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1、《指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》案例分析
醴陵市二中 張新元
提出問題:
新課程認為知識不是單方面通過教師傳授得到的,而是學生在一定的情境中,運用已有的學習經(jīng)驗,并通過與他人(教師指導和同學的幫助)協(xié)作,主動建構(gòu)而獲得的。它強調(diào)以學生為中心,視學生為認知的主體,教師只對學生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。通過多年教學實踐和對新課程的認識,我認為若遵循這個原則進行數(shù)學課堂教學,學生的學習將是一種高效的活動。
教材中的地位:
本節(jié)內(nèi)容是在指數(shù)范圍擴充到實數(shù)的基礎上引入指數(shù)函數(shù)的,而指數(shù)函數(shù)是高中研究的第一種具體函數(shù)。是在初中已經(jīng)初步探討了
2、正比例函數(shù),反比例函數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎上,在進一步學習了函數(shù)的概念及有關性質(zhì)的前提下,去研究學習的。重點是指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì),難點在于弄清楚底數(shù)a對于函數(shù)變化的影響。這節(jié)課主要是學生利用描點法畫出函數(shù)的圖像,并描述出函數(shù)的圖像特征,從而指出函數(shù)的性質(zhì)。使學生從形到數(shù)的熟悉,體驗研究函數(shù)的過程與思路,實現(xiàn)意識的深化。
設計背景:
在新教材的教學中,我慢慢體會到新教材滲透的、螺旋式上升的基本理念,知識點的形成過程經(jīng)歷從具體的實例引入,形成概念,再次運用于實際問題或具體數(shù)學問題的過程,它的應用性,實用性更明顯的體現(xiàn)出來。學數(shù)學重在培養(yǎng)學生的思維品質(zhì),經(jīng)過多年的數(shù)學學習
3、,學生還是害怕學數(shù)學,尤其高中的數(shù)學,它對于學生來說顯得很抽象。所以如果再讓讓學生感到數(shù)學離我們的生活太遠,那么將很難激發(fā)他們的學習愛好。所以在教學中我盡力抓住知識的本質(zhì),以實際問題引入新知識。另外,就本章來說,指數(shù)函數(shù)是學習函數(shù)概念及基本性質(zhì)之后研究的第一個重要的函數(shù),讓學生學會研究一個新的具體函數(shù)的方法比學會本身的知識更重要。在這個過程中,所有的知識都是生疏的,在大腦中沒有形成基本的框架結(jié)構(gòu),需要老師的引導,使他們逐漸建立。數(shù)學中任何知識的形成都體現(xiàn)出它的思想與方法,因而授課中注重讓學生領悟其中的思想,運用其中的方法去學習新的知識,是非常重要的。
教學目標:
一、知識:
理解指數(shù)函數(shù)
4、的定義,能初步把握指數(shù)函數(shù)的圖像,性質(zhì)及其簡單應用。
二、過程與方法:
由實例引入指數(shù)函數(shù)的概念,利用描點作圖的方法做出指數(shù)函數(shù)的圖像,(有條件的話借助計算機演示驗證指數(shù)函數(shù)圖像)由圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。利用性質(zhì)解決實際問題。
三、能力:
1.通過指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究,培養(yǎng)學生觀察,分析和歸納的能力,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。
2.通過對指數(shù)函數(shù)的研究,使學生能把握函數(shù)研究的基本方法。
教學過程:
由實際問題引入:
問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…1個這樣的細胞分裂次后,得到的細胞的個數(shù)與之間的關系是什么?
分裂次數(shù)與細胞
5、個數(shù)
1,2;2,2×2=22;3,2×2×2=23;…………;x,2×2×……×2=2x
歸納:
問題2:某種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì),每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%,那么經(jīng)過年后剩留量與的關系是什么?
經(jīng)過1年,剩留量y=1×84%=0.841;經(jīng)過2年,剩留量y=0.84×0.84=0.842…………
經(jīng)過年,剩留量。
尋找異同:
你能從以上的兩個例子中得到的關系式里找到什么異同點嗎?
