數(shù)學第四章 幾何初步與三角形 第五節(jié) 直角三角形

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1、第五節(jié)直角三角形考點一考點一 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年5 5考考) )命題角度命題角度勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理例例1 1 (2016(2016東營中考東營中考) )在在ABCABC中，中，ABAB1010，ACAC2 2 ，BCBC邊上的高邊上的高ADAD6 6，則另一邊，則另一邊BCBC等于等于( )( )A A10 B10 B8 C8 C6 6或或10 D10 D8 8或或101010【分析分析】 BC BC邊上的高邊上的高ADAD可能在可能在ABCABC內(nèi)部，也可能在內(nèi)部，也可能在ABCABC外部，故需分情況討論外部，故需分情況討論【自主解答自主解答

2、】分以下兩種情況：分以下兩種情況：如圖如圖1 1，ABAB1010，ACAC2 2 ，ADAD6 6，在在RtRtABDABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得BDBD在在RtRtACDACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得CDCD 此時此時BCBCBDBDCDCD8 82 210.10.10如圖如圖2 2，ABAB1010，ACAC2 2 ，ADAD6 6，在在RtRtABDABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得BDBD在在RtRtACDACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得CDCD此時此時BCBCBDBDCDCD8 82 26.6.綜上可知，綜上可知，BCBC的長為的長為6 6或或10.10

3、.故選故選C.C.10應用勾股定理的注意問題應用勾股定理的注意問題(1)(1)應用勾股定理的前提必須是在直角三角形中；應用勾股定理的前提必須是在直角三角形中；(2)(2)當直角三角形的斜邊不確定時，要注意分類討論當直角三角形的斜邊不確定時，要注意分類討論1 1(2018(2018瀘州中考瀘州中考)“)“趙爽弦圖趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲如圖所示的明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲如圖所示的“趙爽趙爽弦圖弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形設(shè)直角三角形較長直角邊長為個

4、大正方形設(shè)直角三角形較長直角邊長為a a，較短直角邊，較短直角邊長為長為b.b.若若abab8 8，大正方形的面積為，大正方形的面積為2525，則小正，則小正方形的邊長為方形的邊長為( )( )A A9 B9 B6 C6 C4 D4 D3 3D D2 2(2017(2017安順中考安順中考) )三角形三邊長分別為三角形三邊長分別為3 3，4 4，5 5，那么，那么最長邊上的中線長等于最長邊上的中線長等于_3 3(2018(2018襄陽中考襄陽中考) )已知已知CDCD是是ABCABC的邊的邊ABAB上的高，若上的高，若CDCD ，ADAD1 1，ABAB2AC2AC，則，則BCBC的長為的長為

5、_3 2.5 2.5 2 3 2 7或命題角度命題角度利用勾股定理解決最短路徑問題利用勾股定理解決最短路徑問題例例2 2(2018(2018東營中考東營中考) )如圖所示，圓柱的高如圖所示，圓柱的高ABAB3 3，底面直徑，底面直徑BCBC3 3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A A處沿圓柱表面爬到對角處沿圓柱表面爬到對角C C處處捕食，則它爬行的最短距離是捕食，則它爬行的最短距離是( )( )【分析分析】 首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解短，然后利用勾股定理即可求解【自主解答自主解答】把圓柱沿把圓柱沿

6、ABAB剪開并展開，如圖所示，由題意得剪開并展開，如圖所示，由題意得ABAB3 3，展開圖，展開圖BCBC ，螞蟻從點，螞蟻從點A A沿圓柱表面爬到點沿圓柱表面爬到點C C的最的最短距離為線段短距離為線段ACAC的長，的長，ACAC . .故選故選C.C.3223 424 4(2017(2017東營中考東營中考) )我國古代有這樣一道數(shù)學我國古代有這樣一道數(shù)學問題：問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？之長幾何？”題意是：如圖，把枯木看作一個圓柱體，因一題意是：如圖，

