北師大數(shù)學(xué)北師大版九上第2章 測試卷(2)教案
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第二章 一元二次方程測試卷(2) 關(guān)注“初中教師園地”公眾號 2019秋季各科最新備課資料陸續(xù)推送中 快快告訴你身邊的小伙伴們吧~ 一.選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分.每小題給出4個選項,其中只有一個是正確的) 1.(3分)把方程x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,則a、b、c的值分別是( ) A.1,﹣3,10 B.1,7,﹣10 C.1,﹣5,12 D.1,3,2 2.(3分)一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為( ?。? A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 3.(3分)如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么k的取值范圍是( ) A.k> B.k>且k≠0 C.k< D.k≥且k≠0 4.(3分)用換元法解方程﹣=3時,設(shè)=y,則原方程可化為( ?。? A.y﹣﹣3=0 B.y﹣﹣3=0 C.y﹣+3=0 D.y﹣+3=0 5.(3分)等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的兩個根,則這個三角形的周長是( ) A.11 B.10 C.11或10 D.不能確定 6.(3分)若分式的值為零,則x的值為( ?。? A.3 B.3或﹣3 C.0 D.﹣3 7.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情況為( ?。? A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根 8.(3分)在某次聚會上,每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,設(shè)有x人參加這次聚會,則列出方程正確的是( ) A.x(x﹣1)=10 B.=10 C.x(x+1)=10 D.=10 9.(3分)某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個,第二季度共生產(chǎn)零件182萬個.設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是( ?。? A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)2=182 10.(3分)已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根,且x1+x2=﹣2,x1?x2=1,則ba的值是( ?。? A. B.﹣ C.4 D.﹣1 11.(3分)定義運算:a?b=a(1﹣b).若a,b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的兩根,則b?b﹣a?a的值為( ?。? A.0 B.1 C.2 D.與m有關(guān) 12.(3分)使用墻的一邊,再用13m的鐵絲網(wǎng)圍成三邊,圍成一個面積為20m2的長方形,求這個長方形的兩邊長.設(shè)墻的對邊長為xm,可得方程( ) A.x(13﹣x)=20 B.x?=20 C.x(13﹣x)=20 D.x?=20 二.填空題(每小題3分,共12分) 13.(3分)方程x2﹣3=0的根是 . 14.(3分)當(dāng)k= 時,方程x2+(k+1)x+k=0有一根是0. 15.(3分)設(shè)m,n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數(shù)根,則m2+3m+n= ?。? 16.(3分)寫出以4,﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程是 ?。? 三.解答題(本題有7小題,共52分) 17.(10分)解方程 (1)x2﹣4x﹣5=0 (2)3x(x﹣1)=2﹣2x. 18.(5分)試證明關(guān)于x的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0無論a取何值,該方程都是一元二次方程. 19.(6分)某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室,要求長與寬的比為2:1.在溫室內(nèi),沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地,其它三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道.當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時,蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2? 20.(8分)某種商品的標(biāo)價為400元/件,經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件,并且兩次降價的百分率相同. (1)求該種商品每次降價的百分率; (2)若該種商品進價為300元/件,兩次降價共售出此種商品100件,為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元.問第一次降價后至少要售出該種商品多少件? 21.(6分)閱讀下面的例題, 范例:解方程x2﹣|x|﹣2=0, 解:(1)當(dāng)x≥0時,原方程化為x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合題意,舍去). (2)當(dāng)x<0時,原方程化為x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合題意,舍去). ∴原方程的根是x1=2,x2=﹣2 請參照例題解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0. 