2019版高考數(shù)學(xué) 10.5 古 典 概 型課件.ppt

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第五節(jié)古典概型 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 基本事件的特點 任何兩個基本事件是 的 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 事件的和 互斥 基本 2 古典概型的定義 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型 簡稱古典概型 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件 每個基本事件出現(xiàn)的可能性 3 古典概型的概率公式 P A 只有有限個 相等 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 古典概型中的基本事件都是互斥的 2 任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 列舉法 樹狀圖法等 2 數(shù)學(xué)思想 分類討論思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 某袋中裝有大小均勻的三個紅球 兩個黑球 一個白球 那么每種顏色的球被摸到的可能性相同 2 從 3 2 1 0 1 2中任取一數(shù) 取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同 3 分別從3名男同學(xué) 4名女同學(xué)中各選一名作代表 那么每個同學(xué)當(dāng)選的可能性相同 4 利用古典概型的概率公式求 在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點 這點到正方形中心距離小于或等于1 的概率 5 從長為1的線段AB上任取一點C 求滿足AC 的概率是多少 是古典概型 解析 1 錯誤 摸到紅球的概率為 摸到黑球的概率為 摸到白球的概率為 所以 1 錯 2 正確 取到小于0的數(shù)的概率為 取到不小于0的概率也為 所以 2 正確 3 錯誤 男同學(xué)當(dāng)選的概率為 女同學(xué)當(dāng)選的概率為 所以 3 錯 4 錯誤 由正方形內(nèi)點的個數(shù)具有無限性 與古典概型不符 所以 4 錯 5 錯誤 因為線段上的點及所取的點不具有古典概型所滿足的有限性 所以 5 錯 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修3P125例1改編 從1 2 3 4 5中隨機(jī)取出三個不同的數(shù) 則其和為偶數(shù)的基本事件個數(shù)為 A 4B 5C 6D 7 解析 選C 從5個數(shù)中取出3個不同的數(shù)共有 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 10種不同結(jié)果 其中和為偶數(shù)的有6種結(jié)果 2 必修3P145T5改編 盒中裝有形狀 大小完全相同的5個球 其中紅色球3個 黃色球2個 若從中隨機(jī)取出2個球 則所取出的2個球顏色不同的概率為 解析 從5個球中任取2個球有 10 種 取法 2個球顏色不同的取法有 6 種 故所求概率為答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 廣東模擬 在圓周上有10個等分點 以這些點為頂點 每3個點可以構(gòu)成一個三角形 如果隨機(jī)選擇3個點 剛好構(gòu)成直角三角形的概率是 解析 選C 從10個點中任取三個有種方法 能構(gòu)成直角三角形時 必須有兩點連線為直徑 這樣的直徑有5條 因為能構(gòu)成直角三角形5 8 40個 所以概率P 2 2014 江蘇高考 從1 2 3 6這4個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù) 則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是 解析 從1 2 3 6這4個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù) 共有結(jié)果為 1 2 1 3 1 6 2 3 2 6 3 6 所取2個數(shù)積為6的共有 1 6 2 3 兩種結(jié)果 故概率為 答案 3 2013 上海高考 盒子中裝有編號為1 2 3 4 5 6 7 8 9的九個球 從中任意取出兩個 則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是 結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示 解析 9個數(shù)5個奇數(shù) 4個偶數(shù) 根據(jù)題意知 所求概率為1 答案 考點1基本事件及事件的構(gòu)成 典例1 有兩顆正四面體的玩具 其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4 下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗 用 x y 表示結(jié)果 其中x表示第1顆正四面體玩具底面出現(xiàn)的點數(shù) y表示第2顆正四面體玩具底面出現(xiàn)的點數(shù) 試寫出 1 試驗的基本事件 2 事件 底面出現(xiàn)點數(shù)之和大于3 3 事件 底面出現(xiàn)點數(shù)相等 解題提示 每個基本事件對應(yīng)著兩個數(shù)字的一個組合 符合其他條件的事件關(guān)鍵是看兩個數(shù)字之間的關(guān)系 規(guī)范解答 1 這個試驗的基本事件為 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 2 事件 出現(xiàn)點數(shù)之和大于3 包含以下13個基本事件 1 3 1 4 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 3 事件 底面出現(xiàn)點數(shù)相等 包含以下四個基本事件 1 1 2 2 3 3 4 4 規(guī)律方法 