高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 數(shù)學(xué)思想 一 函數(shù)與方程思想課件 理

一、函數(shù)與方程思想一、函數(shù)與方程思想思想解讀思想解讀思想解讀思想解讀應(yīng)用類型應(yīng)用類型函數(shù)的思想,就是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想.方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想.解決圖象交點或方程根的問題;解決最值或范圍問題;解決與不等式有關(guān)的問題;解決與數(shù)列有關(guān)的問題;解決與解析幾何、立體幾何有關(guān)的問題.總綱目錄應(yīng)用一 解決圖象交點或方程根的問題應(yīng)用二 解決最值或范圍問題應(yīng)用三 解決與不等式有關(guān)的問題應(yīng)用四 解決與數(shù)列有關(guān)的問題應(yīng)用五 解決與解析幾何、立體幾何有關(guān)的問題應(yīng)用一應(yīng)用一 解決圖象交點或方程根的問題解決圖象交點或方程根的問題例例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意xR,都有f(x+4)=f(x),且當(dāng)x-2,0時, f(x)=-6.若在區(qū)間(-2,6內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是 .13x答案答案(,2)34解析解析由f(x+4)=f(x)得函數(shù)f(x)的周期為4,若x0,2,則-x-2,0,則f(-x)=-6=3x-6,因為f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=3x-6=f(x),即f(x)=3x-6,x0,2,設(shè)g(x)=loga(x+2),作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖.13x當(dāng)a1時,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不同的實數(shù)根,等價于函數(shù)f(x)與g(x)=loga(x+2)有3個不同的交點,則滿足即(2)(2),(6)(6),gfgf解得a0時, f(x)=x3-2x2+3x-1,則f (x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),x=3,x=1是函數(shù)f(x)的極值點,又f(1)=, f(3)=-1,在(0,+)上f(x)的大致圖象如圖2所示.1313圖2f(x)的圖象與x軸在x(0,+)上有3個交點.綜上,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為5.故選D.應(yīng)用二應(yīng)用二 解決最值或范圍問題解決最值或范圍問題例例2已知a,b,c為平面上三個向量,又a,b是兩個相互垂直的單位向量,向量c滿足|c|=3,ca=2,cb=1,則對于任意實數(shù)x,y,|c-xa-yb|的最小值為 .答案答案2解析解析由題意可知|a|=|b|=1,ab=0,又|c|=3,ca=2,cb=1,所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xca-2ycb+2xyab=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時,(|c-xa-yb|2)min=4,所以|c-xa-yb|的最小值為2.【技法點評技法點評】 求最值或參數(shù)范圍的技巧(1)充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求字母為元的不等式(組)求解.(2)充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系,將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù),然后應(yīng)用函數(shù)知識求解.(3)當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時,應(yīng)構(gòu)建一元二次方程,再利用方程知識使問題巧妙解決.(4)當(dāng)問題中出現(xiàn)多個變量時,往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù).跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017湖南五市十校聯(lián)考)圓錐的母線長為L,過頂點的最大截面的面積為L2,則圓錐底面半徑與母線長的比的取值范圍是()A.0 B.1C.0 D.rLcos 45=L,所以0.121,2121,21278e2因此g(x)0,故g(x)在上單調(diào)遞增,則g(x)g=2-,所以a-=2-,解得a=2.所以a的取值集合為2.1,212121e1812e9494e94ee【技法點評技法點評】 解決不等式問題的方法及注意點(1)在解決不等式恒成立問題時,一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.(2)要注意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中,需要確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問題更明朗化,一般地,已知存在范圍的量為變量,而待求范圍的量為參數(shù).跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.函數(shù)f(x)的定義域為R, f(-1)=2,對任意xR, f (x)2,則f(x)2x+4的解集為()A.(-1,1) B.(-1,+)C.(-,-1) D.(-,+)答案答案 B設(shè)g(x)=f(x)-2x-4,則g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,g(x)=f (x)-20,則g(x)為增函數(shù).解g(x)0,即g(x)g(-1),得x-1,選B.2.