高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第三節(jié) 二項(xiàng)式定理課件 理

理數(shù)課標(biāo)版第三節(jié)二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理教材研讀教材研讀二項(xiàng)式定理(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù):(r=0,1,n)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=an-rbr,它表示第(r+1)項(xiàng)0nC1nCrnCnnCCrnCrn2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.已知展開式的第4項(xiàng)等于5,則x等于()A.B.-C.7D.-7答案答案 B由T4=x4=5得x=-,故選B.71xx171737C31x172.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,則a8=()A.180B.-180C.45D.-45答案答案A由題意得a8=22(-1)8=180,故選A.810C3.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A.240B.60C.192D.180答案答案 ATr+1=(2x)6-r=26-rx6-3r,令6-3r=0,解得r=2,常數(shù)項(xiàng)是24=24=240.6212xx6Cr21rx6Cr26C6 524.(2016天津,10,5分)的展開式中x7的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)答案答案-56解析解析Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系數(shù)為(-1)-3=-56.821xx8Cr8Cr38C5.在的展開式中,x2的系數(shù)是,各項(xiàng)系數(shù)之和為.(用數(shù)字作答)答案答案10;243解析解析 x2的系數(shù)為2=10;令x=1,得各項(xiàng)系數(shù)之和為(1+2)5=243.522xx15C考點(diǎn)一二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)和特定項(xiàng)的系數(shù)考點(diǎn)一二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)和特定項(xiàng)的系數(shù)考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)(2016山東,12,5分)若的展開式中x5的系數(shù)是-80,則實(shí)數(shù)a=;(2)若a=sinxdx,則二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)是;(3)的展開式中的有理項(xiàng)共有項(xiàng).答案答案(1)-2(2)-160(3)3解析解析(1)Tr+1=a5-r,令10-r=5,解之得r=2,所以a3=-80,解得a=-2.521axx061a xx8412xx5Cr5102rx5225C(2)a=sinxdx=(-cosx)=-cos+cos0=2,00二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(2)6-r=(-1)r26-rx3-r.令3-r=0,得r=3,故展開式中常數(shù)項(xiàng)為T4=(-1)326-3=-160.(3)的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=()8-r=(r=0,1,2,8),為使Tr+1為有理項(xiàng),r必須是4的整數(shù)倍,所以r=0,4,8,故共有3個(gè)有理項(xiàng),分別是T1=x4=x4,T5=x=x,T9=x-2=.612 xx6Crx1rx6Cr36C8412xx8Crx412rx12r8Cr16 34rx01208C41248C35881288C21256x易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示應(yīng)用通項(xiàng)公式要注意五點(diǎn):(1)Tr+1=an-rbr表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng),只要n與r確定,該項(xiàng)就隨之確定;(2)Tr+1是展開式中的第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng);(3)公式中a,b的指數(shù)和為n;(4)要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開,以便于解決問題;(5)關(guān)于二項(xiàng)式(a-b)n展開式的通項(xiàng)公式,要特別注意符號問題.1-1 (2014湖南,4,5分)的展開式中x2y3的系數(shù)是()A.-20B.-5C.5D.20答案答案 A展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(-2y)k=(-1)k22k-5x5-kyk,令5-k=2,得k=3.Crn5122xy5Ck512kx5Ck則展開式中x2y3的系數(shù)為(-1)3223-5=-20,故選A.35C1-2在的展開式中,若常數(shù)項(xiàng)為60,則n等于()A.3B.6C.9D.12答案答案 B通項(xiàng)Tr+1=()n-r=2r.令=0,得r=,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.若n=3,則=660,排除A,同理,將n=6,9,12代入一一驗(yàn)證,得n=6.故選B.2nxxCrnx2rxCrn32nrx32nr3n32n3Cnn32n3Cnn33213C1-3(2016廣東廣州模擬)在的展開式中,x的非負(fù)整數(shù)次冪的個(gè)數(shù)為.答案答案2解析解析展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r()15-r=(-1)r2r(r=0,1,15),由題意知5-r為非負(fù)整數(shù),解得r=0或6,符合要求的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為2.1532xx15Cr3x2rx15Cr556rx56考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的問題與各項(xiàng)系數(shù)和的問題考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的問題與各項(xiàng)系數(shù)和的問題典例典例2(1)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5B.6C.7D.8(2)若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則a1+a2+a3+a4=.答案答案(1)B(2)0解析解析(1)由題意得a=,b=,則13=7,=,=13,解得m=6,經(jīng)檢驗(yàn)m=6為原方程的解,故選B.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1;令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.2Cmm21Cmm2Cmm21Cmm13 (2 )!mm m7 (21)! (1)!mmm7(21)1mm規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)對形如(ax+b)n(a,bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可.(2)對形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(3)一般地,對于多項(xiàng)式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為g(1),(a+bx)n展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)+g(-1),(a+bx)n展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)-g(-1).1212變式變式2-1在本例(2)的條件下,求a0+a2+a4的值.