22.(8分)龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣,以200元/件的價格出售,每周可售出100件.為了促銷,該商場決定降價銷售,盡快減少庫存.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種上衣每降價5元/件,每周可多售出20件.另外,每周的房租等固定成本共3000元.該商場要想每周盈利8000元,應(yīng)將每件上衣的售價降低多少元? 23.(9分)如圖,在△ABC中,∠B=90,AB=6厘米,BC=8厘米.點P從A點開始沿A邊向點B以1厘米/秒的速度移動(到達點B即停止運動),點Q從C點開始沿CB邊向點B以2厘米/秒的速度移動(到達點C即停止運動). (1)如果P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一? (2)如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā),而且動點P從A點出發(fā),沿AB移動(到達點B即停止運動),動點Q從C出發(fā),沿CB移動(到達點C即停止運動),幾秒鐘后,P、Q相距6厘米? (3)如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā),而且動點P從A點出發(fā),沿AB移動(到達點B即停止運動),動點Q從C出發(fā),沿CB移動(到達點B即停止運動),是否存在一個時刻,PQ同時平分△ABC的周長與面積?若存在求出這個時刻的t 值,若不存在說明理由. 參考答案與試題解析 一.選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分.每小題給出4個選項,其中只有一個是正確的) 1.(3分)把方程x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,則a、b、c的值分別是( ) A.1,﹣3,10 B.1,7,﹣10 C.1,﹣5,12 D.1,3,2 【考點】一元二次方程的一般形式. 【專題】壓軸題;推理填空題. 【分析】a、b、c分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項. 【解答】解:由方程x(x+2)=5(x﹣2),得 x2﹣3x+10=0, ∴a、b、c的值分別是1、﹣3、10; 故選A. 【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a≠0),在一般形式中ax2叫二次項,bx叫一次項,c是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項. 2.(3分)一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為( ?。? A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 【考點】解一元二次方程-配方法. 【分析】先把方程的常數(shù)項移到右邊,然后方程兩邊都加上32,這樣方程左邊就為完全平方式. 【解答】解:x2﹣6x﹣5=0, x2﹣6x=5, x2﹣6x+9=5+9, (x﹣3)2=14, 故選:A. 【點評】本題考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0):先把二次系數(shù)變?yōu)?,即方程兩邊除以a,然后把常數(shù)項移到方程右邊,再把方程兩邊加上一次項系數(shù)的一半. 3.(3分)如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么k的取值范圍是( ) A.k> B.k>且k≠0 C.k< D.k≥且k≠0 【考點】根的判別式. 【專題】壓軸題. 【分析】若一元二次方程有兩不等根,則根的判別式△=b2﹣4ac>0,建立關(guān)于k的不等式,求出k的取值范圍. 【解答】解:由題意知,k≠0,方程有兩個不相等的實數(shù)根, 所以△>0,△=b2﹣4ac=(2k+1)2﹣4k2=4k+1>0. 又∵方程是一元二次方程,∴k≠0, ∴k>且k≠0. 故選B. 【點評】總結(jié):一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系: (1)△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根; (2)△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根; (3)△<0?方程沒有實數(shù)根. 注意方程若為一元二次方程,則k≠0. 4.(3分)用換元法解方程﹣=3時,設(shè)=y,則原方程可化為( ?。? A.y﹣﹣3=0 B.y﹣﹣3=0 C.y﹣+3=0 D.y﹣+3=0 【考點】換元法解分式方程. 【分析】把y=代入原方程,移項即可得到答案. 【解答】解:設(shè)=y, 則原方程可化為:y﹣=3,即y﹣﹣3=0, 故選:A. 【點評】本題主要考查換元法解分式方程,用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法,根據(jù)方程特點設(shè)出相應(yīng)未知數(shù),解方程能夠使問題簡單化. 5.(3分)等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的兩個根,則這個三角形的周長是( ?。? A.11 B.10 C.11或10 D.不能確定 【考點】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關(guān)系;等腰三角形的性質(zhì). 【專題】計算題;一次方程(組)及應(yīng)用. 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值,確定出底與腰,即可求出周長. 【解答】解:方程分解得:(x﹣3)(x﹣4)=0, 解得:x1=3,x2=4, 若3為底,4為腰,三角形三邊為3,4,4,周長為3+4+4=11; 若3為腰,4為底,三角形三邊為3,3,4,周長為3+3+4=10. 