高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)13 數(shù)列的通項(xiàng)與求和

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十三難點(diǎn)13 數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問(wèn)題，最終歸結(jié)為對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列Sn的通項(xiàng)。通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問(wèn)題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對(duì)數(shù)列問(wèn)題考查中的熱點(diǎn)，本點(diǎn)的動(dòng)態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問(wèn)題，為其提供行之有效的方法.難點(diǎn)磁場(chǎng)()設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).(1)寫出數(shù)列an的前3項(xiàng).(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫出推證過(guò)程)(3)令bn=(nN*)，求 (b1+b2+b3+bnn).案例探究例1已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切nN*，都有=an+1成立，求.命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限，以及運(yùn)算能力和綜合分析問(wèn)題的能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和，實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列an的關(guān)系，借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.錯(cuò)解分析：本題兩問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，(1)問(wèn)是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計(jì)算不準(zhǔn)易出錯(cuò)；(2)問(wèn)中對(duì)條件的正確認(rèn)識(shí)和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.技巧與方法：本題(1)問(wèn)運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，思路較為自然，(2)問(wèn)“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列dn，運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.解：(1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1(2)令=dn，則d1+d2+dn=an+1,(nN*),dn=an+1an=2,=2,即cn=2·bn=8·(2)n1；Sn=1(2)n.例2設(shè)An為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，An= (an1)，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列an與bn的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明：數(shù)列dn的通項(xiàng)公式為dn=32n+1;(3)設(shè)數(shù)列dn的第n項(xiàng)是數(shù)列bn中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列bn的前r項(xiàng)的和；Dn為數(shù)列dn的前n項(xiàng)和，Tn=BrDn，求.命題意圖：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及其相互關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.知識(shí)依托：利用項(xiàng)與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問(wèn)中探尋an與bn的相通之處，須借助于二項(xiàng)式定理；而(3)問(wèn)中利用求和公式求和則是最基本的知識(shí)點(diǎn).錯(cuò)解分析：待證通項(xiàng)dn=32n+1與an的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含有r，會(huì)使所求的極限模糊不清.技巧與方法：(1)問(wèn)中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問(wèn)中把3拆解為41，再利用二項(xiàng)式定理，尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問(wèn)中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問(wèn)題便可迎刃而解.解：(1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3n.(2)32n+1=3·32n=3·(41)2n=3·42n+C·42n1(1)+C·4·(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn.而數(shù)32n=(41)2n=42n+C·42n1·(1)+C·4·(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而數(shù)列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=，Br=，錦囊妙計(jì)1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.2.數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=3.求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.累差疊加法.最基本形式是：an=(anan1+(an1+an2)+(a2a1)+a1.歸納、猜想法.4.數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見(jiàn)的裂項(xiàng)：錯(cuò)項(xiàng)相消法并項(xiàng)求和法數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、填空題1.()設(shè)zn=()n，(nN*)，記Sn=z2z1+z3z2+zn+1zn，則Sn=_.2.()作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長(zhǎng)之和及面積之和分別為_(kāi).二、解答題3.()數(shù)列an滿足a1=2，對(duì)于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+an·an+1nan+12=0，又知數(shù)列bn的通項(xiàng)為bn=2n1+1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；(3)猜想Sn與Tn的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.4.()數(shù)列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)設(shè)bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.5.()設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=(m+1)man.對(duì)任意正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m1.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比q=f(m)，數(shù)列bn滿足：b1=a1,bn=f(bn1)(n2,nN*).試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，成立？6.()已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a0且a1),記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.7.()設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；(3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解析：(1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有，S1=a1，解得a1=2.當(dāng)n=2時(shí)，有，S2=a1+a2，將a1=2代入，整理得(a22)2=16，由a20，解得a2=6.當(dāng)n=3時(shí)，有，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a32)2=64，由a30，解得a3=10.故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10.(2）解法一：由(1）猜想數(shù)列an.有通項(xiàng)公式an=4n2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式是an=4n2，(nN*）.當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?×12=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即有ak=4k2，由題意，有，將ak=4k2.代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由題意，有，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+124ak+1+416k2=0，由ak+10，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)2，即當(dāng)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立.根據(jù)，上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)nN*成立.解法二：由題意知，(nN*).整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2.整理得(an+1+an）(an+1an4)=0，由題意知an+1+an0，an+1an=4，即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2，公差d=4.an=a1+(n1)d=2+4(n1)，即通項(xiàng)公式為an=4n2.解法三：由已知得,(nN*)，所以有，由式得，整理得Sn+12·+2Sn=0，解得，由于數(shù)列an為正項(xiàng)數(shù)列，而，因而，即Sn是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.所以=+(n1)=n,Sn=2n2，故an=即an=4n2(nN*).(3)令cn=bn1，則cn=殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、答案：1+2.解析：由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列an，可得an=，正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列rn，可得rn=a,這些圓的周長(zhǎng)之和c=2(r1+r2+rn)= a2，面積之和S=(n2+r22+rn2)=a2答案：周長(zhǎng)之和a，面積之和a2二、3.解：(1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21，驗(yàn)證可知，n=1時(shí)，T1=S1，n=2時(shí)T2S2；n=3時(shí)，T3S3;n=4時(shí)，T4S4；n=5時(shí)，T5S5；n=6時(shí)T6S6.猜想當(dāng)n5時(shí)，TnSn，即2nn2+1可用數(shù)學(xué)歸納法證明(略）.4.解：(1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數(shù)列，d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，當(dāng)n5時(shí)，Sn=n2+9n，當(dāng)n5時(shí)，Sn=n29n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn總成立，需T1=成立，即m8且mZ，故適合條件的m的最大值為7.5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)man+1，Sn=(m+1)man,由，得an+1=manman+1，即(m+1)an+1=man對(duì)任意正整數(shù)n都成立.m為常數(shù)，且m1，即為等比數(shù)列.(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=m+1ma1，a1=1，從而b1=.由(1)知q=f(m)=，bn=f(bn1)= (nN*,且n2)，即，為等差數(shù)列.=3+(n1)=n+2，(nN*).6.解：(1)設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得：解得b1=1,d=3,bn=3n2.(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+)，logabn+1=loga.因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)(1+)與的大小，取n=1時(shí)，有(1+1)取n=2時(shí)，有(1+1)(1+)由此推測(cè)(1+1)(1+)(1+)若式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定：當(dāng)a1時(shí)，Snlogabn+1，當(dāng)0a1時(shí)，Snlogabn+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式.()當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證式成立.()假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k1），式成立，即：.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，這就是說(shuō)式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由(）(）可知式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.由此證得：當(dāng)a1時(shí)，Snlogabn+1；當(dāng)0a1時(shí)，Snlogabn+1.7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t.a2=.又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=3t得3tan(2t+3)an1=0.,n=2,3,4,所以an是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1.可見(jiàn)bn是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n是首項(xiàng)分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=·n(+)= (2n2+3n)內(nèi)容總結(jié)（1）2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十三難點(diǎn)13 數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問(wèn)題，最終歸結(jié)為對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列Sn的通項(xiàng)（2）+n=n(n+1)12+22+（3）+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+