七年級數(shù)學(xué)下冊 第四章 三角形 4 用尺規(guī)作三角形 直角三角形全等的判定、尺規(guī)作圖、測距離試題 北師大版.doc

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直角三角形全等的判定、尺規(guī)作圖、測距離 知識點(diǎn)一：直角三角形的判定 1.直角三角形全等的判定條件——HL 　　如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等. 2.直角三角形全等的判定方法的綜合運(yùn)用. 　　判定兩個(gè)直角三角形全等的方法有五種，即SSS、SAS，ASA.AAS，HL. 3.判定條件的選擇技巧 （1）上述五種方法是判定兩直角三角形全等的方法，但有些方法不可能運(yùn)用.如SSS，因?yàn)橛袃蛇厡?yīng)相等就能夠判定兩個(gè)直角三角形全等. （2）判定兩個(gè)直角三角形全等，必須有一組對應(yīng)邊相等. （3）證明兩個(gè)直角三角形全等，可以從兩個(gè)方面思考： ①是有兩邊相等的，可以先考慮用HL，再考慮用SAS； ②是有一銳角和一邊的，可考慮用ASA或AAS. 例1.如圖所示，有兩個(gè)長度相等的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長度DF相等，則∠ABC＋∠DFE=________. 分析： 本題解決問題的關(guān)鍵是證明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我們也知道三角形全等是解決問題的有力工具. 解： 由現(xiàn)實(shí)意義及圖形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90.又因?yàn)锽C=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因?yàn)椤螦CB＋∠ABC=90，故∠ABC＋∠DFE=90. 例2.如圖所示，△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD，DE.DF分別垂直于AB.AC，垂足為E.F.求證BE=CF. 解： 　　在△AED和△AFD中， ∠DEA=∠DFA（垂直的定義）∠BAD=∠CAD（角平分線的定義）AD=AD（公共邊） 　　所以△AED≌△AFD（AAS）. 　　所以DE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. 　　在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD（已知）DE=DF（已證） 　　所以Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）. 　　所以BE= CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. 例3.如圖所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F(xiàn)為垂足，求證：CF=DF. 分析： 　　　要證CF=DF，可連接AC.AD后，證△ACF≌△ADF即可. 證明： 　　連結(jié)AC.AD.在△ABC和△AED中， 　　 　　所以AC＝AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. 　　因?yàn)锳F⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90（垂直定義）. 　　在Rt△ACF和Rt△ADF中， AC=AD（已證）AF=AF（公共邊） 　　所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）. 　　所以CF=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. 例4.已知在△ABC與△A′B′C′中，CD.C′D′分別是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，試判斷△ABC與△A′B′C′是否全等，說說你的理由. 分析： 　　分析已知條件，涉及到三角形的高線，而三角形的高線有在三角形內(nèi)、外或形上三種情形，故需分類討論. 解： 　　情形一，如果△ABC與△A′B′C′都為銳角三角形，如圖所示. 　　因?yàn)镃D.C′D′分別是△ABC.△A′B′C′的高. 　　所以∠ADC=∠A′D′C′=90. 　　在△ADC和△A′D′C′中 　　 　　∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，則∠A=∠A′. 　　在△ABC與△A′B′C′中， 　　 　　∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 　　情形二，當(dāng)△ABC為銳角三角形，△A′B′C′為鈍角三角形，如圖. 　　顯然△ABC與△A′B′C′不全等. 　　情形三，當(dāng)△ABC與△A′B′C′都為鈍角三角形時(shí)，如圖. 　　由CD.C′D′分別為△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90， 　　在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′ 　　∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′. 　　∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC與△A′B′C′中 　　 　　∴△ABC≌△A′B′C′. 　　例5.閱讀下題及證明過程： 　　如圖，已知D是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求證：∠ABE=∠ACE. 　　證明：在△ABE和△ACE中 　　 　　∴△ABE≌△ACE　　第一步 　　∴∠ABE=∠ACE　　 第二步 　　上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的根據(jù)，若不正確，請指出錯(cuò)在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程. 分析： 　　用三角形全等的判定條件去判斷，易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)在第一步，它不符合全等三角形的條件，因此需另辟途徑.