高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第八章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課件 文

第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.1.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系（1 1）三種位置關(guān)系：）三種位置關(guān)系：_、_、_._.(2)(2)兩種研究方法：兩種研究方法：相交相交相切相切相離相離相交相交相切相切相離相離l= =2.2.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓設(shè)圓C C1 1:(x-a:(x-a1 1) )2 2+(y-b+(y-b1 1) )2 2=r=r1 12 2 (r (r1 10),0),圓圓C C2 2:(x-a:(x-a2 2) )2 2+(y-b+(y-b2 2) )2 2=r=r2 22 2(r(r2 20).0).相交相交相切相切相離相離222 rd 方法方法位置關(guān)系位置關(guān)系幾何法幾何法: :圓心距圓心距d=|Cd=|C1 1C C2 2| |與與r r1 1,r,r2 2的關(guān)系的關(guān)系相離相離_外切外切_相交相交_內(nèi)切內(nèi)切d=|rd=|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2) )內(nèi)含內(nèi)含0d0d|r|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2) )d dr r1 1+r+r2 2d=rd=r1 1+r+r2 2|r|r1 1-r-r2 2| |d dr r1 1+r+r2 2判斷下面結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写蚺袛嘞旅娼Y(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被蚧颉啊保? .(1)“k=1”(1)“k=1”是是“直線直線x-y+kx-y+k=0=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的必要不充分條的必要不充分條件件.( ).( )(2)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.( ).( )(3)(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程公共弦所在的直線方程.( ).( )(4)(4)過圓過圓O O：x x2 2+y+y2 2=r=r2 2外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P（x x0 0,y,y0 0) )作圓的兩條切線，切點(diǎn)為作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A A，B B，則，則O,P,A,BO,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線四點(diǎn)共圓且直線ABAB的方程是的方程是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.( ).( )【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .當(dāng)當(dāng)k=1k=1時(shí)，圓心到直線的距離時(shí)，圓心到直線的距離 此時(shí)直線與圓相交；若直線與圓相交，則此時(shí)直線與圓相交；若直線與圓相交，則 解得解得 所以，所以，“k=1”k=1”是是“直線直線x-yx-y + +k=0k=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的充分不必要條件，而非必要不充分條件的充分不必要條件，而非必要不充分條件. .（2 2）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .因?yàn)槌∮趦砂霃胶瓦€需大于兩半徑差的絕對值，否因?yàn)槌∮趦砂霃胶瓦€需大于兩半徑差的絕對值，否則可能內(nèi)切或內(nèi)含則可能內(nèi)切或內(nèi)含. .（3 3）錯(cuò)誤）錯(cuò)誤. .只有當(dāng)兩圓相交時(shí)，方程才是公共弦所在的直線方程只有當(dāng)兩圓相交時(shí)，方程才是公共弦所在的直線方程. .221d11 22k111 ，2k2.21r2 ，（4 4）正確）正確. .由已知可得由已知可得O O，P P，A A，B B四點(diǎn)共圓，其方程為四點(diǎn)共圓，其方程為 即即x x2 2+y+y2 2-x-x0 0 x-yx-y0 0y=0, y=0, 又圓又圓O O方程：方程：x x2 2+y+y2 2=r=r2 2, , - -得得:x:x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2, ,而兩圓相交于而兩圓相交于A,BA,B兩點(diǎn)，故直線兩點(diǎn)，故直線ABAB的方程的方程是是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)22220000 xyxyx)(y)()() ,2222（1.1.圓（圓（x-1)x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=6=6與直線與直線2x+y-5=02x+y-5=0的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( )( )(A)(A)相切相切 (B)(B)相交但直線不過圓心相交但直線不過圓心(C)(C)相交過圓心相交過圓心 (D)(D)相離相離【解析【解析】選選B.B.