第55講坐標(biāo)系（練）解析版

第55講坐標(biāo)系【練基礎(chǔ)】1.在極坐標(biāo)系中，己知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（2, §）分，圓心c為直線妁1偵一§）=一寸571與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.【解析】在直線成血一§）=一壽中，令。=0得=2.所以圓C的圓心坐標(biāo)為C（2,0）.因?yàn)閳Ac經(jīng)過(guò)點(diǎn)屯司，所以圓 C 的半徑PQ=22+22-2X2X2Xcos=2,所以圓C的極坐標(biāo)方程為=4cos。2. 如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線C： p=4cos6,以極點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將曲線C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)§得到曲線C'.（1）求曲線C'的極坐標(biāo)方程；（2）求曲線C與曲線C'公共部分圍成圖形的面積.【解析】（1）設(shè)曲線C上的點(diǎn)（p,。）旋轉(zhuǎn)之后為，伊）,P'=，0' =。+§,p=p',即，71 代入曲線C: p=4cos 0,°* 一亍得曲線 C' : p' =4cos（伊一§,即曲線C'的極坐標(biāo)方程為u=4cos偵一§）.顯然四邊形0C' AC為菱形，/COC'=東易知曲線C, C'是半徑均為2的兩個(gè)圓，如圖，兩圓相交于點(diǎn)O, A,連接Q4,AC, 0C , AC ,故 NOC' A=y,所以曲線C與曲線C'公共部分的而積S=2S ”。必=2（s油g ASwc” a）=*2,.3. 設(shè)M, N分別是曲線,+2sin=0和psin偵+卒）=乎上的動(dòng)點(diǎn)，求M, N的最小距離.【解析】因?yàn)镸, N分別是曲線+2siM=0和psin（0+¥）=平上的動(dòng)點(diǎn)，即M, N分別是圓x2+2+2y=（）和直線x+y1=0上的動(dòng)點(diǎn),要求A/, N兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線x+y1=0上找一點(diǎn)到圓x210 1 11+)2+2)，=()的距離最小，即圓心(0, 1)到直線x+y- 1 =。的距離減去半徑，故最小值為I皿1-1 =2-1.4. 在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)M(p(), 0o)(o>O)在曲線C： p=4sin。上，直線/過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1) 當(dāng)為=?時(shí)，求o及/的極坐標(biāo)方程；(2) 當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)目.P在線段上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.【解析】(1)因?yàn)镸(p。，侃)在曲線C上，當(dāng)侃=§時(shí)，o=4sin§=2寸5.由已知得|OP|=|OA|co奇=2.設(shè)Q(，0)為/上除P外的任意一點(diǎn).連接 OQ,在 RtZkOPQ 中，pcos偵一§)=|0P|=2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2, §)在曲線pcos(。一=2上，所以/的極坐標(biāo)方程為pcos(Y)=2(2)設(shè) P", 8),在 RtAOAP 中，|OP|=|Q4|cos8=4cos。，即 p=4cos 0.因?yàn)镻在線段OM上，且所以9的取值范圍是J .所以P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p=4cos 6>,舛東，x=t,5. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程是伍ly=y3t“為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos20+sin2/? 2“sin一 3=0.(1) 求直線/的極坐標(biāo)方程；(2) 若直線/與曲線C相交于A, B兩點(diǎn),求"的長(zhǎng).【解析】(1)由；_，,得.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是東因此，直線/的極坐標(biāo)方程是8=§SGR).(2)把。=§代入曲線C的極坐標(biāo)方程p2cos2/9H-p2sin22psin3=0,得 p1疆p3=0,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得Pl+p2=J5, P1P2=3,b4B| = pi _2| =-/(p 1 +p2)2 4ppz=/(S)2 一4X(-3)=y5.6. 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為=4sin 0,將曲線G繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)號(hào)后得到曲線C2.(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程；(2)若直線/： =Q(pUR)與G，C2分別相交于異于極點(diǎn)的A, B兩點(diǎn),求|A8|的最大值.