數(shù)學(xué)第七篇 立體幾何與空間向量 第6節(jié) 空間向量的運算及應(yīng)用 理 新人教版

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1、第第6 6節(jié)空間向量的運算及應(yīng)用節(jié)空間向量的運算及應(yīng)用向量的正交分解及其坐標(biāo)表示向量的正交分解及其坐標(biāo)表示. .3.3.掌握空間向量的線性運算及其坐掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示標(biāo)表示. .4.4.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示表示, ,能用向量的數(shù)量積判定向量的能用向量的數(shù)量積判定向量的共線和垂直共線和垂直. .考綱展示考綱展示1.1.了解空間直角坐標(biāo)系了解空間直角坐標(biāo)系, ,會用空間直會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置角坐標(biāo)表示點的位置, ,會簡單應(yīng)用空會簡單應(yīng)用空間兩點間的距離公式間兩點間的距離公式. .2.2.了解空間向量的概念了解空間向量的概念, ,了解空

2、間向了解空間向量的基本定理及其意義量的基本定理及其意義, ,掌握空間掌握空間知識梳理自測知識梳理自測考點專項突破考點專項突破 知識梳理自測知識梳理自測 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導(dǎo)讀教材導(dǎo)讀】 1.1.在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中,(1),(1)在在x x軸上的點的坐標(biāo)怎么記軸上的點的坐標(biāo)怎么記?(2)?(2)在在y y軸上的點的軸上的點的坐標(biāo)怎么記坐標(biāo)怎么記?(3)?(3)在在z z軸上的點的坐標(biāo)怎么記軸上的點的坐標(biāo)怎么記? ?提示提示: :(1)(1)可記作可記作(x,0,0).(2)(x,0,0).(2)可記作可記作(0,y,0).(3)(0,y,0).(3)可記

3、作可記作(0,0,z).(0,0,z).2.2.空間中任意兩個非零向量空間中任意兩個非零向量a a, ,b b共面嗎共面嗎? ?提示提示: :共面共面. .知識梳理知識梳理 1.1.空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)(1)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系以空間一點以空間一點O O為原點為原點, ,建立三條兩兩垂直的數(shù)軸建立三條兩兩垂直的數(shù)軸:x:x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸. .這時我們說建立了一這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系個空間直角坐標(biāo)系Oxyz,Oxyz,其中點其中點O O叫做叫做 , ,x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸叫做軸叫做 , ,通通過每兩個坐標(biāo)軸的

4、平面叫做過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做 . .(2)(2)右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中, ,讓右手拇指指向讓右手拇指指向x x軸的正方向軸的正方向, ,食指指向食指指向y y軸的正方向軸的正方向, ,如果中指如果中指指向指向 的正方向的正方向, ,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系. .(3)(3)空間一點空間一點M M的坐標(biāo)的坐標(biāo)空間一點空間一點M M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)(x,y,z)來表示來表示, ,記作記作M(x,y,z),M(x,y,z),其中其中x x叫做點叫做點M M的的 , ,y y叫做

5、點叫做點M M的的 , ,z z叫做點叫做點M M的的 . .坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面z z軸軸 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)2.2.空間兩點間的距離公式、中點公式空間兩點間的距離公式、中點公式(1)(1)距離公式距離公式設(shè)點設(shè)點A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),則則|AB|=|AB|= . .點點P(x,y,z)P(x,y,z)與坐標(biāo)原點與坐標(biāo)原點O O之間的距離為之間的距離為|OP|=|OP|= . .(2)(2)中點公式中點公式設(shè)點設(shè)點P(x,y,zP(x,y,z) )為線段為線段P P

6、1 1P P2 2的中點的中點, ,其中其中P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),則有則有222121212()()()xxyyzz222xyz121212.2,2.2xxxyyyzzz3.3.空間向量的有關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念名稱名稱定義定義空間向量空間向量在空間中在空間中, ,具有具有 的量叫做空間向量的量叫做空間向量, ,向量的大小叫做向量的大小叫做向量的向量的 . .單位向量單位向量模為模為 的向量的向量零向量零向量長度為長度為 的向量的向量相等向量相等向量方向方向 且模且模 的向量的向量相反向量相反

7、向量方向方向 且模且模 的向量的向量共線向量共線向量( (或平或平行向量行向量) )如果表示空間向量的有向線段所在的直線如果表示空間向量的有向線段所在的直線 , ,則這些則這些向量叫做共線向量或平行向量向量叫做共線向量或平行向量, ,a a平行于平行于b b記作記作 . .共面向量共面向量平行于同一個平行于同一個 的向量叫做共面向量的向量叫做共面向量大小和方向大小和方向長度或模長度或模1 10 0相同相同相等相等相反相反相等相等互相平行或重合互相平行或重合a ab b平面平面4.4.空間向量的有關(guān)定理及推論空間向量的有關(guān)定理及推論a a= =b b 不共線不共線p p=x=xa a+y+yb

