高中數(shù)學(xué)課件_第三章_第3節(jié)_《三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)》

1.能畫出能畫出ysinx，ycosx，ytanx的圖象，了解的圖象，了解三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間理解正切函數(shù)在區(qū)間(，)內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.1.周期函數(shù)周期函數(shù)(1)周期函數(shù)定義周期函數(shù)定義對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x取定義取定義域內(nèi)的每一個值時，都有域內(nèi)的每一個值時，都有，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(x)就就叫周期函數(shù)叫周期函數(shù).T叫做這個函數(shù)的周期叫做這個函數(shù)的周期(2)最小正周期定義最小正周期定義如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小正數(shù)，的所有周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個那么這個就叫做就叫做f(x)的的f(xT)f(x)最小正數(shù)最小正數(shù)最小正周期最小正周期思考探究思考探究1如果函數(shù)如果函數(shù)yf(x)的周期是的周期是T，那么函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)的周期的周期是多少？是多少？提示：提示：函數(shù)函數(shù)yf(x)的周期是的周期是.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)函數(shù)ysinxycosxytanx圖圖象象x|x 2k，kZ函函數(shù)數(shù)ysinxycosxytanx定定義義域域值值域域RRy|1 y 1 y|1 y 1R 2k， 函函數(shù)數(shù)ysinxycosxytanx單單調(diào)調(diào)性性最最值值無最值無最值( 上遞增，上遞增，kZ；上遞減，上遞減，kZ上遞增，上遞增，Z；上遞減，上遞減，kZ上遞增上遞增kZx時，時，ymax1(kZ)；x時，時，ymin1(kZ)x時時，ymax1(kZ)；X時，時，ymin1(kZ)K，+K)2k 2k， 2k(2k1)，2k2k，(2k1)2k-2k2k2k函數(shù)函數(shù)ysinxycosxytanx奇偶奇偶性性對稱對稱性性對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心對稱軸對稱軸l：對稱軸對稱軸l：周期周期性性奇奇偶偶奇奇(k，0)，kZ(k,0)kZ(，0)，kZ22xk ，kZ無無xk，kZ思考探究思考探究2正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象的對稱軸以及對稱中心正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象的對稱軸以及對稱中心與函數(shù)圖象的關(guān)鍵點有什么關(guān)系？與函數(shù)圖象的關(guān)鍵點有什么關(guān)系？提示：提示：ysinx與與ycosx的對稱軸方程中的的對稱軸方程中的x都是它們?nèi)〉枚际撬鼈內(nèi)〉米畲笾祷蜃钚≈禃r相應(yīng)的最大值或最小值時相應(yīng)的x，對稱中心的橫坐標(biāo)都是它們，對稱中心的橫坐標(biāo)都是它們的零點的零點.1.函數(shù)函數(shù)ysin(x)(0)是是R上的偶函數(shù)，則上的偶函數(shù)，則等于等于()A.0B.C.D.解析：解析：要使函數(shù)要使函數(shù)ysin(x )為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則k.答案：答案：C2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)，xR，則，則f(x)是是()A.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)B.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)C.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)D.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)解析：解析：f(x)sin(2x)cos2x函數(shù)函數(shù)f(x)的周期為的周期為，且為偶函數(shù)，且為偶函數(shù).答案：答案：B3.函數(shù)函數(shù)ysin(2x)的圖象的圖象()A.關(guān)于點關(guān)于點(,0)對稱對稱B.關(guān)于直線關(guān)于直線x對稱對稱C.關(guān)于點關(guān)于點(,0)對稱對稱D.關(guān)于直線關(guān)于直線x對稱對稱解析：解析：當(dāng)當(dāng)x時，時，ysin0，當(dāng)當(dāng)x時時ysin()cos，函數(shù)函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于(,0)對稱對稱.答案：答案：A4.y23cos(x)的最大值為的最大值為.此時此時x.解析：解析：當(dāng)當(dāng)cos(x)1時，函數(shù)時，函數(shù)y23cos(x)取得最大值取得最大值5，此時，此時x2k，而，而x2k，kZ.