【解析】設(shè)C2上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為(p, 8),則(p, 9單兀)在G上，所以“=4sin(。一京)，故曲線G的極坐標(biāo)方程為“=4sin偵一§).(2)設(shè).A(pA, a), B(ps, a),則 AB=pApB=4sin «4sin(。-條)1= |6sin o+2,cos a|=4, | sin (u+削當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故仇劇的最大值為43.x=mmcosa,7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G： 'y=/7zsina(/>(),為參數(shù))，直線C2： )'=%以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1) 寫(xiě)出曲線G,直線C2的極坐標(biāo)方程；(2) 直線C3：。=等(pR),設(shè)曲線G與直線C2交于點(diǎn)。，A,曲線G與直線C3交于點(diǎn)O, B, Q4B的面積為饑仔，求實(shí)數(shù)，的值.【解析】(1)由題意消去曲線G的參數(shù)。，得曲線G的普通方程為。一?)2+)2=己.Lt=pcosO, y=/?sin。，.曲線G的極坐標(biāo)方程為=2mcos。直線C2的極坐標(biāo)方程為O=j(pR).由/=2mcos。,由'、p=2icos5,* S.oAB=f)A'i)n 'SvZ.AOB=(r3y即?炳也.寸msin§=63,解得戶=8.又z>0, .?=2皿.Jt* 2x8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由必+)2=1經(jīng)過(guò)伸縮變換Ly =y得到曲線G，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，A軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=4cos。(1) 求曲線G的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2) 若直線/的極坐標(biāo)方程為0=a(uR), /與曲線G，曲線G在第一象限分別交于P, Q兩點(diǎn)，且OP=P如點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1,烏)，求PMQ的面積.【解析】(1)由一氏得ly =y代入F+)，2=1得到曲線g的直南坐標(biāo)方程為土廠+y' 2=1,=3，=>'，V2即；+寸=1,又 x=cos 6, y=psin 8,4所以曲線G的極坐標(biāo)方程為P2=1+3sin26TC2： =4cos 號(hào),2=4cos。，又 x2+)2=p2, x=pcos 0,所以曲線.C2的直角坐標(biāo)方程為必+、，2=火，即(一2)2+尸=4.(O=a,(2)由4一 l+3sii)2伊0=a,由)解得 q=4coso.p=4cos 0,由于OP=PQ,所以 pq=2Pp,I 421故 4cos a=2、im思，角條得 sin%=§, cos%=§,”/4- 2a/3.4a/3所以 Pp=WTTE= 3，加=4cosa= 3 S*PQM= S-OQ。一 SaQPM=f|O0|OM|sin 任 _a)ToP|.|OM|sing_a)=；X (Q_p)sinG_a)=(PqPp)cqs a=3-【練提升】9. 在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)M(po,侃)3。>。)在曲線C： =4sin0上，直線/過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與0M垂直，垂足為P.,(l)當(dāng)先=$時(shí)，求o及/的極坐標(biāo)方程；，(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.【解析】因?yàn)镸(po,但)在曲線C上，所以當(dāng)仞)=§時(shí)，po=4sin§=2<§.,由已知得|OP|=|OA|cos§=2.，設(shè) Q(p, 0)為/上除 P 外的任意一點(diǎn).，在 RtAOPg 中，pcos(0_§)=|OP|=2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)朋，§在曲線cos(0§)=2上，所以，/的極坐標(biāo)方程為cos(e§)=2.(2)設(shè) P(，。)，在 RtAO4P 中，|OP| = |OA|cosO=4cosO,即 p=4cos。因?yàn)閼粼诰€段OM上，且AP1OM,所以。的取值范圍是值，.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為=4cos。，0E ?,奇.fx=/cos a,10. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線，的參數(shù)方程為 .ly=/sin a(f為參數(shù),0Wa<7T).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線E的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos 0 3=0,直線m與曲線瘁2于A, C兩點(diǎn).(1) 求曲線E的直角坐標(biāo)方程和直線m的極坐標(biāo)方程；(2) 過(guò)原點(diǎn)且與直線川垂直的直線與曲線E交于B,。兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值.