由題意知圓心（由題意知圓心（1 1，-2-2）到直線）到直線2x+y-5=02x+y-5=0的距離的距離 且且2 21+(-2)-50,1+(-2)-50,因此該直線與圓因此該直線與圓相交但不過圓心相交但不過圓心. .22 125d56.21 2.2.已知圓已知圓O O1 1:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=4,O=4,O2 2:(x-a-1):(x-a-1)2 2+(y-b-2)+(y-b-2)2 2 =1 =1 (a,bR(a,bR) )，那么兩圓的位置關(guān)系是，那么兩圓的位置關(guān)系是( )( )(A)(A)內(nèi)含內(nèi)含 (B)(B)內(nèi)切內(nèi)切 (C)(C)相交相交 (D)(D)外切外切【解析【解析】選選C.C.由已知由已知O O1 1(a,b),r(a,b),r1 1=2;=2;O O2 2(a+1,b+2),r(a+1,b+2),r2 2=1.|O=1.|O1 1O O2 2|=|=1=r1=r1 1-r-r2 2 3=r3=r1 1+r+r2 2,兩圓相交兩圓相交. .22125,53.3.圓圓x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0在點(diǎn)在點(diǎn)P P（ ）處的切線方程為）處的切線方程為( )( )【解析解析】選選D.D.圓的方程可化為（圓的方程可化為（x-2)x-2)2 2+y+y2 2=4=4，圓心坐標(biāo)為，圓心坐標(biāo)為（2 2，0 0），半徑為），半徑為2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P在圓上，設(shè)切線方程為在圓上，設(shè)切線方程為切線方程為切線方程為13， A x3y20B x3y40C x3y40D x3y20 y3k x1 ,kxyk30,即22kk332,k.3k1解得x3y20.4.4.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M M（x x0 0,y,y0 0) )是圓是圓x x2 2+y+y2 2=r=r2 2（r0)r0)內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線直線x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2與此圓的位置關(guān)系是與此圓的位置關(guān)系是_._.【解析【解析】因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)M(xM(x0 0,y,y0 0) )是圓是圓x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)內(nèi)的一點(diǎn)，所以內(nèi)的一點(diǎn)，所以x x0 02 2+y+y0 02 2rr2 2，圓心到直線，圓心到直線x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2的距離的距離 所以直線與圓相離所以直線與圓相離. .答案：答案：相離相離222200rrdrrxy，5.5.若直線若直線3x+4y+m=03x+4y+m=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2-2x+4y+4=0-2x+4y+4=0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m m的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】將圓將圓x x2 2+y+y2 2-2x+4y+4=0-2x+4y+4=0化為（化為（x-1)x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1,=1,圓心坐標(biāo)為（圓心坐標(biāo)為（1 1，-2-2），半徑為），半徑為1.1.若直線與圓無公共點(diǎn)，則有若直線與圓無公共點(diǎn)，則有m0m10.m10.答案：答案：(-,0)(10,+)(-,0)(10,+) 223 142mm5d1,534 考向考向 1 1 利用利用“幾何法幾何法”研究直線與圓的位置關(guān)系研究直線與圓的位置關(guān)系【典例【典例1 1】(1)(2012(1)(2012安徽高考）若直線安徽高考）若直線x-y+1=0 x-y+1=0與圓與圓C C：（x-ax-a）2 2+y+y2 2 =2 =2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)(A)-3-3，-1-1(B)(B)-1,3-1,3(C)(C)-3,1-3,1(D)(-,-3(D)(-,-31,+)1,+)（2 2）（）（20122012福建高考）直線福建高考）直線 與圓與圓O O：x x2 2+y+y2 2=4=4相交于相交于A A，B B兩點(diǎn)，則弦兩點(diǎn)，則弦ABAB的長度等于的長度等于( )( )(3)(3)（20122012天津高考）設(shè)天津高考）設(shè)m,nRm,nR, ,若直線若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓與圓(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1相切，則相切，則m+nm+n的取值范圍是的取值范圍是( )( )x3y20A 2 5B 2 3C3D 1（ ） （ ） （ ） （ ）A1313B,1313,)C22 2,22 2 D (,22 222 2,)（ ） ，（ ）（ （ ） （ ） 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用幾何法利用幾何法. .根據(jù)圓心到直線的距離不大于根據(jù)圓心到直線的距離不大于半徑構(gòu)建不等式求解半徑構(gòu)建不等式求解. .