由題設(shè)知，當(dāng)結(jié)論成立時(shí)，必有△ABE≌△ACE，而由已知條件不能求證這兩個(gè)三角形全等，故需將這兩個(gè)三角形中重新構(gòu)造出全等三角形. 解： 　　上面的證明過程不正確，錯(cuò)在第一步，正確的證明過程如下： 　　過E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如圖所示 　　則∠BGE=∠CHE=90 　　在△AGE與△AHE中 　　 　　∴△AGE≌△AHE 　　∴EG=EH 　　在Rt△BGE與Rt△CHE中，EG=EH， 　　BE=CE. 　　∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE. 例6.已知：如圖所示，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD.（1）求證：BE⊥AC；（2）若把條件BF=AC和結(jié)論BE⊥AC互換，那么這個(gè)命題成立嗎？ （1）證明：因?yàn)锳D⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90（垂直定義），∠1＋∠2=90（直角三角形兩銳角互余）. 　　在Rt△BDF和Rt△ADC中， BF=AC（已知）FD=CD（已知） 　　所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）. 　　所以∠2=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）. 　　因?yàn)椤?＋∠2=90（已證），所以∠1＋∠C=90. 　　因?yàn)椤?＋∠C＋∠BEC=180（三角形內(nèi)角和等于180）， 　　所以∠BEC=90. 　　所以BE⊥AC（垂直定義）； （2）證明：命題成立，因?yàn)锽E⊥AC，AD⊥BC， 　　所以∠BDF=∠ADC=90（垂直定義）. 　　所以∠1＋∠C=90，∠DAC＋∠C=90. 　　所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）. 　　在△BFD與△ACD中， ∠1=∠DAC（已證）∠BDF=∠ADC=90（已證）FD=CD（已知） 　　所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. 知識二：利用三角形全等測距離 通過探索三角形全等，得到了“邊邊邊”，“邊角邊”，“角邊角”，“角角邊”定理，用這些定理能夠判斷兩個(gè)三角形是否全等，掌握了這些知識，就具備了“利用三角形全等測距離”的理論基礎(chǔ)．體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，能夠利用三角形全等解決生活中的實(shí)際問題． 　　在解決實(shí)際問題時(shí)確定方案使不能直接測量的物體間的距離轉(zhuǎn)化為可以測量的距離（即把距離的測量轉(zhuǎn)化為三角形全等的問題）． 例1.如圖，有一湖的湖岸在A.B之間呈一段圓弧狀，A.B間的距離不能直接測得．你能用已學(xué)過的知識或方法設(shè)計(jì)測量方案，求出A.B間的距離嗎？ 答案： 　　要測量A.B間的距離，可用如下方法： 　　（1）過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取兩點(diǎn)C.D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A.C.E在一條直線上，根據(jù)“角邊角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．即測出DE的長就是A.B之間的距離．（如圖甲） 　 　?。?）從點(diǎn)B出發(fā)沿湖岸畫一條射線BF，在BF上截取BC＝CD，過點(diǎn)D作DE∥AB，使A.C.E在同一直線上，這時(shí)△EDC≌△ABC，則DE＝BA．即DE的長就是A.B間的距離．（如圖乙） 例2.如圖、小紅和小亮兩家分別位于A.B兩處隔河相望，要測得兩家之間的距離，請你設(shè)計(jì)出測量方案． 分析： 　　本題的測量方案實(shí)際上是利用三角形全等的知識構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使一個(gè)三角形在河岸的同一邊，通過測量這個(gè)三角形中與AB相等的線段的長，就可求出兩家的距離． 方案： 　　如圖，在點(diǎn)B所在的河岸上取點(diǎn)C，連接BC并延長到D，使CD＝CB，利用測角儀器使得∠B＝∠D，A.C.E三點(diǎn)在同一直線上．測量出DE的長，就是AB的長．因?yàn)椤螧＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE． 知識點(diǎn)三：尺規(guī)作圖 1.用尺規(guī)作三角形的根據(jù)是三角形全等的條件. 2.尺規(guī)作圖的幾何語言 　?、龠^點(diǎn)、點(diǎn)作直線；或作直線；或作射線； 　?、谶B接兩點(diǎn)；或連接； 　　③延長到點(diǎn)；或延長（反向延長）到點(diǎn)，使＝；或延長交于點(diǎn)； 　　④在上截?。?； 　?、菀渣c(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓（或?。?； 　?、抟渣c(diǎn)為圓心，的長為半徑作弧，交于點(diǎn)； 　　⑦分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，以、的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)、． 3.用尺規(guī)作圖具有以下三個(gè)步驟 　?、僖阎寒?dāng)題目是文字語言敘述時(shí)，要學(xué)會(huì)根據(jù)文字語言用數(shù)學(xué)語言寫出題目中的條件； 　?、谇笞鳎耗芨鶕?jù)題目寫出要求作出的圖形及此圖形應(yīng)滿足的條件； 　?、圩鞣ǎ耗芨鶕?jù)作圖的過程寫出每一步的操作過程.當(dāng)不要求寫作法時(shí)，一般要保留作圖痕跡. 對于較復(fù)雜的作圖，可先畫出草圖，使它同所要作的圖大致相同，然后借助草圖尋找作法. 例1.已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形． 　　 已知： ∠α，∠β，線段c(如圖)． 　　　