7、把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為丈是十尺，則該圓柱的高為2020尺，底面周長為尺，底面周長為3 3尺，有葛藤尺，有葛藤自點自點A A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B B處，則問題處，則問題中葛藤的最短長度是中葛藤的最短長度是_尺尺 25 25 5 5(2018(2018黃岡中考黃岡中考) )如圖，圓柱形玻璃杯高為如圖，圓柱形玻璃杯高為14 cm14 cm，底面，底面周長為周長為32 cm32 cm，在杯內(nèi)壁離杯底，在杯內(nèi)壁離杯底5 cm5 cm的點的點B B處有一滴蜂蜜，此處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿時一只螞蟻正好

8、在杯外壁，離杯上沿3 cm3 cm與蜂蜜相對的點與蜂蜜相對的點A A處，則螞蟻從外壁處，則螞蟻從外壁A A處到內(nèi)壁處到內(nèi)壁B B處的最短距離為處的最短距離為_cm(_cm(杯壁杯壁厚度不計厚度不計) ) 20 20 6 6(2018(2018東營模擬東營模擬) )如圖，已知圓柱底面的周長為如圖，已知圓柱底面的周長為4 dm4 dm，圓柱高為圓柱高為2 dm2 dm，在圓柱的側(cè)面上，過點，在圓柱的側(cè)面上，過點A A和點和點C C嵌有一圈金嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為_4 2dm命題角度命題角度勾股定理的應用勾股定理的應用例例3 3 (2014(2014東

9、營中考東營中考) )如圖，有兩棵樹，一棵高如圖，有兩棵樹，一棵高1212米，另一米，另一棵高棵高6 6米，兩樹相距米，兩樹相距8 8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行樹的樹梢，問小鳥至少飛行_米米【分析分析】 根據(jù)根據(jù)“兩點之間線段最短兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出將兩點之間的距離求出【自主解答自主解答】大樹高為大樹高為ABAB1212米，小樹高米，小樹高CDCD6 6米米如圖，過如圖，過C

10、 C點作點作CEABCEAB于于E E，則四邊形，則四邊形EBDCEBDC是矩形，連接是矩形，連接ACAC，EBEB6 6米，米，ECEC8 8米，米，AEAEABABEBEB12126 66(6(米米) )在在RtRtAECAEC中，中，ACAC 10(10(米米) )故小鳥至少飛行故小鳥至少飛行1010米故答案為米故答案為10.10.22687 7(2017(2017紹興中考紹興中考) )如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.70.7米，米，頂端距離地面頂端距離地面2.42

11、.4米如果保持梯子底端位置不動，將梯子米如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面斜靠在右墻時，頂端距離地面2 2米，則小巷的寬度為米，則小巷的寬度為( )( )A A0.70.7米米 B B1.51.5米米C C2.22.2米米 D D2.42.4米米C C8 8如圖是某生態(tài)公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平如圖是某生態(tài)公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角豎直的路的拐角ABCABC，而走，而走“捷徑捷徑AC”AC”，于是在草坪內(nèi)走，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的出了一條不該有的“路路AC”AC”已知已知ABAB4040米，米，BCBC3030米，米，他們踩壞草

12、坪，只為少走他們踩壞草坪，只為少走_米的路米的路 20 20 考點二考點二 直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì) (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018黃岡中考黃岡中考) )如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，CDCD為為ABAB邊上的高，邊上的高，CECE為為ABAB邊上的中線，邊上的中線，ADAD2 2，CECE5 5，則，則CDCD( )( )A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D2 23【分析分析】 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AEAECECE5 5，進而得出，進而得出DEDE3 3，利用勾股定理解答即可，利用勾股定

13、理解答即可【自主解答自主解答】 在在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，CECE為為ABAB邊邊上的中線，上的中線，CECE5 5，AEAECECE5.5.ADAD2 2，DEDE3.3.CDCD為為ABAB邊上的高，邊上的高，在在RtRtCDECDE中，中，CDCD 4.4.故選故選C.C.22CEDE2253與直角三角形有關(guān)的解題思路與直角三角形有關(guān)的解題思路(1)(1)在一個題目中，若直角三角形較多，可考慮利用等面積在一個題目中，若直角三角形較多，可考慮利用等面積的方法求線段的長度的方法求線段的長度(2)(2)可利用直角三角形兩銳角互余，根據(jù)同可利用直角三角形兩銳角互余，根

