高三數(shù)學二輪復習 第二篇 數(shù)學思想 一 函數(shù)與方程思想課件 理

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1、一、函數(shù)與方程思想一、函數(shù)與方程思想思想解讀思想解讀思想解讀思想解讀應用類型應用類型函數(shù)的思想,就是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系,建立函數(shù)關系或構造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題,從而使問題獲得解決的數(shù)學思想.方程的思想,就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系,建立方程或方程組,或者構造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質去分析、轉化問題,使問題獲得解決的數(shù)學思想.解決圖象交點或方程根的問題;解決最值或范圍問題;解決與不等式有關的問題;解決與數(shù)列有關的問題;解決與解析幾何、立體幾何有關的問題.總綱目錄應用一 解決圖象交點或方程根的問題應用二 解決最值或范圍

2、問題應用三 解決與不等式有關的問題應用四 解決與數(shù)列有關的問題應用五 解決與解析幾何、立體幾何有關的問題應用一應用一 解決圖象交點或方程根的問題解決圖象交點或方程根的問題例例1設f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意xR,都有f(x+4)=f(x),且當x-2,0時, f(x)=-6.若在區(qū)間(-2,6內關于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是 .13x答案答案(,2)34解析解析由f(x+4)=f(x)得函數(shù)f(x)的周期為4,若x0,2,則-x-2,0,則f(-x)=-6=3x-6,因為f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=3x-6=f(x)

3、,即f(x)=3x-6,x0,2,設g(x)=loga(x+2),作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖.13x當a1時,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不同的實數(shù)根,等價于函數(shù)f(x)與g(x)=loga(x+2)有3個不同的交點,則滿足即(2)(2),(6)(6),gfgf解得a0時, f(x)=x3-2x2+3x-1,則f (x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),x=3,x=1是函數(shù)f(x)的極值點,又f(1)=, f(3)=-1,在(0,+)上f(x)的大致圖象如圖2所示.1313圖2f(x)的圖象與x軸在x(0,+)上有3個交點.綜上,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為5.故選

4、D.應用二應用二 解決最值或范圍問題解決最值或范圍問題例例2已知a,b,c為平面上三個向量,又a,b是兩個相互垂直的單位向量,向量c滿足|c|=3,ca=2,cb=1,則對于任意實數(shù)x,y,|c-xa-yb|的最小值為 .答案答案2解析解析由題意可知|a|=|b|=1,ab=0,又|c|=3,ca=2,cb=1,所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xca-2ycb+2xyab=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,當且僅當x=2,y=1時,(|c-xa-yb|2)min=4,所以|c-xa-yb|的最小值為2.【技法點評技法點評】 求最值或參

5、數(shù)范圍的技巧(1)充分挖掘題設條件中的不等關系,構建以待求字母為元的不等式(組)求解.(2)充分應用題設中的等量關系,將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù),然后應用函數(shù)知識求解.(3)當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時,應構建一元二次方程,再利用方程知識使問題巧妙解決.(4)當問題中出現(xiàn)多個變量時,往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù).跟蹤集訓跟蹤集訓(2017湖南五市十校聯(lián)考)圓錐的母線長為L,過頂點的最大截面的面積為L2,則圓錐底面半徑與母線長的比的取值范圍是()A.0 B.1C.0 D.rLcos 45=L,所以0.121,2121,21278e2因此g(x)0,故g(x)在上單調遞增,則g(x)g

6、=2-,所以a-=2-,解得a=2.所以a的取值集合為2.1,212121e1812e9494e94ee【技法點評技法點評】 解決不等式問題的方法及注意點(1)在解決不等式恒成立問題時,一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質解決問題.(2)要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中,需要確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關系,使問題更明朗化,一般地,已知存在范圍的量為變量,而待求范圍的量為參數(shù).跟蹤集訓跟蹤集訓1.函數(shù)f(x)的定義域為R, f(-1)=2,對任意xR, f (x)2,則f(x)2x+4的解集為()A.(-1,1) B.(-1,+)C.(-,-1) D.(-,+)