8、b不共面不共面p p=x=xa a+y+yb b+z+zc c基底基底基向量基向量AOBAOB0,0,a ab b兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積: :已知兩個非零向量已知兩個非零向量a a, ,b b, ,則則 叫做向量叫做向量a a, ,b b的數(shù)量積的數(shù)量積, ,記作記作 , ,即即 . .| |a a|b b|cos|cos a ab ba ab b=|=|a a|b b|cos|cos (2)(2)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)和結(jié)論兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)和結(jié)論已知兩個非零向量已知兩個非零向量a a和和b b. .a ae=|e=|a a|cos|cos(其中其中e e為單位向量為單位向量).).a

9、 ab b . .coscos= . .a a2 2= =a aa a= =| |a a| |2 2,|,|a a|=|= . .| |a ab b| | | |a a|b b|.|.(3)(3)空間向量數(shù)量積的運算律空間向量數(shù)量積的運算律數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律:(:(a a) )b b= = . .交換律交換律: :a ab b= = . .分配律分配律: :a a( (b b+ +c c)=)= . .a ab b=0=0a ba b2a(a(ab) b) b ba aa ab+ab+ac c(x,y,z)(x,y,z)(5)(5)空間向量運算的坐標(biāo)表示空間向量運算的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè)a a=(x

10、=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),那么那么加、減運算加、減運算: :a ab b= = . .數(shù)量積數(shù)量積: :a ab b= = . .夾角公式夾角公式:cos:cos= . .(x(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2,z,z1 1z z2 2) )x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 212121 2222222111222x xy yz zxyzxyz222111xyz數(shù)乘運算數(shù)乘運算:a a= = (R R).).平行的充要條件平行的充要條件: :a ab b .

11、.垂直的充要條件垂直的充要條件: :a ab b . .(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )x x1 1=x=x2 2,y,y1 1=y=y2 2,z,z1 1=z=z2 2(R R) )x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2=0=0雙基自測雙基自測 D D D D解析解析: :由題意知由題意知a a( (a a-b b)=0,)=0,即即a a2 2-a ab b=0,=0,又又a a2 2=14,a=14,ab=7,b=7,所以所以14-7=0,14-7=0,所以所以=2.=2.C CD D5.5.已知已知 a a, ,b b, ,c c

12、是空間的一個單位正交基底是空間的一個單位正交基底,a a+ +b b, ,a a- -b b, ,c c 是空間的另一個基是空間的另一個基底底. .若向量若向量m m在基底在基底 a a, ,b b, ,c c 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為(1,2,3),(1,2,3),則則m m在基底在基底 a a+ +b b, ,a a- -b b, ,c c 下的下的坐標(biāo)為坐標(biāo)為. . 考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 空間向量的線性運算空間向量的線性運算反思歸納反思歸納 用已知向量表示某一向量要注意以下幾點用已知向量表示某一向量要注意以下幾點(1)(1)用已知向量來表示未

13、知向量用已知向量來表示未知向量, ,一定要結(jié)合圖形一定要結(jié)合圖形. .(2)(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義. .(3)(3)在立體幾何中在立體幾何中, ,三角形法則、平行四邊形法則仍然成立三角形法則、平行四邊形法則仍然成立. .考點二考點二 共線共線( (共面共面) )向量基本定理向量基本定理【例例2 2】 導(dǎo)學(xué)號導(dǎo)學(xué)號 38486155 38486155 已知已知E,F,G,HE,F,G,H分別為空間四邊形分別為空間四邊形ABCDABCD的邊的邊AB,BC,AB,BC,CD,DACD,DA的中點的中點. .(1)(1)求證求證:

14、E,F,G,H:E,F,G,H四點共面四點共面; ;(2)(2)求證求證:BD:BD平面平面EFGH.EFGH.反思歸納反思歸納答案答案: :平行平行跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 2: :如圖如圖, ,正方體正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分別是分別是A A1 1B,ACB,AC上的點上的點, ,且且A A1 1E=2EB,E=2EB,CF=2AF.CF=2AF.則則EFEF與平面與平面A A1 1DCBDCB1 1的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是. . 考點三考點三 空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用【例例3 3】 導(dǎo)學(xué)號導(dǎo)學(xué)號 187

15、02388 18702388 如圖所示如圖所示, ,已知空間四邊形已知空間四邊形ABCDABCD的每條邊和對角的每條邊和對角線長都等于線長都等于1,1,點點E,F,GE,F,G分別是分別是AB,AD,CDAB,AD,CD的中點的中點, ,計算計算: :(3)EG(3)EG的長的長; ;(4)(4)異面直線異面直線AGAG與與CECE所成角的余弦值所成角的余弦值. .跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3:3:如圖如圖, ,已知平行六面體已知平行六面體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,底面底面ABCDABCD是邊長為是邊長為1 1的正方的正方形形,AA,AA1 1=2,A=2,A1 1AB=AAB=A1 1AD=120AD=120. .(1)(1)求線段求線段ACAC1 1的長的長; ;(2)(2)證明證明:AA:AA1 1BD.BD.備選例題備選例題 【例例1 1】 已知向量已知向量a a=(1,2,3),=(1,2,3),b b=(x,x=(x,x2 2+y-2,y),+y-2,y),并且并且a,ba,b同向同向, ,則則x,yx,y的值分別為的值分別為. . 答案答案: :1,31,3答案答案: :