故選C. 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵. 6.(3分)若分式的值為零,則x的值為( ?。? A.3 B.3或﹣3 C.0 D.﹣3 【考點】分式的值為零的條件;解一元二次方程-直接開平方法;解一元一次不等式. 【專題】計算題. 【分析】分式的值為0的條件是:(1)分子為0;(2)分母不為0.兩個條件需同時具備,缺一不可.據(jù)此可以解答本題. 【解答】解:由題意,可得x2﹣9=0且2x﹣6≠0, 解得x=﹣3. 故選D. 【點評】本題主要考查分式的值為0的條件.由于該類型的題易忽略分母不為0這個條件,所以常以這個知識點來命題. 7.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情況為( ?。? A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根 【考點】根的判別式. 【分析】先求出△的值,再判斷出其符號即可. 【解答】解:∵a=1,b=﹣1,c=﹣1, ∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣41(﹣1)=5>0, ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根, 故選:A. 【點評】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵. 8.(3分)在某次聚會上,每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,設(shè)有x人參加這次聚會,則列出方程正確的是( ) A.x(x﹣1)=10 B.=10 C.x(x+1)=10 D.=10 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程. 【專題】其他問題;壓軸題. 【分析】如果有x人參加了聚會,則每個人需要握手(x﹣1)次,x人共需握手x(x﹣1)次;而每兩個人都握了一次手,因此要將重復(fù)計算的部分除去,即一共握手:次;已知“所有人共握手10次”,據(jù)此可列出關(guān)于x的方程. 【解答】解:設(shè)x人參加這次聚會,則每個人需握手:x﹣1(次); 依題意,可列方程為:=10; 故選B. 【點評】理清題意,找對等量關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵;需注意的是本題中“每兩人都握了一次手”的條件,類似于球類比賽的單循環(huán)賽制. 9.(3分)某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個,第二季度共生產(chǎn)零件182萬個.設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是( ) A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)2=182 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程. 【專題】增長率問題;壓軸題. 【分析】主要考查增長率問題,一般增長后的量=增長前的量(1+增長率),如果該廠五、六月份平均每月的增長率為x,那么可以用x分別表示五、六月份的產(chǎn)量,然后根據(jù)題意可得出方程. 【解答】解:依題意得五、六月份的產(chǎn)量為50(1+x)、50(1+x)2, ∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182. 故選B. 【點評】增長率問題,一般形式為a(1+x)2=b,a為起始時間的有關(guān)數(shù)量,b為終止時間的有關(guān)數(shù)量. 10.(3分)已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根,且x1+x2=﹣2,x1?x2=1,則ba的值是( ?。? A. B.﹣ C.4 D.﹣1 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系. 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和已知x1+x2和x1?x2的值,可求a、b的值,再代入求值即可. 【解答】解:∵x1,x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根, ∴x1+x2=﹣a=﹣2,x1?x2=﹣2b=1, 解得a=2,b=﹣, ∴ba=(﹣)2=. 故選:A. 【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系,將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法. 11.(3分)定義運算:a?b=a(1﹣b).若a,b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的兩根,則b?b﹣a?a的值為( ?。? A.0 B.1 C.2 D.與m有關(guān) 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系. 【專題】新定義. 【分析】(方法一)由根與系數(shù)的關(guān)系可找出a+b=1,根據(jù)新運算找出b?b﹣a?a=b(1﹣b)﹣a(1﹣a),將其中的1替換成a+b,即可得出結(jié)論. (方法二)由根與系數(shù)的關(guān)系可找出a+b=1,根據(jù)新運算找出b?b﹣a?a=(a﹣b)(a+b﹣1),代入a+b=1即可得出結(jié)論. 【解答】解:(方法一)∵a,b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的兩根, ∴a+b=1, ∴b?b﹣a?a=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b(a+b﹣b)﹣a(a+b﹣a)=ab﹣ab=0. (方法二)∵a,b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的兩根, ∴a+b=1. ∵b?b﹣a?a=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b﹣b2﹣a+a2=(a2﹣b2)+(b﹣a)=(a+b)(a﹣b)﹣(a﹣b)=(a﹣b)(a+b﹣1),a+b=1, ∴b?b﹣a?a=(a﹣b)(a+b﹣1)=0. 