求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c． 　　　請按照給出的作法作出相應(yīng)的圖形． 例2.如圖，已知線段a，b，c，滿足a＋b>c，用尺規(guī)作圖法作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c. 　　錯(cuò)誤作法：(1)作線段AB＝c； 　　（2）作線段BC＝a； 　?。?）連接AC，則△ABC就是所求作的三角形(如圖). 分析： 　　本題第2步作線段BC＝a，在哪個(gè)方向作，∠CBA的度數(shù)是多少是不確定，所以這步的作法不正確，不能保證AC的長一定等于b．錯(cuò)誤的原因在于沒有真正理解用尺規(guī)作三角形的方法． 正確作法： 　?。?）作射線CE； 　?。?）在射線CE上截取CB＝a； 　?。?）分別以C，B為圓心，b，c長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A．連接AC.AB，則△ABC為所求作的三角形(如圖)． 例3.已知兩邊和其中一邊上的中線，求作三角形． 　　已知線段A.b 和 m． 　　求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的中線等于m. 分析： 　　如果BC已作出，則只要確定頂點(diǎn)A．由于AD是中線，則D為BC的中點(diǎn)，A在以D為圓心，m為半徑的圓上，又AC＝b，點(diǎn)A也在以C為圓心b為半徑的圓上，因此點(diǎn)A是這兩個(gè)軌跡的交點(diǎn)． 作法： 　　1.作線段BC＝a． 　　2.分別以B.C為圓心，大于c長為半徑畫弧，在BC兩側(cè)各交于一點(diǎn)M、N，連接M、N交BC于點(diǎn)D． 　　3.分別以D為圓心，m長為半徑作弧，以C為圓心，b長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A． 　　4.分別連接AB.AC． 　　則△ABC就是所求作的三角形． 思考： 　　假定△ABC已經(jīng)作出，其中 BC＝a，AC＝b，中線 AD＝m．顯然，在△ADC中，AD＝m，DC＝12a，AC＝b，所以△ADC若先作出．然后由BD＝12a的關(guān)系，可求得頂點(diǎn)B的位置，同樣可以作出△ABC．作法請同學(xué)們自己寫出． 達(dá)標(biāo)測試： 1.如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B.C，且BD=CD，求證：AD平分∠BAC. 證明： ∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴∠B=∠C=90 在Rt△ABD和Rt△ACD中 　　 ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠1=∠2 ∴AD平分∠BAC. 2.如圖，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD和BC相交于點(diǎn)E，求證：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD. 證明： （1）∵AB⊥BD，AC⊥CD 　　∴∠ABD=∠ACD=90 　　在Rt△ABD和Rt△ACD中 　　 　　∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) 　　∴∠1=∠2 　　在△ABE和△ACE中 　　 ∴△ABE≌△ACE（SAS） 　　∴BE=CE 　　即CE=BE （2）∵△ABE≌△ACE 　　∴∠3=∠4 　　又∵∠3＋∠4=180 　　∴∠3=90 　　∴CB⊥AD 3.如圖，已知一個(gè)角∠AOB，你能否只用一塊三角板作出它的平分線嗎？說明方法與理由. 解： 能. 作法：（1）在OA，OB上分別截取OM=ON ?。?）過M作MC⊥OA，過N作ND⊥OB，MC交ND于P ?。?）作射線OP 　　　　則OP為∠AOB的平分線 　　　　證明：∵M(jìn)C⊥OA.ND⊥OB 　　　　∴∠1=∠2=90 　　　　在Rt△OMP和Rt△ONP中 　　　　 　　　　∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL） 　　　　∴∠3=∠4 　　　　∴OP平分∠AOB. 4.如圖，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能證明AM=AN嗎？ 解：能. 理由如下： 　　∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90 　　在Rt△ABC和Rt△ADE中 　　 　　∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） 　　∴∠C=∠E，AC=AE 　　在△AMC和△ANE中 　　 　　∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN. 5.如圖，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E.F，且AE=BF，AD=BC，則 　（1）△ADF和△BEC全等嗎？為什么？ ?。?）CM與DN相等嗎？為什么？ 解： （1）△ADF≌△BCE，理由如下： 　　∵CE⊥AB，DF⊥AB 　　∴∠1=∠2=∠3=∠4=90 　　又∵AE=BF，∴AF=BE 　　在Rt△ADF和Rt△BCE中 　　 　　∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） 　?。?）CM=DN，理由如下： 　　∵△ADF≌△BCE 　　∴DF=CE，∠A=∠B 　　在△AME和△BNF中 　　 　　∴△AME≌△BNF（ASA） 　　∴ME=NF，又∵CE=DF 　　∴MC=ND. 6.如圖所示，已知線段a，b，∠α，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α，根據(jù)作圖在下面空格中填上適當(dāng)?shù)奈淖只蜃帜福? 　　（1）如圖甲所示，作∠MCN＝________； 　　（2）如圖乙所示，在射線CM上截取BC＝________，在射線CN上截取AC＝________． 　　（3）如圖丙所示，連接AB，△ABC就是_________． 答案：∠α，a，b，所求作的三角形. 7.已知線段a及銳角α，求作：三角形ABC，使∠C＝90，∠B＝∠α，BC＝A． 