(2)(2)利用幾何法，根據(jù)弦長利用幾何法，根據(jù)弦長 求解求解. .(3)(3)先根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，得到先根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，得到m,nm,n的等量關(guān)的等量關(guān)系，再利用基本不等式求解系，再利用基本不等式求解. .222 rdl【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.圓圓(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=2=2的圓心的圓心C(a,0)C(a,0)到直線到直線x-y+1=0 x-y+1=0的距離為的距離為d,d,則則-3a1.-3a1.（2 2）選）選B.B.圓圓x x2 2+y+y2 2=4=4的圓心的圓心O O（0 0，0 0）到直線）到直線的距離的距離又圓的半徑為又圓的半徑為r=2.r=2.a1dr2,2a122即，x3y20220302d1,1( 3) 2222AB2 rd2 212 3.(3)(3)選選D.D.因?yàn)橹本€與圓相切，所以因?yàn)橹本€與圓相切，所以d=rd=r，令令m+nm+n=t=t，則，則t t2 2-4t-40-4t-40tt22mnmnmn() ,mn1,24 22m1n121mnmn1,m1n1 即,22 2 22 2,.（）【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】過點(diǎn)過點(diǎn)P P（2 2，4 4）引本例題（）引本例題（3 3）中圓的切線，則切）中圓的切線，則切線方程如何？線方程如何？【解析【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2x=2，此時(shí)，圓，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=k(x-2),y-4=k(x-2),即即kx-y+4-kx-y+4-2k=02k=0，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，圓心到直線的距離等于半，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，圓心到直線的距離等于半徑，即徑，即 解得解得 所以所求切線所以所求切線方程為方程為 即即4x-3y+4=0.4x-3y+4=0.所以切線方程為所以切線方程為x=2x=2或或4x-3y+4=0.4x-3y+4=0.222k142k3kd1,k1k1 （）4k3，44xy42033 ，【拓展提升【拓展提升】1.1.幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系的流程幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系的流程【提醒【提醒】如果能判斷直線過定點(diǎn)，則可由定點(diǎn)到圓心的距離如果能判斷直線過定點(diǎn)，則可由定點(diǎn)到圓心的距離（即點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外）判斷直線與圓的位置關(guān)系（即點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外）判斷直線與圓的位置關(guān)系. .2.2.求過一點(diǎn)且與圓相切的切線方程的方法及步驟求過一點(diǎn)且與圓相切的切線方程的方法及步驟（1 1）方法：待定系數(shù)法）方法：待定系數(shù)法. .（2 2）步驟：）步驟：判斷點(diǎn)是否在圓上，若在圓上，則有且只有一判斷點(diǎn)是否在圓上，若在圓上，則有且只有一條切線；若在圓外，則有且只有兩條切線；條切線；若在圓外，則有且只有兩條切線；設(shè)切線方程（一般設(shè)點(diǎn)斜式方程）；設(shè)切線方程（一般設(shè)點(diǎn)斜式方程）；利用圓心到直線的距離等于半徑，求待定系數(shù)值；利用圓心到直線的距離等于半徑，求待定系數(shù)值；得切線方程得切線方程. .【提醒【提醒】若利用點(diǎn)斜式方程求得過圓外一點(diǎn)的切線只有一條，若利用點(diǎn)斜式方程求得過圓外一點(diǎn)的切線只有一條，則需結(jié)合圖形把斜率不存在的那條切線補(bǔ)上則需結(jié)合圖形把斜率不存在的那條切線補(bǔ)上. .【變式備選【變式備選】已知直線已知直線l:y:y=kx+1,=kx+1,圓圓C C：（：（x-1)x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=12.=12.(1)(1)試證明：不論試證明：不論k k為何實(shí)數(shù)，直線為何實(shí)數(shù)，直線l和圓和圓C C總有兩個(gè)交點(diǎn)總有兩個(gè)交點(diǎn). .(2)(2)求直線求直線l被圓被圓C C截得的最短弦長截得的最短弦長. .【解析【解析】（1 1）因?yàn)椴徽摚┮驗(yàn)椴徽搆 k為何實(shí)數(shù)，直線為何實(shí)數(shù)，直線l總過點(diǎn)總過點(diǎn)A A（0 0，1 1），），而而 所以點(diǎn)所以點(diǎn)A A（0 0，1 1）在圓）在圓C C的內(nèi)部，即不論的內(nèi)部，即不論k k為何實(shí)數(shù)，直線為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過圓總經(jīng)過圓C C內(nèi)部的定點(diǎn)內(nèi)部的定點(diǎn)A.A.所以不論所以不論k k為何實(shí)數(shù)，為何實(shí)數(shù)，直線直線l和圓和圓C C總有兩個(gè)交點(diǎn)總有兩個(gè)交點(diǎn). .