故選A. 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是找出a+b=1.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之積與兩根之和是關(guān)鍵. 12.(3分)使用墻的一邊,再用13m的鐵絲網(wǎng)圍成三邊,圍成一個面積為20m2的長方形,求這個長方形的兩邊長.設(shè)墻的對邊長為xm,可得方程( ?。? A.x(13﹣x)=20 B.x?=20 C.x(13﹣x)=20 D.x?=20 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程. 【專題】幾何圖形問題. 【分析】根據(jù)鐵絲網(wǎng)的總長度為13m,長方形的面積為20m2,來列出關(guān)于x的方程,由題意可知,墻的對邊為xm,則長方形的另一對邊為m,則可利用面積公式求出即可. 【解答】解:設(shè)墻的對邊長為x m,可得方程:x=20. 故選:B. 【點評】本題主要考查長方形的周長和長方形的面積公式,得出矩形兩邊長是解題關(guān)鍵. 二.填空題(每小題3分,共12分) 13.(3分)方程x2﹣3=0的根是 x=?。? 【考點】解一元二次方程-直接開平方法. 【專題】計算題;一次方程(組)及應(yīng)用. 【分析】方程變形后,利用平方根定義開方即可求出x的值. 【解答】解:方程整理得:x2=3, 開方得:x=, 故答案為:x= 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法,熟練掌握平方根定義是解本題的關(guān)鍵. 14.(3分)當(dāng)k= 0 時,方程x2+(k+1)x+k=0有一根是0. 【考點】一元二次方程的解. 【專題】計算題. 【分析】將x=0代入已知的方程中,得到關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到滿足題意k的值. 【解答】解:將x=0代入方程x2+(k+1)x+k=0得:k=0, 則k=0時,方程x2+(k+1)x+k=0有一根是0. 故答案為:0 【點評】此題考查了一元二次方程的解,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值. 15.(3分)設(shè)m,n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數(shù)根,則m2+3m+n= 2016?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系. 【專題】計算題. 【分析】先利用一元二次方程根的定義得到m2=﹣2m+2018,則m2+3m+n可化簡為2018+m+n,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=﹣2,然后利用整體代入的方法計算. 【解答】解:∵m為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的實數(shù)根, ∴m2+2m﹣2018=0,即m2=﹣2m+2018, ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n, ∵m,n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數(shù)根, ∴m+n=﹣2, ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016. 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=﹣,x1x2=.也考查了一元二次方程根的定義. 16.(3分)寫出以4,﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程是 x2+x﹣20=0?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系. 【專題】計算題. 【分析】先簡單4與﹣5的和與積,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出滿足條件的方程. 【解答】解:∵4+(﹣5)=﹣1,4(﹣5)=﹣20, ∴以4,﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程為x2+x﹣20=0. 故答案為x2+x﹣20=0. 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程兩個為x1,x2,則x1+x2=﹣,x1?x2=. 三.解答題(本題有7小題,共52分) 17.(10分)解方程 (1)x2﹣4x﹣5=0 (2)3x(x﹣1)=2﹣2x. 【考點】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】(1)根據(jù)因式分解法可以解答本題; (2)先移項,然后提公因式可以解答此方程. 【解答】解:(1)x2﹣4x﹣5=0 (x﹣5)(x+1)=0 ∴x﹣5=0或x+1=0, 解得,x1=5,x2=﹣1; (2)3x(x﹣1)=2﹣2x 3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0 (3x+2)(x﹣1)=0 ∴3x+2=0或x﹣1=0, 解得,. 【點評】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法,解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點,選取合適的因式分解法解答方程. 18.(5分)試證明關(guān)于x的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0無論a取何值,該方程都是一元二次方程. 