作法：（1）作∠MCN＝90； 　　　（2）以C為圓心，a為半徑，在CM上截取CB＝a； 　　?。?）以B為頂點(diǎn)，BC為一邊作∠ABC＝∠α，交CN于點(diǎn)A． 　　　連接AB，則△ABC即為所求作的三角形． 8.你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是貝貝和晶晶玩蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是橫板AB的中點(diǎn)，AB可以繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)A端落地時(shí)，∠OAC＝20． 　?。?）橫板上下可轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度（即∠A′OA）是多少？ 　?。?）在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA′，BB′有何數(shù)量關(guān)系？為什么？ 解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20， 　　　∴∠AOC＝90－20＝70， 　　　同理可求∠B′OC＝70， 　　　∴∠AOA′＝180－270＝40； （2）AA′＝BB′， 　　 如圖所示，連接AA′、BB′， 　　 ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， 　　 ∴△A′AB′≌△BB′A， 　　 ∴AA′＝BB′． 9.有一池塘，要測池塘兩端A.B間的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CD＝CA，連接BC并延長到E，使CE＝CB，連接DE，量出DE的長，這個(gè)長就是A.B之間的距離。 　?。?）按題中要求畫圖. 　?。?）說明DE＝AB的理由，并試著把說明的過程寫出來。 解：（1）如圖． 　?。?）因?yàn)樵凇鰽BC和△DEC中， CA=CD∠ACB=∠DCECB=CE, 　　　　所以△ABC≌△DEC. 　　　　所以DE＝AB. 10.如圖：小剛站在河邊的A點(diǎn)處，在河的對面（小剛的正北方向）的B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹C處，接著再向前走了20步到達(dá)D處，然后他左轉(zhuǎn)90直行，當(dāng)小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時(shí)，他共走了100步． 　　（1）根據(jù)題意，畫出示意圖； 　?。?）如果小剛一步大約50厘米，估計(jì)小剛在點(diǎn)A處時(shí)他與電線塔的距離，并說明理由． 解：（1）所畫示意圖如下： （2）在△ABC和△DEC中， ∠D＝∠A，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB， 所以△ABC≌△DEC， 所以AB＝DE， 又因?yàn)樾偣沧吡?00步，其中AD走了40步， 所以走完DE用了60步， 因?yàn)橐徊酱蠹s50厘米，即DE＝600.5米＝30米． 答：小剛在點(diǎn)A處時(shí)他與電線塔的距離為30米． 課后作業(yè)： 1.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（?。? A．一銳角和斜邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 B．一銳角和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 C．兩銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 D．有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩直角三角形全等 2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90，∠A=∠B′，AB=A′B′，下列結(jié)論正確的是（?。? A．AC=A′C′　　　　　　　　　　　　　 B．BC=B′C′ C．AC=B′C′　　　　　　　　　　　　　 D．∠B=∠B′ 3.如圖，AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形有（　） A．1對　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2對 C．3對　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4對 4.如圖，在△ABC中，∠C=90，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，若AB=8cm，則△DEB的周長為（　） A．4cm　　　　　　　　　　　　　　　　 B．6cm C．8cm　　　　　　　　　　　　　　　　 D．10cm 5.如圖，已知∠ADB=∠ACB=90，AC=BD，且AC.BD交于點(diǎn)O，則下列說法正確的有（?。? 　①AD=BC　　　　?、凇螪BC=∠CAD　　　　　③AO=BO　　　?、蹵B∥CD　　　?、荨鱀OC為等腰三角形 A．2個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　　 B．3個(gè) C．4個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　　 D．5個(gè) 6.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′，已知∠C=∠C′=90，∠A=∠A′，若要判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，還可以補(bǔ)充的一個(gè)條件是（?。? 　　　　?、佟螧=∠B′　　　?、贏B=A′B′　　　?、跙C=B′C′　　　?、蹵C=A′C′ A．①②③　　　 　　　　　　　　　　　 B．②③④ C．①③④　　　　　　　　 　　　　　　 D．①②④ 7.如圖，從下列四個(gè)條件：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′中，任取三個(gè)為題設(shè)，余下的一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確命題的個(gè)數(shù)是（?。? A．