古典概型中基本事件的探求方法 1 枚舉法 適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的 2 樹狀圖法 適合較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求 注意在確定基本事件時 x y 可以看成是有序的 如 1 2 與 2 1 不同 有時也可以看成是無序的 如 1 2 2 1 相同 變式訓(xùn)練 1 高一 2 班有4個學(xué)習(xí)小組 從中抽出2個小組進(jìn)行作業(yè)檢查 在這個試驗中 基本事件的個數(shù)為 A 2B 4C 6D 8 解析 選C 設(shè)這4個學(xué)習(xí)小組為A B C D 從中任抽取兩個小組 的基本事件有AB AC AD BC BD CD 共6個 2 用紅 黃 藍(lán)三種不同顏色給圖中3個矩形隨機(jī)涂色 每個矩形只涂一種顏色 求 1 3個矩形顏色都相同的概率 2 3個矩形顏色都不同的概率 解析 所有可能的基本事件共有27個 如圖所示 1 記 3個矩形都涂同一顏色 為事件A 由圖知事件A的基本事件有1 3 3 個 故P A 2 記 3個矩形顏色都不同 為事件B 由圖可知事件B的基本事件有2 3 6 個 故P B 加固訓(xùn)練 甲 乙兩人出拳游戲 石頭 剪子 布 所有可能的基本事件有個 解析 所有可能的基本事件為 石頭 石頭 石頭 剪子 石頭 布 剪子 剪子 剪子 布 布 布 共6種 答案 6 考點2簡單的古典概型問題 典例2 1 2014 廣東高考 從字母a b c d e中任取兩個不同字母 則取到字母a的概率為 2 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文 數(shù)學(xué) 外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié) 則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 用數(shù)字作答 解題提示 1 先列舉出所有的基本事件 并計算出其個數(shù) 再找出符合條件的事件所含基本事件的個數(shù) 然后用概率公式求解 2 相鄰兩節(jié)文化課最多間隔1節(jié)藝術(shù)課 含有每2節(jié)文化課之間1節(jié)藝術(shù)課 2節(jié)文化課排在一起 3節(jié)文化課排在一起 規(guī)范解答 1 因為從字母a b c d e中任取兩個不同字母 不考慮先后順序共有10種取法 分別是 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 其中取到字母a的有4種 a b a c a d a e 所求概率為P 答案 2 當(dāng)每兩節(jié)文化課之間都有一節(jié)藝術(shù)課時 共有 72種排法 當(dāng)有兩節(jié)文化課排在一起時 共有 216種排法 當(dāng)三節(jié)文化課排在一起時 共有 144種排法 所以在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為答案 易錯警示 解答本題 1 有兩點容易出錯 1 列舉基本事件時 不按規(guī)律列舉 導(dǎo)致結(jié)果出錯 2 兩個字母沒有排序 如果按有序排列 則不合題意 導(dǎo)致解答錯誤 互動探究 本例 2 條件不變 則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率 解析 相鄰兩節(jié)文化課間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法有 144種 所以所求概率為 規(guī)律方法 1 求古典概型概率的基本步驟 1 算出所有基本事件的個數(shù)n 2 求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m 3 代入公式P A 求出P A 2 基本事件個數(shù)的確定方法 1 列舉法 此法適合于基本事件較少的古典概型 2 列表法 此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗 也可看成是坐標(biāo)法 變式訓(xùn)練 1 2015 北京模擬 一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲 讓孩子把分別寫有 1 3 1 4 的四張卡片隨機(jī)排成一行 若卡片按從左到右的順序排成 1314 則孩子會得到父母的獎勵 那么孩子受到獎勵的概率為 解析 選A 先從4個位置中選一個排4 再從剩下位置中選一個排3 所有可能的排法有4 3 12種 滿足要求的排法只有1種 因此 所求概率為P 2 在集合A 2 3 中隨機(jī)取一個元素m 在集合B 1 2 3 中隨機(jī)取一個元素n 得到點P m n 則點P落在圓x2 y2 9內(nèi)部的概率為 解析 點P的取法有2 3 6種 點P在圓內(nèi)部 則m2 n2 9 所以m 2 n 1或2 因此 所求概率P 答案 加固訓(xùn)練 1 2015 嘉興模擬 如圖給定6個點 任意相鄰兩點距離為1 A B C D E F組成正三角形點陣 在其中任意取兩個點 則兩點間的距離為2的概率是 解析 選B 從6個點中選出2個的選法共有15種 若使得取出的兩點中距離為2 有 D F三種 所以P 2 從分別寫有A B C D E的5張卡片中任取2張 這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率是 解析 從5張卡片中任取2張 所有的基本事件為AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共10組 設(shè) 2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰 為事件M 則M包含AB BC CD DE 共4組 所以P M 答案 考點3較復(fù)雜的古典概型問題知 考情較復(fù)雜的古典概型問題是高考命題的重點內(nèi)容之一 其命題方向是古典概型與平面幾何 函數(shù) 統(tǒng)計交匯命題等 其解決方法是尋找其基本事件以及所含事件的個數(shù) 然后利用古典概型的概率公式求解 明 角度命題角度1 古典概型與平面幾何知識交匯命題 典例3 2014 陜西高考 從正方形四個頂點及其中心這5個點中 任取2個點 