北京華羅庚學(xué)校三年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案5 盈虧問題

盈虧問題解盈虧問題，常常用到比較法。例1 三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng).如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊,則少2塊磚.這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？分析 比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊,就少2塊.這兩次搬磚，每人相差54=1（塊）.第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：7+2=9(塊）每人相差1塊,結(jié)果總數(shù)就相差9塊,所以有少先隊(duì)員9÷1=9（人)。共有磚:4×9743(塊）。解：（7+2）÷(5-4）=9（人）4×9+7=43（塊）或 5×9-2=43（塊)答：共有少先隊(duì)員9人,磚的總數(shù)是43塊.如果把例1中的“少2塊磚"改為“多1塊磚”,你能計(jì)算出有多少少先隊(duì)員，有多少塊磚嗎？由本題可見，解這類問題的思路是把盈余數(shù)與不足數(shù)之和看作采用兩種不同搬法產(chǎn)生的總差數(shù)，被每人搬磚的差即單位差除,就可得出單位的個(gè)數(shù),對(duì)這題來說就是搬磚的人數(shù).例2 媽媽買回一筐蘋果，按計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下,如果每天吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘋果;如果每天吃6個(gè)，則又少8個(gè)蘋果.那么媽媽買回的蘋果有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？分析 題中告訴我們每天吃4個(gè)，多出48個(gè)蘋果；每天吃6個(gè)，少8個(gè)蘋果。觀察每天吃的個(gè)數(shù)與蘋果剩余個(gè)數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個(gè)變?yōu)槊刻斐?個(gè)，也就是每天多吃2個(gè)時(shí)，蘋果從多出48個(gè)到少8個(gè)，也就是所需的蘋果總數(shù)要相差48856（個(gè)）。從這個(gè)對(duì)應(yīng)的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個(gè)2，就是所求的計(jì)劃吃的天數(shù)；有了計(jì)劃吃的天數(shù)，就不難求出共有多少個(gè)蘋果了.解：（48+8）÷（6-4）=56÷2=28（天）6×28-8=160（個(gè)）或 4×2848=160（個(gè)）答：媽媽買回蘋果160個(gè)，計(jì)劃吃28天。如果條件“每天吃4個(gè)，多出48個(gè)"不變,另一條件改為“每天吃6個(gè)，則還多出8個(gè)”，問蘋果應(yīng)該有多少個(gè),計(jì)劃吃多少天？分析 改題后每天吃的蘋果個(gè)數(shù)沒有變，也就是說每天多吃2個(gè)條件沒變,蘋果總數(shù)由原來多出48個(gè)變?yōu)槎喑?個(gè).那么所需蘋果總數(shù)要相差:488=40（個(gè)）解：（48-8）÷（6-4）=40÷220(天）4×2048=128(個(gè))或 6×208=128(個(gè)）答:有蘋果128個(gè),計(jì)劃吃20天.例3 學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué),如果每分種走60米,可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少?分析 小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60×10=600(米）;如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校,即到校后還可多走50×8=400（米）,第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-5010(米)，就可以多走600400=200（米）,從而可以求出小明由家到校所需時(shí)間。解：10分種走多少米？60×10600（米) 8分種走多少米？50×8400（米）需要多長(zhǎng)時(shí)間？(600-400）÷（6050）=20(分鐘）由家到校的路程:60×(20-10）=600（米)或：50×（208）=600（米)答：小明7點(diǎn)40分離家去上學(xué)剛好8時(shí)到校；小明的家離校有600米。例4 學(xué)校為新生分配宿舍.每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房間住5人，則空出3個(gè)房間.問宿舍有多少間？新生有多少人？分析 每個(gè)房間住3人，則多出23人，每個(gè)房間住5人，就空出3個(gè)房間，這3個(gè)房間如果住滿人應(yīng)該是5×315（人）.由此可見,每一個(gè)房間增加5-3=2（人）.兩次安排人數(shù)總共相差23+1538(人），因此,房間總數(shù)是：38÷2=19（間），學(xué)生總數(shù)是：3×19+2380（人）,或者5×19-5×3=80（人)。解：（23+5×3)÷（53）（2315)÷238÷219（間)3×19+23=80（人）或 5×195×380(人）。答：有19間宿舍,新生有80人。例5 少先隊(duì)員去植樹。如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵,這些樹苗正好種完.問有多少少先隊(duì)員參加植樹，一共種多少樹苗？分析 這是一道較難的盈虧問題,主要難在對(duì)第二個(gè)已知條件的理解上:如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完。這組條件中包含著兩種種樹的情況2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種6棵，那么,就可以多種樹（64）×24（棵）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種；如果每人種6棵樹苗,還缺4棵。問有多少少先隊(duì)員，一共種多少樹苗?解：3+（6-4）×2÷（6-5）7（人）5×7+338（棵)或6×7-438（棵）答：有7個(gè)少先隊(duì)員,一共種38棵樹。例6 紅山小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游.如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人,恰多余了一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？分析 每車多坐5人,實(shí)際是每車可坐5+6570（人)，恰好多余了一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人。因而原問題轉(zhuǎn)化為：如果每車坐65人,則多出5人無車乘坐;如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？解：（5+5+65）÷5=15（輛）65×155=980(人）或（565）×（15-1)=980(人）答：一共有15輛汽車，980名學(xué)生.盈虧問題 習(xí)題1。阿姨給幼兒園小朋友分餅干.如果每人分3塊，則多出16塊餅干;如果每人分5塊，那么就缺4塊餅干.問有多少小朋友,有多少塊餅干？2.某校同學(xué)排隊(duì)上操.如果每行站9人，則多37人；如果每行站12人，則少20人。一共有多少學(xué)生？3.小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米?4。少先隊(duì)員參加綠化植樹，他們準(zhǔn)備栽的蘋果樹苗是梨樹苗的2倍。如果每人栽3棵梨樹苗，還余2棵；如果每人栽7棵蘋果樹苗,要少6棵.問有多少少先隊(duì)員？他們準(zhǔn)備栽多少棵蘋果樹和梨樹？5.學(xué)校進(jìn)行大掃除,分配若干人擦玻璃，其中兩人各擦4塊,其余各擦5塊,則余12塊；若每人擦6塊,則正好擦完，求擦玻璃的人數(shù)及玻璃的塊數(shù)？ 答案1.解:（4+16）÷(5-3）=10(人)3×10+1646（塊）答：有10個(gè)小朋友,有46塊餅干。2。解:（37+20）÷（12-9）=19（行)9×19+37208（人）答：共有學(xué)生208人。3。解：遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：50×3=150(米）提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：60×2120（米）（150120）÷（6050）=27(分鐘）50×(27+3）1500（米）答:小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是1500米。4.解:每人栽3×2（棵）則余2×2（棵）；每人栽7棵則少6棵（2×2+6）÷(73×2)=10（人）;7×10-664(棵）64÷232（棵）或 3×102=32（棵）答：有少先隊(duì)員10人,要栽蘋果樹苗64棵，梨樹32棵。5。解：由其中兩人各擦4塊、其余各擦5塊則余12塊，可知，若每人都擦5塊，則余12(5-4）×2=10塊，而每人擦6塊則正好.可見每人多擦一塊可把余下的10塊擦完.則擦玻璃人數(shù)是12-（54）×2÷（6-5）=10(人)，玻璃的塊數(shù)是6×10=60（塊）。答:有10人擦玻璃,共有60塊玻璃.