答案：答案：52k，kZ5.函數(shù)函數(shù)ysin(x)，x(0，的值域是的值域是.解析：解析：答案：答案：求三角函數(shù)的定義域時，轉(zhuǎn)化為三角不等式求三角函數(shù)的定義域時，轉(zhuǎn)化為三角不等式(組組)求解，求解，常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時可以利常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時可以利用單位圓，對于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)用單位圓，對于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可倍即可.1.用三角函數(shù)線解用三角函數(shù)線解sinxa(cosxa)的方法的方法(1)找出使找出使sinxa(cosxa)的兩個的兩個x值的終邊所在位置值的終邊所在位置.(2)根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集.2.用三角函數(shù)的圖象解用三角函數(shù)的圖象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法的方法.(1)作直線作直線ya，在三角函數(shù)的圖象上找出一個周期內(nèi)，在三角函數(shù)的圖象上找出一個周期內(nèi)(不不一定是一定是0,2)在直線在直線ya上方的圖象上方的圖象.(2)確定確定sinxa(cosxa，tanxa)的的x值，寫出解集值，寫出解集.求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的定義域：思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)要使原函數(shù)有意義，必須要使原函數(shù)有意義，必須有：有：由圖知，原函數(shù)的定義域為：由圖知，原函數(shù)的定義域為：(2)要使函數(shù)有意義，要使函數(shù)有意義，則則得得函數(shù)定義域是函數(shù)定義域是x|0 x或或x4.如何求函數(shù)如何求函數(shù)ylg(sinxcosx)的定義域？的定義域？解：解：要使函數(shù)有意義，必須使要使函數(shù)有意義，必須使sinxcosx0.利用圖象利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上上ysinx和和ycosx的圖象，如圖所示的圖象，如圖所示.在在0,2內(nèi)，滿足內(nèi)，滿足sinxcosx的的x為為再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域為，所以定義域為x|2kx2k，kZ.1.形如形如yAsin(x)(A0，0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把基本思路是把x看作一個整體，由看作一個整體，由2kx 2k(kZ)求得函數(shù)的增區(qū)間，由求得函數(shù)的增區(qū)間，由2kx2k(kZ)求得函數(shù)的減區(qū)間求得函數(shù)的減區(qū)間.2.形如形如yAsin(x)(A0，0)的函數(shù)，可先利用的函數(shù)，可先利用誘導(dǎo)公式把誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)Asin(x)，由由2kx2k(kZ)得到函數(shù)的減得到函數(shù)的減區(qū)區(qū)間，由間，由2kx2k(kZ)得到函數(shù)得到函數(shù)的增區(qū)間的增區(qū)間.3.對于對于yAtan(x)(A、為常數(shù)為常數(shù))，其周期，其周期T，單調(diào)區(qū)間利用單調(diào)區(qū)間利用x(k，k)(kZ)，解出，解出x 的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.特別警示特別警示求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要注意求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要注意A和和的符號的符號.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)log2(2x).(1)求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的定義域；(2)求滿足求滿足f(x)0的的x的取值范圍；的取值范圍；(3)求函數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)令令sin(2x)0sin(2x)02k2x2k，kZkxk,kZ.故函數(shù)的定義域為故函數(shù)的定義域為(k，k)，kZ.(2)f(x)0，sin(2x)2x2k或或2k，kZxk或或xk，kZ，故故x的取值范圍是的取值范圍是x|xk或或xk，kZ.(3)令令2k2x2k，kZ2k2x2k，kZkx0)，yf(x)的圖象與直線的圖象與直線y2的兩個相鄰交點的距離等于的兩個相鄰交點的距離等于，則，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.k，k，kZB.k，k，kZC.k，k，kZD.k，k，kZ【解析解析】f(x)sinxcosx2sin(x)(0).f(x)圖象與直線圖象與直線y2的兩個相鄰交點的距離等于的兩個相鄰交點的距離等于，恰好，恰好是是f(x)的一個周期，的一個周期，2.f(x)2sin(2x).