（2 2）由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點(diǎn)）由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點(diǎn)A A（0 0，1 1）的弦，只有和）的弦，只有和ACAC垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)A A（0 0，1 1）為弦的中點(diǎn)，由勾股定）為弦的中點(diǎn)，由勾股定理，知弦長為理，知弦長為 即直線即直線l被圓被圓C C截得的最短弦長為截得的最短弦長為AC52 3R,2 1252 7，2 7.考向考向 2 2 利用利用“代數(shù)法代數(shù)法”研究直線與圓的位置關(guān)系研究直線與圓的位置關(guān)系【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013上饒模擬）已知圓上饒模擬）已知圓M M：（：（x+cos)x+cos)2 2+(y-sin )+(y-sin )2 2=1=1，直線，直線l:y=kx:y=kx, ,下面四個(gè)命題中的真命題為下面四個(gè)命題中的真命題為( )( )（A A）對任意實(shí)數(shù)）對任意實(shí)數(shù)k k與與，直線，直線l和圓和圓M M相切相切（B B）對任意實(shí)數(shù)）對任意實(shí)數(shù)k k與與，直線，直線l和圓和圓M M都沒有公共點(diǎn)都沒有公共點(diǎn)（C C）對任意實(shí)數(shù)）對任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)k,k,使得直線使得直線l和圓和圓M M相切相切（D D）對任意實(shí)數(shù)）對任意實(shí)數(shù)k,k,必存在實(shí)數(shù)必存在實(shí)數(shù)，使得直線，使得直線l和圓和圓M M相切相切（2 2）（）（20132013鹽城模擬）在平面直角坐標(biāo)系鹽城模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，已知圓中，已知圓x x2 2+y+y2 2-12x+32=0-12x+32=0的圓心為的圓心為Q Q，過點(diǎn)，過點(diǎn)P P（0 0，2 2）且斜率為）且斜率為k k的直線與的直線與圓圓Q Q相交于不同的兩點(diǎn)相交于不同的兩點(diǎn)A A，B.B.求求k k的取值范圍；的取值范圍；以以O(shè)AOA，OBOB為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形OADBOADB，是否存在常數(shù)，是否存在常數(shù)k k，使得，使得直線直線ODOD與與PQPQ平行？如果存在，求平行？如果存在，求k k值；如果不存在，請說明理值；如果不存在，請說明理由由. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)將圓的方程與直線方程聯(lián)立，求得方程組的將圓的方程與直線方程聯(lián)立，求得方程組的解，再逐個(gè)驗(yàn)證其真假解，再逐個(gè)驗(yàn)證其真假. .(2)(2)將過點(diǎn)將過點(diǎn)P P（0 0，2 2）的直線方程與圓）的直線方程與圓Q Q的方程聯(lián)立消去的方程聯(lián)立消去y y，得，得關(guān)于關(guān)于x x的一元二次方程，利用其判別式大于的一元二次方程，利用其判別式大于0 0構(gòu)建關(guān)于構(gòu)建關(guān)于k k的不等的不等式求解式求解. .假設(shè)存在，利用假設(shè)存在，利用 共線，構(gòu)建關(guān)于共線，構(gòu)建關(guān)于k k的方的方程求解程求解. .但需驗(yàn)證但需驗(yàn)證k k的值是否在的值是否在中范圍內(nèi)中范圍內(nèi). .ODOAOBPQ 與【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.圓的方程是圓的方程是x x2 2+y+y2 2+2xcos -2ysin =0,+2xcos -2ysin =0,將將y=kxy=kx代入，得代入，得(1+k(1+k2 2)x)x2 2+2(cos -ksin )x+2(cos -ksin )x=0,=0,解得解得 因此對任意實(shí)數(shù)因此對任意實(shí)數(shù)k,k,，直線，直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)（與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)（0 0，0 0），選項(xiàng)），選項(xiàng)B B不正確不正確; ;只要只要x x2 200，直線與圓就存在兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓就存在兩個(gè)公共點(diǎn)，即只要即只要ksin -cosksin -cos 0 0即可，即可，根據(jù)根據(jù)k,k,的任意性，知選項(xiàng)的任意性，知選項(xiàng)A A不正確；不正確；又當(dāng)又當(dāng)x x2 2=0,=0,即即ksin =cosksin =cos 時(shí)，若時(shí)，若=k=k1 1(k(k1 1Z),Z),1222 ksin cos x0,x,1k此時(shí)此時(shí)sin =0,cos =sin =0,cos =1,1,就不存在實(shí)數(shù)就不存在實(shí)數(shù)k k使得等式使得等式cos =ksincos =ksin 成立，故選項(xiàng)成立，故選項(xiàng)C C不正確不正確, ,反之，對任意實(shí)數(shù)反之，對任意實(shí)數(shù)k,k,當(dāng)當(dāng)k=0k=0時(shí)，只要時(shí)，只要當(dāng)當(dāng)k0k0時(shí)，只要時(shí)，只要滿足滿足 即可即可, ,故選項(xiàng)故選項(xiàng)D D正確正確. .