14、據(jù)同( (等等) )角的余角相角的余角相等求角度等求角度(3)(3)在直角三角形中，有在直角三角形中，有3030銳角可考慮銳角可考慮3030角所對直角邊角所對直角邊等于斜邊的一半等于斜邊的一半(4)(4)在直角三角形中，若有斜邊中點，可考慮直角三角形斜在直角三角形中，若有斜邊中點，可考慮直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半邊上的中線等于斜邊的一半9 9(2018(2018淄博中考淄博中考) )如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，CMCM平分平分ACBACB交交ABAB于點于點M M，過點，過點M M作作MNBCMNBC交交ACAC于點于點N N，且，且MNMN平分平分AMC.AMC.若

15、若ANAN1 1，則，則BCBC的長為的長為( )( )A A4 B4 B6 C6 C4 D4 D8 83B B1010(2017(2017大連中考大連中考) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ACBACB9090，CDABCDAB，垂足為，垂足為D D，點，點E E是是ABAB的中點，的中點，CDCDDEDEa a，則，則ABAB的長的長為為( )( )A A2a B2a B2 a2 aC C3a D. 3a D. a aB B24 33考點三考點三 等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等腰直角三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年3 3考考) )例例5 5(2018(2018濱州中考濱州中考) )已知

16、，在已知，在ABCABC中，中，A A9090，ABABACAC，點，點D D為為BCBC的中點的中點(1)(1)如圖如圖1 1，若點，若點E E，F(xiàn) F分別為分別為ABAB，ACAC上的點，且上的點，且DEDFDEDF，求，求證：證：BEBEAFAF；(2)(2)若點若點E E，F(xiàn) F分別為分別為ABAB，CACA延長線上的點，且延長線上的點，且DEDFDEDF，那，那么么BEBEAFAF嗎？請利用圖嗎？請利用圖2 2說明理由說明理由【分析分析】 (1) (1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)，連接利用等腰直角三角形的性質(zhì)，連接ADAD，構(gòu)造，構(gòu)造BDEBDE和和ADFADF，通過，通過ASAASA

17、證明全等即可得出結(jié)論；證明全等即可得出結(jié)論；(2)(2)類比類比(1)(1)，通過連接，通過連接ADAD，仍然可以構(gòu)造，仍然可以構(gòu)造BDEBDE和和ADFADF，通，通過過ASAASA證明全等得出結(jié)論證明全等得出結(jié)論【自主解答自主解答】 (1)(1)如圖，連接如圖，連接AD.AD.BDABDAEDFEDF9090，BDEBDEEDAEDAEDAEDAADFADF，BDEBDEADF.ADF.又又D D為為BCBC中點，中點，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BDBDADAD，B BDACDAC4545，BDEBDEADF(ASA)ADF(ASA)，BEBEAF.AF.(2)BE(

18、2)BEAF.AF.理由如下：理由如下：如圖，連接如圖，連接AD.AD.BDABDAEDFEDF9090，BDEBDEBDFBDFBDFBDFADFADF，BDEBDEADF.ADF.又又D D為為BCBC中點，中點，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BDBDADAD，ABCABCDACDAC4545，EBDEBDFADFAD1801804545135135，BDEBDEADF(ASA)ADF(ASA)，BEBEAF.AF.1111(2018(2018棗莊中考棗莊中考) )如圖是由如圖是由8 8個全等的小矩形組成的大個全等的小矩形組成的大正方形，線段正方形，線段ABAB的端點都在

19、小矩形的頂點上，如果點的端點都在小矩形的頂點上，如果點P P是某是某個小矩形的頂點，連接個小矩形的頂點，連接PAPA，PBPB，那么使，那么使ABPABP為等腰直角三為等腰直角三角形的點角形的點P P的個數(shù)是的個數(shù)是( )( )A A2 2個個 B B3 3個個 C C4 4個個 D D5 5個個B B1212(2018(2018綿陽中考綿陽中考) )如圖，如圖，ACBACB和和ECDECD都是等腰直角都是等腰直角三角形，三角形，CACACBCB，CECECDCD，ACBACB的頂點的頂點A A在在ECDECD的斜邊的斜邊DEDE上，若上，若AEAE ，ADAD ，則兩個三角形重疊部分的面積，則兩個三角形重疊部分的面積為為( )( )A. BA. B3 3 C. C. 1 D1 D3 3 263223D D