故其單調(diào)增區(qū)間應(yīng)滿足故其單調(diào)增區(qū)間應(yīng)滿足2k2x2k (kZ).kxk(kZ).【答案答案】C自主體驗自主體驗使奇函數(shù)使奇函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x )在在,0上為減函數(shù)的上為減函數(shù)的的值為的值為()A.B.C.D.解析：解析：f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，f(0)sincos0.tan，k，kZ，f(x)2sin2x，在在,0上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，f(x)2sin2x，.答案：答案：D1.(2009廣東高考廣東高考)函數(shù)函數(shù)y2cos2(x)1是是()A.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)B.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)C.最小正周期為最小正周期為的奇函數(shù)的奇函數(shù)D.最小正周期為最小正周期為的偶函數(shù)的偶函數(shù)解析：解析：y2cos2(x)1cos(2x)sin2xT，且為奇函數(shù)，且為奇函數(shù).答案：答案：A2.(2009全國卷全國卷)如果函數(shù)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點的圖象關(guān)于點(,0)中心對稱，那么中心對稱，那么| |的最小值為的最小值為()A. B.C.D.解析：解析：由題意得由題意得3cos(2)3cos(2)3cos()0，cos()0，k，k，取取k0，得，得|的最小值為的最小值為.答案：答案：A3.若函數(shù)若函數(shù)y2cosx在區(qū)間在區(qū)間0，上遞減，且有最小值上遞減，且有最小值1，則則的值可以是的值可以是()A.2B.C.3D.解析：解析：由由y2cosx在在0，上是遞減的，且有最小上是遞減的，且有最小值為值為1，則有：，則有：f()1，即，即2cos()1cos，.答案：答案：B4.函數(shù)函數(shù)f(x)sin2xsinxa，若對，若對xR,1f(x)恒成恒成立，則立，則a的取值范圍為的取值范圍為.由題意知由題意知3a4.解析：解析：f(x)sin2xsinxaaa，t1,1.t1時，時，f(x)mina2；t時，時，f(x)maxa.答案：答案：3a45.(文文)對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)給出下列四個給出下列四個命題：命題：該函數(shù)是以該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；為最小正周期的周期函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)xk(kZ)時，該函數(shù)取得最小值是時，該函數(shù)取得最小值是1；該函數(shù)的圖象關(guān)于該函數(shù)的圖象關(guān)于x2k(kZ)對稱；對稱；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2kx2k(kZ)時，時，0f(x).其中正確命題的序號是其中正確命題的序號是(請將所有正確命題的請將所有正確命題的序號都填上序號都填上).解析：解析：畫出函數(shù)畫出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象易知正確的圖象，由圖象易知正確.答案：答案：(理理)(2009上海高考上海高考)當(dāng)當(dāng)0 x1時，不等式時，不等式sinkx成立，則成立，則實數(shù)實數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是.解析：解析：0 x1時，時，ysin的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，ykx的圖象在的圖象在0,1之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，當(dāng)當(dāng)k0時，時，ykx在在0,1上的圖象恒在上的圖象恒在x軸下方，原不等式軸下方，原不等式成立成立.當(dāng)當(dāng)k0，kxsin時，在時，在x0,1上恒成立，上恒成立，k1即可即可.故故k1時，時，x0,1上恒有上恒有sinkx.答案：答案：k16.(文文)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2asin(2x)b的定義域為的定義域為0，函數(shù)的最大值為函數(shù)的最大值為1，最小值為，最小值為5，求，求a和和b的值的值.若若a0，則，則，解得解得.綜上可知，綜上可知，a126，b2312或或a126，b1912.解：解：0 x，2x，sin(2x)1，若若a0，則，則，解得，解得；(理理)已知已知a0，函數(shù)，函數(shù)f(x)2asin(2x)2ab，當(dāng)，當(dāng)x0，時，時，5f(x)1.(1)求常數(shù)求常數(shù)a，b的值；的值；(2)求求f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解：解：(1)x0，又又a0，5f(x)1，即即(2)f(x)4sin(2x)1，由，由2k2x2k得得kxkx，kZ，由由2k2x2k得得kxk，kZ，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為k，k(kZ).