共同點:變量與構(gòu)成函數(shù)關系式,是指數(shù)的形式,自變量在指數(shù)位置,底數(shù)是常數(shù);不同點:底數(shù)的取值不同。
那么,今天我們來學習新的一個基本函數(shù):指數(shù)函數(shù)
得到指數(shù)函數(shù)的
6、定義:定義:形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。
在以前我們學過的函數(shù)中,一次函數(shù)用形如的形式表示,反比例函數(shù)用形如表示,二次函數(shù)表示。對于其一般形式上的系數(shù)都有相應的限制。 ?
問:為什么指數(shù)函數(shù)對底數(shù)有這樣的要求呢?
若時,恒等于0,沒有研究價值;當時,無意義。
若,當是無意義的,沒有研究價值。
若則=1,是一個常量,也沒有研究的必要。
所以有規(guī)定且。
由定義,我們可以對指數(shù)函數(shù)有一初步熟悉。
進一步理解函數(shù)的定義:
指數(shù)函數(shù)的定義域:在我們學過的指數(shù)運算中,指數(shù)可以是有理數(shù),當指數(shù)是無理數(shù)時,也是一個確定的實數(shù),對于無理數(shù),學過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則都適用,
7、所以指數(shù)函數(shù)的定義域為R.
研究函數(shù)的途徑:由函數(shù)的圖像的性質(zhì),從形與數(shù)兩方面研究。
學習函數(shù)的一個很重要的目標就是應用,那么首先要對函數(shù)作一研究,研究函數(shù)的圖像及性質(zhì),然后利用其圖像性質(zhì)去解決數(shù)學問題和實際問題。根據(jù)以往的經(jīng)驗,你會從那幾個角度考慮?(圖像的分布范圍,圖像的變化趨勢,…)圖像的分布情況與函數(shù)的定義域,值域有關,函數(shù)的變化趨勢體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性。引導學生從定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性,與坐標軸的交點情況著手開始。
首先我們做出指數(shù)函數(shù)的圖像,我們研究一般性的事物,常用的方法是:由特殊到一般。
我們以具體函數(shù)入手,讓學生以小組形式取不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)畫它們的圖像,將學生
8、畫的函數(shù)圖像展示,(畫函數(shù)的圖像的步驟是:列表,描點,連線。)。
最后,老師在黑板(電腦)上演示列表,描點,連線的過程,并且,畫出取不同的值時,函數(shù)的圖像。
要求學生描述出指數(shù)函數(shù)圖像的特征,并試著描述出性質(zhì)。
數(shù)學發(fā)展的歷史表明,每一個重要的數(shù)學概念的形成和發(fā)展,其中都有豐富的經(jīng)歷,新課程較好的體現(xiàn)了這點。對新課程背景下的學生而言,數(shù)學的知識應該是一個數(shù)學化的過程,即通過對常識材料進行細致的觀察、思考,借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動,對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工。該案例正是從數(shù)學研究和數(shù)學實驗的過程中進行設計。雖然學生的思維不一定真實的重演了人類對數(shù)學知
9、識探索的全過程,但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動,在探索中將數(shù)學數(shù)學化,從而才使學生對數(shù)學學習產(chǎn)生了樂趣,對數(shù)學的研究方法有了一定的了解。
雖然學生要學的數(shù)學是歷史上前人已建構(gòu)好了的,但對他們而言,仍是全新的、未知的,需要用他們自己的學習活動來再現(xiàn)類似的過程。該案例正是從創(chuàng)設問題情景作為教學設計的重要的內(nèi)容之一。教師應該把教學設計成學生動手操作、觀察猜想、揭示規(guī)律等一系列過程,側(cè)重于學生的探索、分析與思考,側(cè)重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數(shù)學能力。
教師的地位應由主導者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑д?,使教學活動真正成為學生的活動。在教學過程中,把學習的主動權(quán)交給學生,在時間和空間上保證學生在教師的指導下,學生能自己獨立自主的探究學習。使教學活動始終處于學生的“最近發(fā)展區(qū)”,使每一個學生通過自己的努力,在自己原有的基礎上都有所獲,都有提高。
總之,通過案例研究,不斷研究新教材、新理念,不斷調(diào)整教學策略優(yōu)化課堂教學,培養(yǎng)學生探究學習與創(chuàng)新學習能力將是我們在數(shù)學教學中要繼續(xù)探究的課題。
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