高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列

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1、第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 1.(2011陜西高考,文10)植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù),每人植一棵,相鄰兩棵樹(shù)相距10米.開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊.現(xiàn)將樹(shù)坑從1到20依次編號(hào),為使各位同學(xué)從各自樹(shù)坑前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗所走的路程總和最小,樹(shù)苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為(  ). A.①和B.⑨和⑩C.⑨和D.⑩和 2.(2011廣東高考,文11)已知{an}是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=__________. 3.(2010重慶高考,文2)在等差數(shù)列{an}中,a1+a9=10,則a5的值為( ?。? A.5B.6 C.

2、8D.10 對(duì)等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)及其運(yùn)用的考查,多以選擇、填空題的形式出現(xiàn),突出“小巧、靈活、善變”的特點(diǎn),在高考題中,數(shù)列常常與函數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率、充要條件相結(jié)合,在知識(shí)交匯處命題.以考查等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、單調(diào)性等性質(zhì)為主. 熱點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的判定與證明 判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差(等比)數(shù)列或證明一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,最基本的方法是根據(jù)等差(等比)數(shù)列的定義,另外,還可使用中項(xiàng)公式,通項(xiàng)公式,或者前n項(xiàng)和公式等;若已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí),常對(duì)遞推關(guān)系變形,構(gòu)造一個(gè)新的等差(等比)數(shù)列,從而進(jìn)一步求原數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而判斷或證明.

3、【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an+Sn=n.求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列. 思路點(diǎn)撥:利用定義證為常數(shù). 判定或證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列的四種基本方法: (1)定義法:an+1-an=d(d為常數(shù)) ?{an}為等差數(shù)列; =q(q為非零常數(shù))?{an}為等比數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列; a=an·an+2(an≠0,n∈N*)?{an}為等比數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列; an=cqn(c,q為非零常數(shù),n∈N*)?{an}為等比數(shù)列.

4、 (4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=an2+bn+c(a,b,c都是常數(shù)),c=0?{an}為等差數(shù)列; Sn=k(qn-1),k為常數(shù),且q≠0,1?{an}為等比數(shù)列. 提醒:①前兩種方法是證明等差(等比)數(shù)列的常用方法,而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定; ②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)即可. 拓展延伸在數(shù)列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=-23.是否存在常數(shù)λ使數(shù)列{an-n+λ}為等比數(shù)列,若存在,求出λ的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 熱點(diǎn)二 由遞推公式到通項(xiàng)公式 (1)通過(guò)遞推關(guān)系求得數(shù)

5、列類型(等差或等比),進(jìn)而求得通項(xiàng)公式; (2)觀察遞推關(guān)系的特點(diǎn),選擇適當(dāng)方法求得.一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等. 【例2】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 思路點(diǎn)撥:由題意an+1-an==-,故可用累加法求an. 1.已知Sn,求an可用分段函數(shù)an= 求解. 2.累加法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an+1=an+f(n),其中{f(n)}要可求和.這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí),常用累加法(疊加法). 3.累乘法:數(shù)列遞推關(guān)系形如an+1=g(n)an,其中{g(n)}要可求積,此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法).

6、4.構(gòu)造法:遞推關(guān)系形如: (1)an+1=pan+q(p,q為常數(shù)),可化為an+1+=p(p≠1)的形式,利用是以p為公比的等比數(shù)列求解; (2)遞推關(guān)系形如an+1=pan+qpn+1(p,q為常數(shù))可化為-=q(p≠1)的形式. 5.?dāng)?shù)列遞推關(guān)系形如an+1=pa(p,r為常數(shù),且p>0,an>0),求通項(xiàng)公式時(shí)一般采用遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù)的方法. 6.若an=an+T,則{an}為周期數(shù)列,周期為T(T∈N*),求an時(shí)可轉(zhuǎn)化為求a1,a2,…,aT來(lái)處理. 拓展延伸數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=1,Sn=5an+1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 熱點(diǎn)三 等差、

7、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 (1)在等差(或等比)數(shù)列中,已知a1,n,d(或q),an,Sn五個(gè)量中任意三個(gè),通過(guò)解方程(組)可求另外兩個(gè); (2)利用等差(或等比)數(shù)列的性質(zhì)解題. 【例3】在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3, (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)令cn=ban,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 思路點(diǎn)撥:(1)由等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求an,bn;(2)構(gòu)造新數(shù)列,利用等比數(shù)列求和公式求Tn. 有關(guān)等差、等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題常用到以下的基本性質(zhì): (1)等差數(shù)列的性質(zhì) ①若

