高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計 8 最小二乘估計課件 北師大版必修3

一條直線一條直線距離的平方和距離的平方和1回歸直線回歸直線如果兩個變量散點圖中點的分布從整體上看大致在如果兩個變量散點圖中點的分布從整體上看大致在 .附近，那么稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作附近，那么稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線回歸直線2最小二乘法最小二乘法求線性回歸方程求線性回歸方程ybxa時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的 最小的方法叫作最小二乘法其中最小的方法叫作最小二乘法其中a，b的值由以下的值由以下公式給出：公式給出： a，b是線性回歸方程的系數(shù)是線性回歸方程的系數(shù) 核心必知核心必知 1任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法得出線性任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法得出線性回歸方程嗎？回歸方程嗎？提示：用最小二乘法求回歸直線的方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點圖判斷)否則求出的線性回歸方程是無意義的2線性回歸方程是否經(jīng)過一定點？線性回歸方程是否經(jīng)過一定點？提示：線性回歸方程恒過定點( x ，y ) 問題思考問題思考 講一講講一講 1.下表是某旅游區(qū)游客數(shù)量與平均氣溫的對比表：下表是某旅游區(qū)游客數(shù)量與平均氣溫的對比表：若已知游客數(shù)量與平均氣溫是線性相關(guān)的，求線性回歸若已知游客數(shù)量與平均氣溫是線性相關(guān)的，求線性回歸方程方程平均氣溫平均氣溫)410131826數(shù)量數(shù)量202434385064自主解答x706353， y23061153，x21x22x261161001693246761 286，x1y1x2y2x6y620963401338185026643 474. 練一練練一練 1某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力和判斷力y進行統(tǒng)進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：計分析，得下表數(shù)據(jù)：已知記憶力已知記憶力x和判斷力和判斷力y是線性相關(guān)的，求線性回歸方是線性相關(guān)的，求線性回歸方程程x681012y2356 講一講講一講 2.某種產(chǎn)品的廣告費支出某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元單位：百萬元)與銷售額與銷售額y(單位：單位：百萬元百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： (1)畫出散點圖；畫出散點圖；(2)求線性回歸方程；求線性回歸方程；(3)預(yù)測當(dāng)廣告費支出為預(yù)測當(dāng)廣告費支出為7百萬元時的銷售額百萬元時的銷售額x24568y3040605070用線性回歸方程估計總體的一般步驟：用線性回歸方程估計總體的一般步驟：(1)作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；(2)如果散點在一條直線附近，用公式求出如果散點在一條直線附近，用公式求出a、b并寫出線性并寫出線性回歸方程；回歸方程；(3)根據(jù)線性回歸方程對總體進行估計根據(jù)線性回歸方程對總體進行估計練一練練一練 2假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用和所支出的維修費用y(單位：萬元單位：萬元)有如下的統(tǒng)計資料：有如下的統(tǒng)計資料：若由資料知若由資料知y對對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)回歸方程回歸方程ybxa的系數(shù)的系數(shù)a，b；(2)使用年限為使用年限為10年時，試估計維修費用是多少年時，試估計維修費用是多少使用年限使用年限x23456維修費用維修費用y2.23.85.56.57.0解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.0 x2i49162536x4， y5，5i1x2i90，5i1xiyi112.3b5i1xiyi5 xy5i1x2i5 x2112.3545905421.23，a yb x51.2340.08.(2)回歸方程是 y1.23x0.08，當(dāng) x10 時，y1.23100.0812.38(萬元)，即估計使用 10 年時維修費用是 12.38 萬元.有人統(tǒng)計了同一個省的有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值總值(即人均即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：下表：(1)畫出散點圖，并判定兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)畫出散點圖，并判定兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；系；(2)通過計算可得兩個變量的線性回歸方程為通過計算可得兩個變量的線性回歸方程為y23.25x102.25，假如一個城市的人均，假如一個城市的人均GDP為為12萬元，那么可以斷萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷人，請問這個斷言是否正確？言是否正確？