1個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4個(gè) 8.如圖，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足為E.F，則在下列條件中選擇一個(gè)就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　） ?、佟螧=∠C　　　　②AB∥CD　　　?、跙E=CF　　　?、蹵F=DE A．①②③　　　 　　　　　　　　　　　 B．②③④ C．①②④　　　　　　　 　　　　　　　 D．①②③④ 9.如圖，AB∥CD，AC∥BD，AD.BC相交于點(diǎn)O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形共（?。? A．5　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．6 C．7　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．8 10.考查下列命題 ?。?）兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 　（2）兩角和其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. ?。?）兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)銳角三角形全等. ?。?）兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 　其中正確命題的個(gè)數(shù)有（?。? A．4個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　　 B．3個(gè) C．2個(gè)　　　　　　　　　　　　　　　　 D．1個(gè) CCDCD BBDCB 11. 如圖，在△ABC中，E.F分別是AB.AC上的點(diǎn)．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即：①②③，①③②，②③①． (1)試判斷上述三個(gè)命題是否正確(直接作答)； (2)請證明你認(rèn)為正確的例題． 解析： (1)①②③，正確；①③②，錯(cuò)誤；②③①，正確． (2)先證①②③．如圖1， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，而AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴DE=DF．∠ADE=∠ADF． 設(shè)AD與EF交于G，則△DEG≌△DFG，因此∠DGE=∠DGF， 進(jìn)而有∠DGE=∠DGF=90，故AD⊥EF． 再證②③①（用后面學(xué)習(xí)的圓的知識證明）． 如圖2，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OE.OF． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴OE，OF分別是Rt△ADE，Rt△ADF斜邊上的中線， 即點(diǎn)O到A.E.D.F的距離相等，因此四點(diǎn)A.E.D.F在以O(shè)為圓心，12a AD為半徑的圓上，AD是直徑．于是EF是⊙O的弦，而EF⊥AD, ∴AD平分，即，故∠DAE=∠DAF,即AD平分∠BAC. 12.下列判斷中錯(cuò)誤的是(　) A．有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．有一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等 答案：B 解析：有兩邊和一角對應(yīng)相等包括兩類：邊角邊和邊邊角，而邊邊角不能判定兩個(gè)三角形全等． 作業(yè)二 1.根據(jù)已知條件作符合條件的三角形，在作圖過程中主要依據(jù)是（?。? A．用尺規(guī)作一條線段等于已知線段 B．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角 C．用尺規(guī)作一條線段等于已知線段和作一個(gè)角等于已知角 D．不能確定 2.已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個(gè)三角形時(shí)，第一步驟應(yīng)為（?。? A．作一條線段等于已知線段 B．作一個(gè)角等于已知角 C．作兩條線段等于已知三角形的邊，并使其夾角等于已知角 D．先作一條線段等于已知線段或先作一個(gè)角等于已知角 3.如圖，將兩根鋼條AA′、BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′、BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測量工件，由三角形全等得出A′B′的長等于內(nèi)槽寬AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（?。? A．邊角邊　　　　　　　　　B．角邊角 C．邊邊邊　　　　　　　　　D．角角邊 4.已知三邊作三角形時(shí)，用到所學(xué)知識是（　） A．作一個(gè)角等于已知角 B．作一個(gè)角使它等于已知角的一半 C．在射線上取一線段等于已知線段 D．作一條直線的平行線或垂線 5.已知線段a，b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的中線AD＝m，作法合理的順序依次為（　）． ①延長CD到B，使BD＝CD；②連接AB；③作△ADC，使DC＝12a a，AC＝b，AD＝m． A．③①②　　　　　　　　　B．①②③ C．②③①　　　　　　　　　D．③②① 6.要測量河兩岸相對的兩點(diǎn)A.B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C.D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A.C.E在一條直線上，可以證明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此測得ED的長就是AB的長（如圖），判定△EDC≌△ABC的理由是（?。? A．邊角邊　　　　　　　　　B．角邊角 C．邊邊邊　　　　　　　　　D．斜邊直角邊 CDACAB