則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為 解題提示 根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計算即可得到結(jié)論 規(guī)范解答 選B 從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中 隨機(jī) 等可能 取兩點 共有 10條線段 滿足該兩點間的距離小于1的有AO BO CO DO共4條線段 則根據(jù)古典概型的概率公式可知隨機(jī) 等可能 取兩點 則該兩點間的距離小于1的概率P 命題角度2 古典概型與函數(shù)零點交匯命題 典例4 2015 哈爾濱模擬 設(shè)a 1 2 3 4 b 2 4 8 12 則函數(shù)f x x3 ax b在區(qū)間 1 2 上有零點的概率為 解題提示 注意函數(shù)f x 在 1 2 上是增函數(shù) 函數(shù)f x 有零點 則需滿足f 1 f 2 0 規(guī)范解答 選C 因為f x x3 ax b 所以f x 3x2 a 因為a 1 2 3 4 所以f x 0 所以函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 上為增函數(shù) 若存在零點 則解得a 1 b 8 2a 因此可使函數(shù)在區(qū)間 1 2 上有零點的有 a 1 2 b 10 故b 2 b 4 b 8共有3種情況 a 2 3 b 12 故b 4 b 8 b 12共有3種情況 a 3 4 b 14 故b 4 b 8 b 12共有3種情況 a 4 5 b 16 故b 8 b 12共有2種情況 所以有零點共有3 3 3 2 11種情況 而構(gòu)成函數(shù)共有4 4 16個 根據(jù)古典概型可得有零點的概率為 悟 技法1 與平面幾何有關(guān)概率的求法 1 結(jié)合幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征 找到符合條件的基本事件總數(shù) 2 根據(jù)事件的幾何特征求出其基本事件數(shù) 3 代入古典概型公式 2 與函數(shù)零點有關(guān)概率的求法與函數(shù)零點有關(guān)的概率的求法 依據(jù)題設(shè)條件將問題轉(zhuǎn)化為求基本事件個數(shù)與求出所求事件含有基本事件的個數(shù) 最后利用公式求出概率 通 一類1 2015 哈爾濱模擬 m 2 1 0 1 2 3 n 3 2 1 0 1 2 且方程 1有意義 則方程 1可表示不同的雙曲線的概率為 解析 選D 由題設(shè)知或1 時有不同取法3 3 9種 2 時有不同取法2 2 4種 所以 所求概率P 2 2015 杭州模擬 一項 過關(guān)游戲 規(guī)則規(guī)定 在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次 如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)的和大于2n 則算過關(guān) 則某人連過前二關(guān)的概率是 解析 選A 在第一關(guān) 要投擲一顆骰子一次 這1次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)大于2 即過關(guān) 分析可得 共有6種結(jié)果 投擲一次過關(guān)的情況有3 4 5 6 共四種 故過第一關(guān)的概率為 在第二關(guān) 要投擲一顆骰子二次 這2次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)的和大于4 即過關(guān) 分析可得 共有36種結(jié)果 點數(shù)小于等于4的情況有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 共6種 所以出現(xiàn)大于4的有30種 故過第二關(guān)的概率為 故連過前兩關(guān)的概率是 3 2015 宿遷模擬 已知k Z k 1 2 4 若 4 則 ABC是直角三角形的概率是 解析 因為 4 所以因為k Z 所以k 3 2 1 0 1 2 3 當(dāng) ABC為直角三角形時 應(yīng)有AB AC 或AB BC 或AC BC 由 0得2k 4 0 所以k 2 因為 2 k 3 由 0得k 2 k 3 0 所以k 1或3 由 0得2 2 k 12 0 所以k 8 舍去 故使 ABC為直角三角形的k值為 2 1或3 所以所求概率P 答案 4 2015 沈陽模擬 設(shè)集合A x x2 3x 10 0 x Z 從集合A中任取兩個元素a b且a b 0 則方程 1表示焦點在x軸上的雙曲線的概率為 解析 A x 20 b 0 滿足條件的有 1 1 2 1 3 1 4 1 共4種 所求概率P 答案 自我糾錯27求古典概型的概率問題 典例 小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球 唱歌還是去下棋 游戲規(guī)則為以O(shè)為起點 再從A1 A2 A3 A4 A5 A6 如圖 這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量 記這兩個向量的數(shù)量積為X 若X 0就去打球 若X 0就去唱歌 若X 0就去下棋 1 寫出數(shù)量積X的所有可能取值 2 分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 解題過程 錯解分析 分析上面解題過程 你知道錯在哪里嗎 提示 1 沒能準(zhǔn)確計算出X的所有可能值 由數(shù)量積的運算知X的可能取值為 2 1 0 1 忽視 2 2 基本事件列舉不全 思維定式 如X 1 盲目認(rèn)為向量共線 遺漏向量夾角為的4種情況 規(guī)避策略 1 準(zhǔn)確理解題意對于X的可能取值 一定要考慮全面 準(zhǔn)確 對于合題意的 不要忽略2 注意數(shù)量積的定義向量的數(shù)量積由向量的模 夾角共同確定 要考慮到各種情況 要注意分類求解 自我矯正 1 X的所有可能取值為 2 1 0 1 2 數(shù)量積為 2的有 共1種 數(shù)量積為 1的有共6種 數(shù)量積為0的有共4種 數(shù)量積為1的有共4種 故所有可能的情況共有15種 所以小波去下棋的概率為P1 小波去唱歌的概率為P2 小波不去唱歌的概率為P 1