8、m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq; ②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差數(shù)列; ③am-an=(m-n)d?d=(m,n∈N*); ④=(A2n-1,B2n-1分別為{an},{bn}的前2n-1項(xiàng)和). (2)等比數(shù)列的性質(zhì) ①若m,n,p,k∈N*,且m+n=p+k,則am·an=ap·ak; ②等比數(shù)列中連續(xù)n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列; ③在等比數(shù)列{an}中,公比為q(q≠-1),Sn是其前n項(xiàng)和,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數(shù)列,且公比為qn. 拓展延伸令例3(2)中的cn=abn(其他條件不

9、變),求其前n項(xiàng)和Qn. 1.不注意“數(shù)列”是“特殊的函數(shù)”致誤 數(shù)列是特殊的函數(shù),可以用動(dòng)態(tài)的函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列,但必須時(shí)刻注意其“特殊”性,即定義域?yàn)閚∈N*.如數(shù)列{an},其通項(xiàng)an=n2-3n+2=2-的最小值為0(n=1或n=2),而不是-. 2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中一定要考慮公式適用條件q=1或q≠1,否則導(dǎo)致失誤,若q=1,則Sn=na1;若q≠1,則Sn=. 3.對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)致誤 解決遞推數(shù)列問(wèn)題的基本原則是根據(jù)遞推數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,掌握以下幾類遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化,可極大地提高解題效率.①遞推關(guān)系形如an+1=qan+p,可用待定系數(shù)法:an+1+λ

10、=q(an+λ); ②遞推關(guān)系形如an+1=,可用取倒數(shù)法; ③觀察法,如an+1=22an?=2·. 參考答案 考場(chǎng)傳真 1.D解析:設(shè)小樹(shù)放在第i個(gè)坑旁邊,所走路程之和為f(i).由于每?jī)煽又g相距10米,且每個(gè)學(xué)生所走路程為往返,所以,當(dāng)i分別等于1,20,9,10,11時(shí)的路程之和分別為: f(1)=2[0+10+20+…+190] =2×=3800(米), f(20)=2[190+180+…+20+10+0] =2×=3800(米), f(9)=2[80+70+60+…+10+0+10+20+…+110] =2=2040(米), f(10)=2[90+80

11、+70+…+10+0+10+20+…+100] =2=2000(米), f(11)=2[100+90+…+10+0+10+20+…+90] =2=2000(米). 比較可得,最小的是f(10),f(11). 2.2設(shè){an}的公比為q,則a4=a2q2,a3=a2q. a4-a3=a2q2-a2q=4,又a2=2, 得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1. 又{an}為遞增數(shù)列,則q=2. 3.A解析:因?yàn)閍1+a9=2a5,所以a5=5. 核心攻略 【例1】證明:∵a1=S1,an+Sn=n,① ∴a1+S1=1,得a1=. 又an+1+Sn+1=n+1,② ①

12、②兩式相減,得2(an+1-1)=an-1,即=,故數(shù)列{an-1}是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. 拓展延伸解:假設(shè)an+1-(n+1)+λ=-(an-n+λ)成立,整理得an+1+an=2n+1-2λ,與an+1+an=2n-44比較得λ=. ∴數(shù)列{an-n+}是以-為首項(xiàng),-1為公比的等比數(shù)列. 故an-n+=-(-1)n-1, 即an=n--(-1)n-1. 【例2】解:由an+1-an==-,得n≥2時(shí),an-an-1=-, an-1-an-2=-,…,a3-a2=-,a2-a1=1-,a1=1.累加得an=-+-+…+-+1-+1=2-=(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a1也

13、適合上式,∴an=. 拓展延伸解:∵Sn=5an+1,∴an+1=Sn.∴an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2).∴an+1=an(n≥2). 又∵a1=1,∴S1=1. ∴a2=S1=×1=. ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= 【例3】解:(1)由條件得∴∴an=2n-1,bn=3n. (2)由(1)得cn=ban=b2n-1=32n-1. ∵==9,c1=3, ∴{cn}是首項(xiàng)為3,公比為9的等比數(shù)列. ∴Tn==(9n-1). 拓展延伸解:由(1)得cn=abn=a3n=2·3n-1. ∴Qn=c1+c2+…+cn=2(3+32+…+3n)-n =2×-n=3n+1-n-3. 內(nèi)容總結(jié) (1)②等比數(shù)列中連續(xù)n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列

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