人均人均1086431患白血病的兒患白血病的兒童數(shù)童數(shù)351312207175132180錯解錯解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如圖所示，從圖根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如圖所示，從圖可以看出，雖然后可以看出，雖然后5個點大致分布在一條直線的附近，但第個點大致分布在一條直線的附近，但第一個點離這條直線太遠，所以這兩個變量不具有線性相關(guān)一個點離這條直線太遠，所以這兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系關(guān)系(2)將將x12代入代入y23.25x102.25，得，得y23.2512102.25381.25380， 所以上述斷言是正確的所以上述斷言是正確的錯因錯因在第在第(1)問中，是否具有線性相關(guān)關(guān)系，要看問中，是否具有線性相關(guān)關(guān)系，要看大部分點、主流點是否分布在一條直線附近，個別點是不大部分點、主流點是否分布在一條直線附近，個別點是不影響影響“大局大局”的，所以可斷定這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)的，所以可斷定這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系在第系在第(2)問中，問中，381.25只是一個估計值，由它不能斷言只是一個估計值，由它不能斷言這個城市患白血病的兒童一定超過這個城市患白血病的兒童一定超過380人如果這個城市的人如果這個城市的污染很嚴(yán)重，有可能人數(shù)遠遠超過污染很嚴(yán)重，有可能人數(shù)遠遠超過380，若這個城市的環(huán)境，若這個城市的環(huán)境保護的很好，則人數(shù)就有可能遠遠低于保護的很好，則人數(shù)就有可能遠遠低于380.正解正解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如錯解圖所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如錯解圖所示，從圖可以看出，在從圖可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，但其余但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系具有線性相關(guān)關(guān)系(2)將將x12代入代入y23.25x102.25，得，得y23.2512102.25381.25380，即便如此，但因，即便如此，但因381.25只是一個估計只是一個估計值，會受其他情況的影響，所以不能斷言這個城市患白血值，會受其他情況的影響，所以不能斷言這個城市患白血病的兒童一定超過病的兒童一定超過380人人1已知 x 與 y 之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則 y 與 x 的線性回歸方程 ybxa 必過點()A(2,2)B(1.5,0)C(1,2)D(1.5,4)2工人工資工人工資y(元元)隨勞動生產(chǎn)率隨勞動生產(chǎn)率x(千元千元)變化的回歸直線方變化的回歸直線方程為程為y80 x50，則下列判斷正確的是，則下列判斷正確的是()A勞動生產(chǎn)率為勞動生產(chǎn)率為1 000元時，工資為元時，工資為130元元B勞動生產(chǎn)率提高勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資約提高元時，工資約提高80元元C勞動生產(chǎn)率提高勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資約提高元時，工資約提高130元元D當(dāng)月工資當(dāng)月工資210元時，勞動生產(chǎn)率為元時，勞動生產(chǎn)率為2 000元元解析：回歸直線的斜率為解析：回歸直線的斜率為80，所以，所以x每增加每增加1個單位，個單位，y約約增加增加80，即勞動生產(chǎn)率提高，即勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資提高約元時，工資提高約80元元答案：答案：B3(福建高考改編福建高考改編)已知已知x與與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為ybxa，若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和和(2,2)求得的直線方程求得的直線方程為為ybxa，則以下結(jié)論正確的是，則以下結(jié)論正確的是()Abb，aa Bbb，aa Cba Dbb，aax123456 y0213345某單位為了了解用電量某單位為了了解用電量y度與氣溫度與氣溫x之間的關(guān)系，隨之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程ybxa中中b2，預(yù)測當(dāng)，預(yù)測當(dāng)氣溫為氣溫為4 時，用電量的度數(shù)約為時，用電量的度數(shù)約為_氣溫氣溫)1813101用電量用電量243438646下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量程中記錄的產(chǎn)量x(噸噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照的幾組對照數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：(1)請畫出上表中數(shù)據(jù)的散點圖；請畫出上表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于關(guān)于x的線的線性回歸方程性回歸方程ybxa；(3)已知該廠技改前已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤(參考數(shù)值：參考數(shù)值：32.5435464.566.5)x3456y2.5344.5解：(1)散點圖如圖所示