高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列1（2011陜西高考，文10）植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為（）A和B和C和D和2（2011廣東高考，文11）已知an是遞增等比數(shù)列，a22，a4a34，則此數(shù)列的公比q_3（2010重慶高考，文2）在等差數(shù)列an中，a1a910，則a5的值為（）A5B6C8D10對等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)及其運用的考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，突出“小巧、靈活、善變”的特點，在高考題中，數(shù)列常常與函數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率、充要條件相結(jié)合，在知識交匯處命題以考查等差中項、等比中項、單調(diào)性等性質(zhì)為主熱點一等差、等比數(shù)列的判定與證明判斷一個數(shù)列是否為等差（等比）數(shù)列或證明一個數(shù)列是等差（等比）數(shù)列，最基本的方法是根據(jù)等差（等比）數(shù)列的定義，另外，還可使用中項公式，通項公式，或者前n項和公式等；若已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項時，常對遞推關(guān)系變形，構(gòu)造一個新的等差（等比）數(shù)列，從而進(jìn)一步求原數(shù)列的通項公式，進(jìn)而判斷或證明【例1】數(shù)列an的前n項和為Sn，若anSnn求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列思路點撥：利用定義證為常數(shù)判定或證明數(shù)列an為等差數(shù)列或等比數(shù)列的四種基本方法：（1）定義法：an1and（d為常數(shù)）an為等差數(shù)列；q（q為非零常數(shù)）an為等比數(shù)列（2）中項公式法：2an1anan2（nN*）an為等差數(shù)列；aan·an2（an0，nN*）an為等比數(shù)列（3）通項公式法：anpnq（p，q為常數(shù)）an為等差數(shù)列；ancqn（c，q為非零常數(shù)，nN*）an為等比數(shù)列（4）前n項和公式法：Snan2bnc（a，b，c都是常數(shù)），c0an為等差數(shù)列；Snk（qn1），k為常數(shù)，且q0，1an為等比數(shù)列提醒：前兩種方法是證明等差（等比）數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；若要判定一個數(shù)列不是等差（等比）數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等差（等比）即可拓展延伸在數(shù)列an中，an1an2n44（nN*），a123是否存在常數(shù)使數(shù)列ann為等比數(shù)列，若存在，求出的值及數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由熱點二由遞推公式到通項公式（1）通過遞推關(guān)系求得數(shù)列類型（等差或等比），進(jìn)而求得通項公式；（2）觀察遞推關(guān)系的特點，選擇適當(dāng)方法求得一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等【例2】在數(shù)列an中，a11，an1an求數(shù)列an的通項公式思路點撥：由題意an1an，故可用累加法求an1已知Sn，求an可用分段函數(shù)an求解2累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf（n），其中f（n）要可求和這種類型的數(shù)列求通項公式時，常用累加法（疊加法）3累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1g（n）an，其中g(shù)（n）要可求積，此數(shù)列求通項公式一般采用累乘法（疊乘法）4構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如：（1）an1panq（p，q為常數(shù)），可化為an1p（p1）的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解；（2）遞推關(guān)系形如an1panqpn1（p，q為常數(shù)）可化為q（p1）的形式5數(shù)列遞推關(guān)系形如an1pa（p，r為常數(shù)，且p>0，an>0），求通項公式時一般采用遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù)的方法6若ananT，則an為周期數(shù)列，周期為T（TN*），求an時可轉(zhuǎn)化為求a1，a2，aT來處理拓展延伸數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a11，Sn5an1求數(shù)列an的通項公式熱點三等差、等比數(shù)列的基本運算（1）在等差（或等比）數(shù)列中，已知a1，n，d（或q），an，Sn五個量中任意三個，通過解方程（組）可求另外兩個；（2）利用等差（或等比）數(shù)列的性質(zhì)解題【例3】在公差為d（d0）的等差數(shù)列an和公比為q的等比數(shù)列bn中，a2b13，a5b2，a14b3，（1）求數(shù)列an與bn的通項公式；（2）令cnban，求數(shù)列的前n項和Tn思路點撥：（1）由等差、等比數(shù)列通項公式列方程組求an，bn；（2）構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求Tn有關(guān)等差、等比數(shù)列的計算問題常用到以下的基本性質(zhì)：（1）等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列；aman（mn）dd（m，nN*）；（A2n1，B2n1分別為an，bn的前2n1項和）（2）等比數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，kN*，且mnpk，則am·anap·ak；等比數(shù)列中連續(xù)n項之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列；在等比數(shù)列an中，公比為q（q1），Sn是其前n項和，則數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比數(shù)列，且公比為qn拓展延伸令例3（2）中的cnabn（其他條件不變），求其前n項和Qn1不注意“數(shù)列”是“特殊的函數(shù)”致誤數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用動態(tài)的函數(shù)的觀點研究數(shù)列，但必須時刻注意其“特殊”性，即定義域為nN*如數(shù)列an，其通項ann23n22的最小值為0（n1或n2），而不是2等比數(shù)列前n項和公式中一定要考慮公式適用條件q1或q1，否則導(dǎo)致失誤，若q1，則Snna1；若q1，則Sn3對數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)致誤解決遞推數(shù)列問題的基本原則是根據(jù)遞推數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，掌握以下幾類遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化，可極大地提高解題效率遞推關(guān)系形如an1qanp，可用待定系數(shù)法：an1q（an）；遞推關(guān)系形如an1，可用取倒數(shù)法；觀察法，如an122an2·參考答案考場傳真1D解析：設(shè)小樹放在第i個坑旁邊，所走路程之和為f（i）由于每兩坑之間相距10米，且每個學(xué)生所走路程為往返，所以，當(dāng)i分別等于1,20,9,10,11時的路程之和分別為：f（1）2010201902×3800（米），f（20）2190180201002×3800（米），f（9）2807060100102011022040（米），f（10）2908070100102010022000（米），f（11）21009010010209022000（米）比較可得，最小的是f（10），f（11）22設(shè)an的公比為q，則a4a2q2，a3a2q.a4a3a2q2a2q4，又a22，得q2q20，解得q2或q1.又an為遞增數(shù)列，則q2.3A解析：因為a1a92a5，所以a55.核心攻略【例1】證明：a1S1，anSnn，a1S11，得a1.又an1Sn1n1，兩式相減，得2（an11）an1，即，故數(shù)列an1是以為首項，為公比的等比數(shù)列拓展延伸解：假設(shè)an1（n1）（ann）成立，整理得an1an2n12，與an1an2n44比較得.數(shù)列ann是以為首項，1為公比的等比數(shù)列故ann（1）n1，即ann（1）n1.【例2】解：由an1an，得n2時，anan1，an1an2，a3a2，a2a11，a11.累加得an112（n2），當(dāng)n1時，a1也適合上式，an.拓展延伸解：Sn5an1，an1Sn.an1anSnSn1an（n2）an1an（n2）又a11，S11.a2S1×1.數(shù)列的通項公式為an【例3】解：（1）由條件得an2n1，bn3n.（2）由（1）得cnbanb2n132n1.9，c13，cn是首項為3，公比為9的等比數(shù)列Tn（9n1）拓展延伸解：由（1）得cnabna3n2·3n1.Qnc1c2cn2（3323n）n2×n3n1n3.內(nèi)容總結(jié)（1）等比數(shù)列中連續(xù)n項之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列