故選故選D.D.（2 2）圓的方程可寫成（圓的方程可寫成（x-6)x-6)2 2+y+y2 2=4,=4,所以圓心為所以圓心為Q Q（6 6，0 0），過），過P P（0 0，2 2）且斜率為）且斜率為k k的直線方程為的直線方程為y=kx+2,y=kx+2,k,2 1tan k 代入圓方程得代入圓方程得x x2 2+(kx+2)+(kx+2)2 2-12x+32=0,-12x+32=0,整理得整理得(1+k(1+k2 2)x)x2 2+4(k-3)x+36=0.(i)+4(k-3)x+36=0.(i)直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A A，B B等價(jià)于等價(jià)于=4(k-3)4(k-3)2 2-4-436(1+k36(1+k2 2)=4)=42 2(-8k(-8k2 2-6k)0,-6k)0,解得解得 即即k k的取值范圍為的取值范圍為假設(shè)存在常數(shù)假設(shè)存在常數(shù)k k，設(shè)，設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則由方程由方程(i),(i),得得3k0,430 .4（，）1212ODOAOBxx ,yy ), （1224 k3xx.(ii)1k 又又y y1 1+y+y2 2=k(x=k(x1 1+x+x2 2)+4. (iii)+4. (iii)而而P P（0 0，2 2），），Q Q（6 6，0 0），）， = =（6 6，-2-2），），因?yàn)橐驗(yàn)樗运?與與 共線等價(jià)于共線等價(jià)于-2-2（x x1 1+x+x2 2)=6(y)=6(y1 1+y+y2 2),),即即-(x-(x1 1+x+x2 2)=3(y)=3(y1 1+y+y2 2),),將將(ii)(iii(ii)(iii) )代入上式，解得代入上式，解得 由由知知 故不存在符合題意的常數(shù)故不存在符合題意的常數(shù)k.k.PQ OD PQ ，OAOB PQ 3k.4 3k,04 （），【拓展提升【拓展提升】1.1.代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系的三個(gè)步驟代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系的三個(gè)步驟(1)(1)將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去x x（或（或y y）得到關(guān)于）得到關(guān)于y y（或（或x x）的一元二次方程）的一元二次方程. .(2)(2)求上述方程的判別式，并判斷其符號求上述方程的判別式，并判斷其符號. .(3)(3)得出結(jié)論得出結(jié)論. .2.2.代數(shù)法求直線被圓截得的弦長代數(shù)法求直線被圓截得的弦長直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x x的一元二次方程，的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長222121212AB1kxx1kxx4x x .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知圓已知圓O O：x x2 2+y+y2 2=4=4內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)P P（0 0，1 1），過點(diǎn)），過點(diǎn)P P的直的直線線l交圓交圓O O于于A A，B B兩點(diǎn)，且滿足兩點(diǎn)，且滿足 (為參數(shù)）為參數(shù)）. .（1 1）若）若|AB|= |AB|= 求直線求直線l的方程的方程. .（2 2）若）若2 2，求直線，求直線l的方程的方程. .(3)(3)求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍的取值范圍. .APPB 14，【解析【解析】(1)(1)當(dāng)直線當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，的斜率不存在時(shí)，|AB|=4|AB|=4，不滿足，不滿足，故可設(shè)所求直線故可設(shè)所求直線l的方程為的方程為y=ky=k1 1x+1,x+1,代入圓的方程，整理得（代入圓的方程，整理得（1+k1+k1 12 2)x)x2 2+2k+2k1 1x-3=0,x-3=0,設(shè)設(shè)A A（x x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則利用弦長公式利用弦長公式可求得可求得k k1 1= =1 1，故直線方程為，故直線方程為y=x+1y=x+1或或y=-x+1.y=-x+1.1121222112k3xx,x x,1k1kAB14 又，221122112k31k()4()141k1k（2 2）當(dāng)直線）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，的斜率不存在時(shí)， 不滿足，不滿足，故可設(shè)所求直線故可設(shè)所求直線l的方程為的方程為y=ky=k2 2x+1.x+1.