若0 x1x2ln x2-ln x1 B.-x1 D.x2x1 2ex1ex2ex1ex1ex2ex1ex2ex答案答案 C設(shè)f(x)=ex-ln x(0 x1),則f (x)=ex-=,令f (x)=0,得xex-1=0.根據(jù)函數(shù)y=ex與y=的圖象可知兩函數(shù)圖象的交點x0(0,1),因此函數(shù)f(x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù),故A,B選項不正確.設(shè)g(x)=(0 x1),則g(x)=.又0 x1,g(x)0.函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù).又0 x1x2g(x2),1xe1xxx1xexx2e (1)xxxx2x1.故選C.1ex2ex應(yīng)用四應(yīng)用四 解決與數(shù)列有關(guān)的問題解決與數(shù)列有關(guān)的問題例例4已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式an;(2)在(1)的條件下,數(shù)列an的前n項和為Sn,設(shè)bn=+,若對任意的nN*,不等式bnk恒成立,求實數(shù)k的最小值.11nS21nS21nS解析解析(1)因為an是正項等差數(shù)列,所以d0,由題意知=a2(a4+1),又a1=2,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以數(shù)列an的通項公式an=2n.(2)易知Sn=n(n+1),則bn=+=+=-+-+-=-23a11nS21nS21nS1(1)(2)nn1(2)(3)nn12 (21)nn 11n12n12n13n12n121n11n121n=,令f(x)=2x+(x1),則f (x)=2-,當(dāng)x1時, f (x)0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函數(shù),故當(dāng)x=1時, f(x)min=f(1)=3,即當(dāng)n=1時,(bn)max=,要使對任意的正整數(shù)n,不等式bnk恒成立,2231nnn1123nn1x21x16則須使k(bn)max=,所以實數(shù)k的最小值為.1616【技法點評】【技法點評】數(shù)列最值問題中應(yīng)用函數(shù)與方程思想的常見類型:(1)數(shù)列中的恒成立問題,轉(zhuǎn)化為最值問題,利用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求解.(2)數(shù)列中的最大項與最小項問題,利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)或不等式組(n2,nN*)求解.(3)數(shù)列中前n項和的最值:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),借助二次函數(shù)的單調(diào)性或求使an0(an0)成立時最大的n值即可求解.11,nnnnaaaa11,nnnnaaaa跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017長沙統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,其中a2+a3=8,a5=3a2.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)記bn=,設(shè)bn的前n項和為Sn.求最小的正整數(shù)n,使得Sn.解析解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,依題意有解得a1=1,d=2,從而an的通項公式為an=2n-1.(2)因為bn=-,12nna a2 0162 017111238,433 ,adadad12nna a121n121n所以Sn=+=1-,令1-,解得n1 008,故n=1 009.11131135112121nn121n121n2 0162 017應(yīng)用五應(yīng)用五 解決與解析幾何、立體幾何有關(guān)的問題解決與解析幾何、立體幾何有關(guān)的問題例例5設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點,A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點,直線y=kx(k0)與直線AB相交于點D,與橢圓相交于E,F兩點.(1)若=6,求k的值;(2)求四邊形AEBF面積的最大值.EDDF解析解析(1)由題設(shè)條件可得,橢圓的方程為+y2=1,直線AB的方程為x+2y-2=0.設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即k=時,等號成立.故四邊形AEBF面積的最大值為2.【技法點評】【技法點評】解析幾何中的最值是高考的熱點,在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.1k122跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2015湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi),則原工件材料的利用率為( )新工件的體積材料利用率原工件的體積A. B.C. D. 8916934( 21)312( 21)答案答案 A原工件是一個底面半徑為1,高為2的圓錐,依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長方體,且落在圓錐底面上的面是正方形,設(shè)正方形的邊長為a,長方體的高為h,則0a,0h0,b0).若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是 .22xa22yb答案答案2解析解析如圖,不妨令|AB|=3,|BC|=2,雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,則AB的中點為F1,故|DF1|=,|DF2|=,根據(jù)雙曲線的定義知2a=1,又2c=2,所以該雙曲線的離心率為=2. 523222ca