)是(AFPB；EFPC；AFBC；AE平面 PBC.A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個解析：正確，又AF平面PBC，假設AE平面PBC，AFAE，顯然不成立，故錯誤.圖 853考點 2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例 2：(2015 年山東)如圖 854，三棱臺 DEFABC 中，

8、AB2DE，G，H 分別為 AC，BC 的中點.(1)求證：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，ABBC，求證：平面 BCD平面 EGH.圖 854(1)證法一：如圖D49，連接DG，CD.設CDGFM，連接MH，在三棱臺DEFABC 中，AB2DE，G 為AC 的中點，可得DFGC，DFGC.圖 D49所以四邊形 DFCG 是平行四邊形，則 M 為 CD 的中點.又 H 為 BC 的中點，所以 HMBD.又 HM平面 FGH，BD 平面FGH，所以 BD平面 FGH.證法二：在三棱臺 DEFABC 中，由 BC2EF，H為BC的中點，可得 BHEF，BHEF.所以四邊形 HBEF 為平行四

9、邊形，可得 BEHF.在ABC 中，G，H 分別為 AC，BC 的中點，所以 GHAB.又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.因為 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)解：如圖 D50，連接HE.因為G，H 分別為AC，BC 的中點，所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC.圖 D50又 H 為 BC 的中點，所以 EFHC，EFHC.因此四邊形 EFCH 是平行四邊形.所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面 EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.【規(guī)律方法】證明兩個平面互相垂直，就是

10、證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，從而將面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題.2.如圖 855，在立體圖形 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中點，則下列結(jié)論正確的是()圖 855A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE【互動探究】解析：要判斷兩個平面的垂直關系，就需找一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面垂直.因為 ABCB，且 E 是AC 的中點，所以 BEAC，同理有 DEAC，于是AC平面 BDE.因為AC在平面 ABC 內(nèi)，所以平面 ABC平

11、面 BDE.又由于AC平面ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故選 C.答案：C考點 3 線面所成的角例3：如圖856，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角.圖 856解：如圖856，連接BC1，交B1C于點O，連接A1O，設正方體的棱長為 a.BC1平面A1B1CD.A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影.BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.【規(guī)律方法】求直線和平面所成的角時，應注意的問題是：先判斷直線和平面的位置關系；當直線和平面斜交時，常有以下步驟：作作出或找到斜線與平面所成的角；證論證所作或找到的角為所求的角；算常用解三角形的方法求角；結(jié)論

12、點明斜線和平面所成角的值.又BA1O為銳角，BA1O30.故A1B與平面A1B1CD所成的角為30.3.(2013年大綱)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于( )【互動探究】解析：如圖D51，連接AC交BD于點O，連接C1O，過點C作CHC1O于點H.圖 D51答案：A難點突破 立體幾何中的探究性問題二例題：已知四棱錐 PABCD 的直觀圖及三視圖如圖 857.圖 857(1)求四棱錐 PABCD 的體積；(2)若點 E 是側(cè)棱 PC 的中點，求證：PA 平面 BDE；(3)若點 E 是側(cè)棱 PC 上的動點，是否無論點 E 在什么位置，

13、都有 BDAE？并證明你的結(jié)論.思維點撥：(1)由直觀圖三視圖確定棱錐的底面和高，再求體積.(2)欲證PA 平面BDE，需找一個經(jīng)過PA 與平面BDE 相交的平面，結(jié)合 E 為 PC 的中點，AC 與BD 的交點為AC 的中點，故取平面 PAC.(3)“無論點 E 在 PC 上的什么位置，都有BDAE”的含義是 BD平面 PAC.(1)解：由四棱錐PABCD 的直觀圖和三視圖知，該四棱錐的底面是邊長為 1 的正方形，側(cè)棱PC底面ABCD，且PC2，(2)證明：如圖 858，連接AC，交BD于點 F，則 F 為 AC 的中點.又E 為 PC 的中點，PA EF.又PA平面 BDE，EF平面 BD

14、E，PA 平面BDE.圖 858(3)解：無論點 E 在什么位置，都有 BDAE.證明如下：四邊形 ABCD 是正方形，BDAC.PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，BDPC.又 ACPCC，BD平面 PAC.無論點 E 在 PC 上什么位置，都有 AE平面 PAC ，無論點 E 在 PC 上什么位置，都有 BDAE.1.證明線面垂直的方法.用線面垂直的定義：若一直線垂直于平面內(nèi)任一直線，這條直線垂直于該平面；用線面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，這條直線垂直于該平面；用線面垂直的性質(zhì)定理：若兩平行直線之一垂直于平面，則另一條直線也垂直于該平面；用面面垂直的性質(zhì)定理：

15、若兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面；如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么也垂直于另一個平面；如果兩個相交平面都和第三個平面垂直，那么相交平面的交線也垂直于第三個平面.2.判定面面垂直的方法.定義法：首先找二面角的平面角，然后證明其為直角；利用面面垂直的判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線.3.垂直于同一個平面的兩條直線平行，是判定兩條直線平行的又一重要方法，是實現(xiàn)空間中平行關系和垂直關系在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的一種手段.4.幾個常用的結(jié)論.(1)過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直；(2)過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直；(3)垂直于同一直線的兩個平面互相平行.5.空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開始轉(zhuǎn)向另一種垂直最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關系為在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決.