代入圓的方程，整理得代入圓的方程，整理得(1+k(1+k2 22 2)x)x2 2+2k+2k2 2x-3=0,(x-3=0,(* *) )設(shè)設(shè)A A（x x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則x x1 1,x,x2 2為方程（為方程（* *）的兩根，）的兩根，由由 可得可得x x1 1=-2x=-2x2 2, ,1AP3PBAPPB3 或 ，AP2PB 2122222122222kxxx,1k3x x2x,1k 則有 2 2得得 解得解得所以直線所以直線l的方程為的方程為 (3)(3)當(dāng)直線當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，的斜率不存在時(shí)，當(dāng)直線當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)所求直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)所求直線l的方程的方程為為y=ky=k3 3x+1,x+1,代入圓的方程，整理得（代入圓的方程，整理得（1+k1+k3 32 2)x)x2 2+2k+2k3 3x-3=0,(x-3=0,(* *) )設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則x x1 1,x,x2 2為方程（為方程（* *）的兩根）的兩根, ,222214k,23 1k215k.5 15yx1.5 11AP3PBAPPB3,33 或，或由由 可得可得x x1 1=-x=-x2 2, ,2 2得得而而由由 可解得可解得所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)的取值范圍為的取值范圍為APPB 3122232122232kxx1x,1k3x xx,1k 則有 223234k1),3 1k（2322334k4440, ),333 1k3 1k2140313,3 13.3 考向考向 3 3 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系【典例【典例3 3】（1 1）(2012(2012山東高考）圓山東高考）圓(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4=4與圓與圓(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9的位置關(guān)系為的位置關(guān)系為( )( )（A A）內(nèi)切）內(nèi)切 （B B）相交）相交 （C C）外切）外切 （D D）相離）相離(2)(2)若圓若圓x x2 2+y+y2 2=4=4與圓與圓x x2 2+y+y2 2+2ay-6=0(a0)+2ay-6=0(a0)的公共弦的長為的公共弦的長為則則a=_.a=_.(3)(3)（20132013咸陽模擬）已知圓咸陽模擬）已知圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0與圓與圓C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x-2my+m+2x-2my+m2 2-3=0,-3=0,若圓若圓C C1 1與圓與圓C C2 2相外切，則實(shí)數(shù)相外切，則實(shí)數(shù)m=_.m=_.2 3，【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用幾何法來判斷，即判斷兩圓的圓心距與利用幾何法來判斷，即判斷兩圓的圓心距與兩半徑和、差的絕對值的關(guān)系兩半徑和、差的絕對值的關(guān)系. .(2)(2)兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，再利用半徑、弦兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，再利用半徑、弦長的一半及弦心距構(gòu)成的直角三角形求解長的一半及弦心距構(gòu)成的直角三角形求解. .(3)(3)利用兩圓外切得兩圓圓心距等于兩圓半徑之和求解利用兩圓外切得兩圓圓心距等于兩圓半徑之和求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.圓圓(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4=4與圓與圓(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9的圓的圓心距心距 兩圓半徑和為兩圓半徑和為5 5、差的絕對、差的絕對值為值為1 1，所以，所以 所以兩圓相交所以兩圓相交. .(2)(2)兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為（兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為（x x2 2+y+y2 2+ + 2ay-6)-(x2ay-6)-(x2 2+y+y2 2)=0-4)=0-4 又又a0,a0,結(jié)合圖象，再利用半徑、結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知答案：答案：1 122d220 117 ，1175 ，1y,a22123a1a1. (3)(3)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-m)(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,(x+1)=9,(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4,=4,圓心分別為圓心分別為C C1 1(m,-2),C(m,-2),C2 2(-1,m),(-1,m),半徑分別為半徑分別為3 3，2.2.圓圓C C1 1與圓與圓C C2 2外切，外切，|C|C1 1C C2 2|=3+2=5,|=3+2=5,即：即： 解得解得m=-5m=-5或或2.2.答案：答案：-5-5或或2 222m1)2m5, （【拓展提升【拓展提升】1.1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法判斷兩圓位置關(guān)系的方法用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系. .2.2.