高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1 歸納與類比課件 北師大版選修22

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1、第 一 章 推理與證明1歸納與類比課前預(yù)習(xí)學(xué)案 相傳，春秋時期魯國的公輸班(后人稱魯班，被認(rèn)為是木工的祖師)，一次去林中砍樹時，一不小心，手被一種野草的葉子劃破了他摘下葉片輕輕一摸，原來葉子兩邊長著鋒利的齒，他的手就是被這些小齒劃破的魯班想，這樣齒狀的工具不是也能很快地鋸斷樹木嗎？他經(jīng)過多次試驗(yàn)，終于發(fā)明了鋒利的鋸子，大大提高了工效 那么，魯班根據(jù)齒狀樹葉發(fā)明鋸子的過程，體現(xiàn)了怎樣的思維方法呢？ (1)定義：根據(jù)一類事物中_事物具有某種屬性，推斷該類事物中_事物都有這種屬性我們將這種推理方式稱為歸納推理 (2)思維特征：歸納推理是由_到_，由_到_的推理 (3)推理結(jié)論：利用歸納推理得出的結(jié)論

2、不一定正確1歸納推理部分每一個部分整體個別一般 人們在進(jìn)行歸納推理的時候，總是先搜集一定的事實(shí)材料，有了個別性的、特殊性的事實(shí)作為前提，然后才能進(jìn)行歸納推理，因此歸納推理是立足于觀察和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的 由歸納推理所得的結(jié)論有的雖然未必是可靠的，但是對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲得新結(jié)論，提出帶有規(guī)律性的命題，因此，歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段 (1)定義：對于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有_其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理 (2)思維特征：類比推理是兩類事物_之間的推理 (3)推理結(jié)論：利用類比推理得出的結(jié)論也

3、不一定正確2類比推理類似的特征 合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式3合情推理歸納、類比是合情推理常用的思維方法，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有利于探究意識的培養(yǎng) 1下列推理是合情推理的是() (1)由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； (2)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180； (3)ab，bc，則ac； (4)三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此

4、得凸n邊形內(nèi)角和是(n2)180. A(1)(2) B(1)(3)(4) C(1)(2)(4)D(2)(4) 答案：C 2下面一組按規(guī)律排列的數(shù)：1,32,53，第n個數(shù)應(yīng)是() AnnBn2n1 C(2n1)nD(2n1)2n1 解析：第n個數(shù)的底數(shù)為2n1，指數(shù)為n，故這個數(shù)是(2n1)n. 答案：C 4對于正整數(shù)n，猜想(2n1)與(n1)2的大小關(guān)系 解析：當(dāng)n1時，2n11，(n1)2224， 2n1(n1)2； 當(dāng)n2時，2n13，(n1)2329， 2n1(n1)2； 當(dāng)n3時，2n15，(n1)24216， 2n1(n1)2. 由此猜想：2n1(n1)2.課堂互動講義數(shù)列中的歸

5、納推理歸納推理一般可分為兩步： 第一步：觀察、分析所有特殊情況的共性，如圖形中的點(diǎn)、線的個數(shù)、位置關(guān)系，數(shù)列中數(shù)的變化規(guī)律，一系列式子中共同的運(yùn)算特點(diǎn)等等 第二步：將第一步中觀察到的共性進(jìn)行推廣，形成一般化的結(jié)論使之能夠涵蓋所有，如圖形的結(jié)構(gòu)或變化的規(guī)律，數(shù)列的通項(xiàng)公式，式子的運(yùn)算結(jié)果等等 1某電腦程序顯示出一列數(shù)：1,2,1,1,2,1,1,1,2,1,1,1,1,2，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一個數(shù)列，那么前2 012項(xiàng)中有幾個2? 解析：將數(shù)列分段處理，前2項(xiàng)為第1段，第2段有3個數(shù)，第3段有4個數(shù)，每一段的最后一個數(shù)均為2，本題要求前2 012項(xiàng)中有多少個2，故找出第2 012項(xiàng)所在的段

6、數(shù)是關(guān)鍵在平面內(nèi)觀察： 凸四邊形有2條對角線； 凸五邊形有5條對角線； 凸六邊形有9條對角線； 由此猜想凸n邊形有幾條對角線？歸納推理在其他知識領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用 思路導(dǎo)引設(shè)凸n邊形有an條對角線，則a42，a55，a69，由此觀察an的規(guī)律不明顯，直接用歸納推理猜想an不方便，但由a5a43，a6a54，a7a65， 可看出anan1的規(guī)律性較強(qiáng)，因此可先猜想anan1，再推出an. 邊聽邊記凸三角形有0條對角線，凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，因此可設(shè)a30，a42，a55，a69，凸n邊形的對角線的條數(shù)為an，則 a4a32 a5a43 a6a54 猜想ana

7、n1n2(n4) 把上面各等式左右分別相加得 ana3234(n2)， an234(n2)(n3，nN)本題是歸納推理在幾何問題中的應(yīng)用，推理過程中要善于從問題中抓住本質(zhì)，不僅要注意所探求對象內(nèi)在的因果關(guān)系，而且還應(yīng)關(guān)注相互關(guān)系及其規(guī)律對于幾何圖形應(yīng)從頂點(diǎn)、邊、角、對角線等的增加或減少挖掘它們的變化規(guī)律類比推理的應(yīng)用 思路導(dǎo)引找準(zhǔn)平面圖形與空間圖形相互對應(yīng)可類比的對象即可(1)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象： 一般地，平面中的一些元素與空間中的元素的類比列表如下：平面點(diǎn)線圓三角形角邊長周長面積空間線面球三棱錐 二面角面積表面積體積 與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測球的有關(guān)性質(zhì)： (2)類比推理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用： 數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結(jié)論，都可以先用類比猜想，而后加以證明 3我們已經(jīng)學(xué)過了等差數(shù)列，你是否想到過有沒有等和數(shù)列呢？ (1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義； (2)探索等和數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)？ (3)在等和數(shù)列an中，如果a1a，a2b，求它的一個通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等和數(shù)列 (2)由(1)知anan1an1an2， an2an， 故等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等 請用類比推理完成下表