【考點】一元二次方程的定義. 【專題】證明題. 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義,只需證明此方程的二次項系數(shù)a2﹣8a+20不等于0即可. 【解答】證明:∵a2﹣8a+20=(a﹣4)2+4≥4, ∴無論a取何值,a2﹣8a+20≥4,即無論a取何值,原方程的二次項系數(shù)都不會等于0, ∴關(guān)于x的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0,無論a取何值,該方程都是一元二次方程. 【點評】一元二次方程有四個特點:(1)只含有一個未知數(shù);(2)含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2;(3)是整式方程;(4)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0時,應(yīng)滿足a≠0.要判斷一個方程是否為一元二次方程,先看它是否為整式方程,若是,再對它進行整理.如果能整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,則這個方程就為一元二次方程. 19.(6分)某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室,要求長與寬的比為2:1.在溫室內(nèi),沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地,其它三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道.當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時,蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2? 【考點】一元二次方程的應(yīng)用. 【專題】幾何圖形問題. 【分析】本題有多種解法.設(shè)的對象不同則列的一元二次方程不同.設(shè)矩形溫室的寬為xm,則長為2xm,根據(jù)矩形的面積計算公式即可列出方程求解. 【解答】解:解法一:設(shè)矩形溫室的寬為xm,則長為2xm, 根據(jù)題意,得(x﹣2)?(2x﹣4)=288, ∴2(x﹣2)2=288, ∴(x﹣2)2=144, ∴x﹣2=12, 解得:x1=﹣10(不合題意,舍去),x2=14, 所以x=14,2x=214=28. 答:當(dāng)矩形溫室的長為28m,寬為14m時,蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2. 解法二:設(shè)矩形溫室的長為xm,則寬為xm.根據(jù)題意,得(x﹣2)?(x﹣4)=288. 解這個方程,得x1=﹣20(不合題意,舍去),x2=28. 所以x=28,x=28=14. 答:當(dāng)矩形溫室的長為28m,寬為14m時,蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2. 【點評】解答此題,要運用含x的代數(shù)式表示蔬菜種植矩形長與寬,再由面積關(guān)系列方程. 20.(8分)某種商品的標(biāo)價為400元/件,經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件,并且兩次降價的百分率相同. (1)求該種商品每次降價的百分率; (2)若該種商品進價為300元/件,兩次降價共售出此種商品100件,為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元.問第一次降價后至少要售出該種商品多少件? 【考點】一元二次方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用. 【分析】(1)設(shè)該種商品每次降價的百分率為x%,根據(jù)“兩次降價后的售價=原價(1﹣降價百分比)的平方”,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可得出結(jié)論; (2)設(shè)第一次降價后售出該種商品m件,則第二次降價后售出該種商品(100﹣m)件,根據(jù)“總利潤=第一次降價后的單件利潤銷售數(shù)量+第二次降價后的單件利潤銷售數(shù)量”,即可得出關(guān)于m的一元一次不等式,解不等式即可得出結(jié)論. 【解答】解:(1)設(shè)該種商品每次降價的百分率為x%, 依題意得:400(1﹣x%)2=324, 解得:x=10,或x=190(舍去). 答:該種商品每次降價的百分率為10%. (2)設(shè)第一次降價后售出該種商品m件,則第二次降價后售出該種商品(100﹣m)件, 第一次降價后的單件利潤為:400(1﹣10%)﹣300=60(元/件); 第二次降價后的單件利潤為:324﹣300=24(元/件). 依題意得:60m+24(100﹣m)=36m+2400≥3210, 解得:m≥22.5. ∴m≥23. 答:為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元.第一次降價后至少要售出該種商品23件. 【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系得出關(guān)于x的一元二次方程;(2)根據(jù)數(shù)量關(guān)系得出關(guān)于m的一元一次不等式.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出不等式(方程或方程組)是關(guān)鍵. 21.(6分)閱讀下面的例題, 范例:解方程x2﹣|x|﹣2=0, 解:(1)當(dāng)x≥0時,原方程化為x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合題意,舍去). (2)當(dāng)x<0時,原方程化為x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合題意,舍去). ∴原方程的根是x1=2,x2=﹣2 請參照例題解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0. 