兩圓公切線的條數(shù)兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)含內(nèi)切內(nèi)切相交相交外切外切外離外離公切線條數(shù)公切線條數(shù)0 01 12 23 34 4【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】兩個(gè)圓：兩個(gè)圓：C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+2x+2y-2=0+2x+2y-2=0與與C C2 2:x:x2 2+y+y2 2-4x-4x-2y+1=02y+1=0的公切線有且僅有的公切線有且僅有( )( )(A)1(A)1條條 (B)2(B)2條條 (C)3(C)3條條 (D)4(D)4條條【解析【解析】選選B.B.由題知由題知C C1 1:(x+1):(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,則圓心則圓心C C1 1(-1,-1), (-1,-1), C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4,=4,圓心圓心C C2 2(2,1),(2,1),兩圓半徑均為兩圓半徑均為2 2，又，又|C|C1 1C C2 2|= |= 則兩圓相交則兩圓相交只有兩條公切線只有兩條公切線. .22(2 1)1 1134,【創(chuàng)新體驗(yàn)【創(chuàng)新體驗(yàn)】直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的創(chuàng)新命題直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的創(chuàng)新命題【典例【典例】（20122012江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，圓中，圓C C的方程為的方程為x x2 2+y+y2 2-8x+15=0-8x+15=0，若直線，若直線y=kx-2y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，以該點(diǎn)為圓心，1 1為半徑的圓與圓為半徑的圓與圓C C有公共點(diǎn)，則有公共點(diǎn)，則k k的最大值為的最大值為_【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】找找準(zhǔn)準(zhǔn)創(chuàng)創(chuàng)新新點(diǎn)點(diǎn)若直線若直線y=kx-2y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1 1為半徑的圓與圓為半徑的圓與圓C C有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)尋尋找找突突破破口口（1 1）作出符合題設(shè)條件的示意圖）作出符合題設(shè)條件的示意圖（2 2）結(jié)合圖形得圓）結(jié)合圖形得圓C C的圓心的圓心C C到直線到直線y=kx-2y=kx-2的距離不的距離不大于大于2 2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】如圖，直線如圖，直線y=kx-2y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為圓心，1 1為半徑的圓與圓為半徑的圓與圓C C有公共點(diǎn)，只需保證圓心有公共點(diǎn)，只需保證圓心C C到到y(tǒng)=kx-y=kx-2 2的距離不大于的距離不大于2 2即可即可. .而圓而圓C C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4)x-4)2 2+y+y2 2=1,=1,圓心圓心C C（4 4，0 0）到直線）到直線y=kx-2y=kx-2的距離的距離 由題意知由題意知 整理得整理得3k3k2 2-4k0,-4k0,解得解得答案：答案：24k2d,1k24k22,1kmax440k,k.33故43【思考點(diǎn)評【思考點(diǎn)評】1.1.方法感悟：本題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法感悟：本題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，即通過數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為圓心在解題中的應(yīng)用，即通過數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為圓心C C到直線到直線的距離問題，進(jìn)而得到關(guān)于的距離問題，進(jìn)而得到關(guān)于k k的不等式，從而確定出的不等式，從而確定出k k的范圍，的范圍，得出得出k k的最大值，這種以的最大值，這種以“以形助解以形助解”探究解題思路的思想方探究解題思路的思想方法值得我們仔細(xì)體會(huì)法值得我們仔細(xì)體會(huì). .2.2.技巧提升：對于直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的創(chuàng)新問題，解技巧提升：對于直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的創(chuàng)新問題，解題的關(guān)鍵是作出符合要求的示意圖題的關(guān)鍵是作出符合要求的示意圖, ,通過數(shù)形結(jié)合將創(chuàng)新信息通過數(shù)形結(jié)合將創(chuàng)新信息轉(zhuǎn)化為常規(guī)的直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，再利用處理直線轉(zhuǎn)化為常規(guī)的直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，再利用處理直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的方法來解決與圓、圓與圓的位置關(guān)系的方法來解決. .1.1.