7、答案答案 B設g(x)=f(x)-2x-4,則g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,g(x)=f (x)-20,則g(x)為增函數(shù).解g(x)0,即g(x)g(-1),得x-1,選B.2.若0 x1x2ln x2-ln x1 B.-x1 D.x2x1 2ex1ex2ex1ex1ex2ex1ex2ex答案答案 C設f(x)=ex-ln x(0 x1),則f (x)=ex-=,令f (x)=0,得xex-1=0.根據(jù)函數(shù)y=ex與y=的圖象可知兩函數(shù)圖象的交點x0(0,1),因此函數(shù)f(x)在(0,1)上不是單調函數(shù),故A,B選項不正確.設g(x)=(0 x1),則g(x)=.又0 x1,g

8、(x)0.函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù).又0 x1x2g(x2),1xe1xxx1xexx2e (1)xxxx2x1.故選C.1ex2ex應用四應用四 解決與數(shù)列有關的問題解決與數(shù)列有關的問題例例4已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式an;(2)在(1)的條件下,數(shù)列an的前n項和為Sn,設bn=+,若對任意的nN*,不等式bnk恒成立,求實數(shù)k的最小值.11nS21nS21nS解析解析(1)因為an是正項等差數(shù)列,所以d0,由題意知=a2(a4+1),又a1=2,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d

9、=2或d=-1(舍去),所以數(shù)列an的通項公式an=2n.(2)易知Sn=n(n+1),則bn=+=+=-+-+-=-23a11nS21nS21nS1(1)(2)nn1(2)(3)nn12 (21)nn 11n12n12n13n12n121n11n121n=,令f(x)=2x+(x1),則f (x)=2-,當x1時, f (x)0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函數(shù),故當x=1時, f(x)min=f(1)=3,即當n=1時,(bn)max=,要使對任意的正整數(shù)n,不等式bnk恒成立,2231nnn1123nn1x21x16則須使k(bn)max=,所以實數(shù)k的最小值為.1616【技法點評

10、】【技法點評】數(shù)列最值問題中應用函數(shù)與方程思想的常見類型:(1)數(shù)列中的恒成立問題,轉化為最值問題,利用函數(shù)的單調性或不等式求解.(2)數(shù)列中的最大項與最小項問題,利用函數(shù)的有關性質或不等式組(n2,nN*)求解.(3)數(shù)列中前n項和的最值:轉化為二次函數(shù),借助二次函數(shù)的單調性或求使an0(an0)成立時最大的n值即可求解.11,nnnnaaaa11,nnnnaaaa跟蹤集訓跟蹤集訓(2017長沙統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,其中a2+a3=8,a5=3a2.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)記bn=,設bn的前n項和為Sn.求最小的正整數(shù)n,使得Sn.解析解析(1)設等差數(shù)列an的公

11、差為d,依題意有解得a1=1,d=2,從而an的通項公式為an=2n-1.(2)因為bn=-,12nna a2 0162 017111238,433 ,adadad12nna a121n121n所以Sn=+=1-,令1-,解得n1 008,故n=1 009.11131135112121nn121n121n2 0162 017應用五應用五 解決與解析幾何、立體幾何有關的問題解決與解析幾何、立體幾何有關的問題例例5設橢圓中心在坐標原點,A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點,直線y=kx(k0)與直線AB相交于點D,與橢圓相交于E,F兩點.(1)若=6,求k的值;(2)求四邊形AEBF面積的最大

12、值.EDDF解析解析(1)由題設條件可得,橢圓的方程為+y2=1,直線AB的方程為x+2y-2=0.設D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即k=時,等號成立.故四邊形AEBF面積的最大值為2.【技法點評】【技法點評】解析幾何中的最值是高考的熱點,在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中,抓住函數(shù)關系,將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.1k122跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2015湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的長方體

13、新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用率為( )新工件的體積材料利用率原工件的體積A. B.C. D. 8916934( 21)312( 21)答案答案 A原工件是一個底面半徑為1,高為2的圓錐,依題意加工后的新工件是圓錐的內接長方體,且落在圓錐底面上的面是正方形,設正方形的邊長為a,長方體的高為h,則0a,0h0,b0).若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是 .22xa22yb答案答案2解析解析如圖,不妨令|AB|=3,|BC|=2,雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,則AB的中點為F1,故|DF1|=,|DF2|=,根據(jù)雙曲線的定義知2a=1,又2c=2,所以該雙曲線的離心率為=2. 523222ca