【考點】解一元二次方程-因式分解法. 【專題】閱讀型. 【分析】分為兩種情況:(1)當(dāng)x≥1時,原方程化為x2﹣x=0,(2)當(dāng)x<1時,原方程化為x2+x﹣2=0,求出方程的解即可. 【解答】解:x2﹣|x﹣1|﹣1=0, (1)當(dāng)x≥1時,原方程化為x2﹣x=0,解得:x1=1,x2=0(不合題意,舍去). (2)當(dāng)x<1時,原方程化為x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合題意,舍去). 故原方程的根是x1=1,x2=﹣2. 【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能正確去掉絕對值符號. 22.(8分)龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣,以200元/件的價格出售,每周可售出100件.為了促銷,該商場決定降價銷售,盡快減少庫存.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種上衣每降價5元/件,每周可多售出20件.另外,每周的房租等固定成本共3000元.該商場要想每周盈利8000元,應(yīng)將每件上衣的售價降低多少元? 【考點】一元二次方程的應(yīng)用. 【分析】設(shè)每件上衣應(yīng)降價x元,則每件利潤為(80﹣x)元,本題的等量關(guān)系為:每件上衣的利潤每天售出數(shù)量﹣固定成本=8000. 【解答】解:設(shè)每件上衣應(yīng)降價x元,則每件利潤為(80﹣x)元, 列方程得:(80﹣x)(100+x)﹣3000=8000, 解得:x1=30,x2=25 因為為了促銷,該商場決定降價銷售,盡快減少庫存, 所以x=30. 答:應(yīng)將每件上衣的售價降低30元. 【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解. 23.(9分)如圖,在△ABC中,∠B=90,AB=6厘米,BC=8厘米.點P從A點開始沿A邊向點B以1厘米/秒的速度移動(到達點B即停止運動),點Q從C點開始沿CB邊向點B以2厘米/秒的速度移動(到達點C即停止運動). (1)如果P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一? (2)如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā),而且動點P從A點出發(fā),沿AB移動(到達點B即停止運動),動點Q從C出發(fā),沿CB移動(到達點C即停止運動),幾秒鐘后,P、Q相距6厘米? (3)如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā),而且動點P從A點出發(fā),沿AB移動(到達點B即停止運動),動點Q從C出發(fā),沿CB移動(到達點B即停止運動),是否存在一個時刻,PQ同時平分△ABC的周長與面積?若存在求出這個時刻的t 值,若不存在說明理由. 【考點】三角形綜合題. 【分析】(1)設(shè)經(jīng)過t秒鐘,△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一,根據(jù)題意得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,由,△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值; (2)在Rt△PQB中,根據(jù)勾股定理列方程即可; (3)分兩種情況:①當(dāng)PQ平分△ABC面積時,計算出這時的t=5﹣,同時計算這時PQ所截△ABC的周長是否平分;②當(dāng)PQ平分△ABC周長時,計算出這時的t=,此時△PBQ的面積是否為,計算即可. 【解答】解:(1)設(shè)經(jīng)過t秒鐘,△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一, 由題意得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t, 2t(6﹣t)=68, 解得:t=2或4, ∵0≤t≤4, ∴t=2或4符合題意, 答:經(jīng)過2或4秒鐘,△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一; (2)在Rt△PQB中,PQ2=BQ2+PB2, ∴62=(2t)2+(6﹣t)2, 解得:t1=0(舍),t2=, 答:秒鐘后,P、Q相距6厘米; (3)由題意得:PB=6﹣t,BQ=8﹣2t, 分兩種情況: ①當(dāng)PQ平分△ABC面積時, S△PBQ=S△ABC, (6﹣t)(8﹣2t)=86, 解得:t1=5+,t2=5﹣, ∵Q從C到B,一共需要82=4秒,5+>4, ∴t1=5+不符合題意,舍去, 當(dāng)t2=5﹣時,AP=5﹣,BP=6﹣(5﹣)=1+,BQ=8﹣2(5﹣)=2﹣2,CQ=2(5﹣)=10﹣2, PQ將△ABC的周長分為兩部分: 一部分為:AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3, 另一部分:PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1, 25﹣3≠3﹣1, ②當(dāng)PQ平分△ABC周長時, AP+AC+CQ=PB+BQ, 10+2t+t=6﹣t+8﹣2t, t=, 當(dāng)t=時,PB=6﹣=, BQ=8﹣2=, ∴S△PBQ==≠12, 綜上所述,不存在這樣一個時刻,PQ同時平分△ABC的周長與面積. 【點評】本題是動點運動問題,在三角形中的動點問題,首先要確定兩個動點的:路線、路程、速度、時間,表示出時間為t時的路程是哪一條線段的長,根據(jù)已知條件列等式或方程,解出即可.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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