解析解析在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=81,+并化簡,得a0+a2+a4=41.變式變式2-2在本例(2)的條件下,求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值.解析解析利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知a1,a30.在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=0,得a0=1.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=(1+2)4=81.|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=80.變式變式2-3在本例(2)的條件下,求+的值.12a222a332a442a解析解析在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=,則左邊=0=右邊=a0+.令x=0,得a0=1,+=-1.1212a222a332a442a12a222a332a442a考點(diǎn)三多項(xiàng)式的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題考點(diǎn)三多項(xiàng)式的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題命題角度一幾個(gè)二項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題命題角度一幾個(gè)二項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題典例典例3+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.32B.34C.36D.38答案答案 D432xx81xx解析解析 的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(x3)4-k=(-2)kx12-4k,令12-4k=0,解得k=3,的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x8-r=x8-2r,令8-2r=0,得r=4,所以所求展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-2)3+=38.432xx4Ck2kx4Ck81xx8Cr1rx8Cr34C48C命題角度二幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題命題角度二幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題典例典例4(1)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=()A.-4B.-3C.-2D.-1(2)(2015課標(biāo),15,5分)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=.答案答案(1)D(2)3解析解析(1)由二項(xiàng)式定理得(1+x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=xr,所以當(dāng)r=2時(shí),(1+ax)(1+x)5的展開式中相應(yīng)x2的系數(shù)為,當(dāng)r=1時(shí),(1+ax)(1+x)5的展開式中相應(yīng)x2的系數(shù)為a,所以+a=5,即a=-1,故選D.5Cr25C15C25C15C(2)設(shè)f(x)=(a+x)(1+x)4,則其展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為f(1)-f(-1),12又f(-1)=0,(a+1)16=32,a=3.12命題角度三三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)系數(shù)問題命題角度三三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)系數(shù)問題典例典例5(1)(2015課標(biāo),10,5分)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60(2)(1-x-5y)5的展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)和為(結(jié)果化成最簡形式).答案答案(1)C(2)-1024解析解析(1)(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展開式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系數(shù)為=30,故選C.25C25C13C(2)(1-x-5y)5的展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)和等于(1-5y)5的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和,在(1-5y)5中,令y=1,得其展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為(-4)5=-1024,所以(1-x-5y)5的展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)和為-1024.規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)對于幾個(gè)二項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題,只需依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),從相應(yīng)各項(xiàng)中分別得到所含的特定項(xiàng)的系數(shù),再求和即可.(2)對于幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題,一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合思想求解,但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法,以免重復(fù)或遺漏.(3)對于三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)問題,可通過配方或適當(dāng)分組,轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式問題求解.3-1在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74B.121C.-74D.-121答案答案D展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.35C36C37C38C3-2如果(1+x+x2)(x-a)5(a為實(shí)常數(shù))的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,則展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為.答案答案-5解析解析(1+x+x2)(x-a)5的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1+1+12)(1-a)5=0,a=1.(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為(-1)3-(-1)0=-5.34C04C3-3(x2-x+1)10的展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為.答案答案-210解析解析由題意,(x2-x+1)10=x(x-1)+110=x(x-1)0110+x(x-1)119+x(x-1)218+x(x-1)317+x(x-1)1010=+x(x-1)+x2(x-1)2+x3(x-1)3+x10(x-1)10,010C110C210C310C1010C010C110C210C310C1010C因?yàn)閤3出現(xiàn)在x2(x-1)2+x3(x-1)3=x2(x2-2x+1)+x3(x3-3x2+3x-1)中,所以x3的系數(shù)為(-2)+(-1)=-90-120=-210.210C310C210C310C210C310C