（20122012廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，直線中，直線3x+4y-3x+4y-5=05=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=4=4相交于相交于A A，B B兩點(diǎn)，則弦兩點(diǎn)，則弦ABAB的長等于的長等于( )( )【解析【解析】選選B.B.由圓心由圓心(0,0)(0,0)到直線到直線3x+4y-5=03x+4y-5=0的距離為的距離為d=1,d=1,所以所以 A 3 3B 2 3C3D 1 22AB2 rd2 3.2.2.（20122012陜西高考）已知圓陜西高考）已知圓C C：x x2 2+y+y2 2-4x=0,-4x=0,l是過點(diǎn)是過點(diǎn)P P（3 3，0 0） 的直線的直線, ,則則( )( )（A A）l與與C C相交相交 （B B）l與與C C相切相切（C C）l與與C C相離相離 （D D）以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能）以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能【解析【解析】選選A.A.方法一：圓方法一：圓C C的方程是（的方程是（x-2x-2）2 2+y+y2 2=4=4，點(diǎn)點(diǎn)P P到圓心到圓心C C（2,02,0）的距離）的距離d=12d=12，點(diǎn)點(diǎn)P P在圓在圓C C內(nèi)部，內(nèi)部，直線直線l與圓與圓C C相交相交. .方法二：將點(diǎn)方法二：將點(diǎn)P P的坐標(biāo)代入圓的方程，得：的坐標(biāo)代入圓的方程，得：3 32 2+0+02 2-4-43=9-12=3=9-12=-30,-30,r0,若若ABAB中有且僅有一個(gè)元素，則中有且僅有一個(gè)元素，則r r的取值集合為的取值集合為( )( )(A)3 (B)7(A)3 (B)7(C)3(C)3，7 (D)27 (D)2，77【解析解析】選選C.C.由已知得圓由已知得圓O O：x x2 2+y+y2 2=4=4與圓與圓C C：(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2 =r=r2 2(r0)(r0)相切，而相切，而當(dāng)圓當(dāng)圓O O與圓與圓C C外切時(shí)，外切時(shí)，|OC|=r+2=5,|OC|=r+2=5,得得r=3.r=3.當(dāng)圓當(dāng)圓O O與圓與圓C C內(nèi)切時(shí)，內(nèi)切時(shí)，|OC|=r-2=5,|OC|=r-2=5,得得r=7.r=7.綜上綜上r=3r=3或或7.7.22OC345 ，2.2.已知半徑為已知半徑為5 5的圓的圓心在的圓的圓心在x x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線與直線4x+3y-29=04x+3y-29=0相切相切. .（1 1）求圓的方程）求圓的方程. .（2 2）設(shè)直線）設(shè)直線ax-y+5=0(a0)ax-y+5=0(a0)與圓相交于與圓相交于A A，B B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a a的的取值范圍取值范圍. .（3 3）在（）在（2 2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a, a, 使得弦使得弦ABAB的垂直平的垂直平分線分線l過點(diǎn)過點(diǎn)P P（-2-2，4 4），若存在，求出實(shí)數(shù)），若存在，求出實(shí)數(shù)a a的值；若不存在，的值；若不存在，請說明理由請說明理由. .【解析【解析】（1 1）設(shè)圓心為）設(shè)圓心為M M（m,0)m,0)（mZmZ).).由于圓與直線由于圓與直線4x+3y-29=04x+3y-29=0相切，且半徑為相切，且半徑為5 5，所以，所以 即即|4m-29|=25.|4m-29|=25.因?yàn)橐驗(yàn)閙 m為整數(shù)，故為整數(shù)，故m=1.m=1.故所求圓的方程為（故所求圓的方程為（x-1)x-1)2 2+y+y2 2=25.=25.4m2955 ，（2 2）把直線）把直線ax-y+5=0,ax-y+5=0,即即y=ax+5y=ax+5代入圓的方程，消去代入圓的方程，消去y y整理，整理，得得(a(a2 2+1)x+1)x2 2+2(5a-1)x+1=0.+2(5a-1)x+1=0.由于直線由于直線ax-y+5=0ax-y+5=0交圓于交圓于A A，B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，故故=4(5a-1)=4(5a-1)2 2-4(a-4(a2 2+1)0.+1)0.即即12a12a2 2-5a0,-5a0,由于由于a0,a0,解得解得所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是5a.125).12（，(3)(3)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a a存在，由于直線存在，由于直線l為弦為弦ABAB的垂直平分線，的垂直平分線，且直線且直線ABAB斜率為斜率為a,a,則直線則直線l的斜率為的斜率為l的方程為的方程為y= (x+2)+4,y= (x+2)+4,即即x+ay+2-4a=0,x+ay+2-4a=0,由于由于l垂直平分弦垂直平分弦ABAB，故圓心，故圓心M M（1 1，0 0）必在）必在l上，上，所以所以1+0+2-4a=0,1+0+2-4a=0,解得解得 由于由于 故存在實(shí)數(shù)故存在實(shí)數(shù) 使得過點(diǎn)使得過點(diǎn)P P（-2-2，4 4）的）的直線直線l垂直平分弦垂直平分弦AB.AB.1.a1a3a.435(,),4123a4