【解析】(I)由p2=F+),2, pCOS 0=X,得曲線£的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+寸=4,直線m的極坐標(biāo)方程為6>=a(pER).(2)設(shè)點(diǎn)A, C的極坐標(biāo)分別為(i, a), (p2, a).9=a,p2+2pcos。一 3=0,得 p?+2pcos a3=0,Api+p2=2cosa, "ip2=_3,.|AC| = |pip?|=2 寸 cos%+3.同理得 | 位)| = 2Wsin%+3.5abcd=；| 人 CBD=2*/cos2a+3 -sin2a+3 cos2«+3+sin%+3 = 7,當(dāng)且僅當(dāng)cos2a+3=sin2a4-3,即a=4或手時(shí)，等號(hào)成立，.四邊形ABCD面積的最大值為7.x=acos(p,11. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線G： x+v-l=0,曲線C2：ly= 1 十 osin(9為參數(shù)，>0),以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.說(shuō)明C2是哪一種曲線，并將C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)曲線C3的極坐標(biāo)方程為。=做>0)，其中tan«0=2,何電，號(hào))，且曲線C3分別交G，C?于A，8兩點(diǎn).若|0捌=3|。4|+,求的值.消去參數(shù)9,Le=“coss【解析】由 一y= 1 +osiiw得C?的普通方程為x2+(j'1)2=«2.C2是以(0,1)為圓心，“為半徑的圓.x=pcos0, y=psin0,C2的極坐標(biāo)方程為(cos0)2 + (河皿一 1 )2 = /,即C2的極坐標(biāo)方程為p22sin0+1 。2=().曲線C3的極坐標(biāo)方程為0=向(>0), unoo=2,向(0,.曲線C3的直角坐標(biāo)方程為y=W>0), sinoo=亨.x+y1 =0,",解得.|0人|=孳.|OB|=3|OA|+0, :.OB=2y5.故點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(20,知)，代入 p22sin9+1 =0,得 a=y3.12. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為(X2)2+(v2)2= 1,直線C?的方程為y=WX.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線G和直線C2的極坐標(biāo)方程；若直線C2與曲線G交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)+焉.【解析】曲線G的普通方程為(x-2)2+(y-2)2=l,則C)的極坐標(biāo)方程為p2-4pcos 6>-4psin 9+7=0.由于直線C2過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為卓故其極坐標(biāo)方程為0=§(eR)."24cos 04sin 8+7=(),(2)由得 p2-(20+2“+7=O,設(shè)A, B對(duì)應(yīng)的極徑分別為仞，p2,則 pi+p2=2,+2, pip2=7,.11 _|CM|+|OB|_ 什 2_2皿 + 2TOAI十|O曠 OA-OB PIP2 7,13. 如圖，在極坐標(biāo)系。x中，A(2,0),此皿，務(wù)，皿，號(hào))。(2，丸)，弧疝，衣，Q)所在圓的圓心分別是(1,0),1, ；), (1,兀)，曲線"是孤天認(rèn)曲線也是弧及，曲線初是孤Q).分別寫(xiě)出M，M2,楊的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由助，尬，切構(gòu)成，若點(diǎn)P在爪上,目OP|=S，求P的極坐標(biāo).【解析】(1)由題設(shè)可得，弧無(wú)亂BC,汗)所在圓的極坐標(biāo)方程分別為=2cos仇p=2sin<9, p=-2cos 0,所以Mx的極坐標(biāo)方程為=2沖4。虧),的極坐標(biāo)方程為p=2sinM3的極坐標(biāo)方程為p=2cos Ww8Wtt).(2)設(shè)P(p, 0),由題設(shè)及(1)知：若 0W8W* 則 2cos0=J5,解得 0=%若芋，則 2sin=d§,解得 或=;若苛WOW兀，則一2cos=a/5,解得 =*曲線C2：板+于綜上，戶的極坐標(biāo)為卬，g)或值，§)或皿，亨或便，¥).14. 在直角坐標(biāo)系。)，中，曲線Ci： (x-l)2+/=l,=1.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線G, C?的極坐標(biāo)方程;(2)射線Z： 9=a(pN0)與曲線G，C2分別交于點(diǎn)A, B(且A, B均異于原點(diǎn)O),當(dāng)0"<號(hào)時(shí)，求OB2-OA2的最小值.【解析】(l)Ci的極坐標(biāo)方程為p=2cos仇QC2的極坐標(biāo)方程為2=邙布.(2)聯(lián)立O=a(pNO)與G的極坐標(biāo)方程得|OAF=4cos2q,O聯(lián)立=6t(p0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OH|2=+sin%，OQO則|。卯|0耶=曲擊4*%=兩舌4(1一血切=責(zé)+4(1+血該)8N 2l+sinvz><4（，+sin26t） - 8 = 8皿 - 8,當(dāng)且僅當(dāng)sina=J皿一 1時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)Bf-OA2的最小值為8寸58.