2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 不等式 專題3.2 一元二次不等式及其解法試題 新人教A版必修5.doc

3.2 一元二次不等式及其解法 1一元二次不等式的定義我們把只含有_個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_的不等式，稱為一元二次不等式例如：x2x0，2x23x10，x23x0，x2x20都是一元二次不等式注：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數(shù)，并且這個未知數(shù)是唯一的，但這并不意味著不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，則把其他字母看成常數(shù)；（2）一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2，且最高次項的系數(shù)不為02一元二次不等式的一般形式一元二次不等式的一般形式：ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0其中a，b，c為常數(shù)，且a03一元二次不等式的解與解集使某個一元二次不等式成立的x的值叫這個一元二次不等式的_，所有的解組成的集合叫做這個一元二次不等式的_例如x1是不等式x22x0的解，不等式x22x0的解集為注：將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式叫做不等式的同解變形4三個“二次”之間的關(guān)系yax2bxc(a0)的圖象ax2bxc0(a0)的根有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根ax2bxc0(a0)的解集或Rax2bxc0(a0)的解集_注：上述表格是解一元二次不等式的一個依據(jù)，其中x1，x2具有三重身份：（1）相應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根；（2）相應(yīng)的二次函數(shù)的零點；（3）相應(yīng)的一元二次不等式解集的區(qū)間端點5一元二次不等式的解法由上述三個“二次”之間的關(guān)系可知，求一元二次不等式的解集的步驟如下： （1）通過變形化成標準的一元二次不等式的形式(要求二次項系數(shù)為正且右邊為0)；（2）計算判別式，求相應(yīng)的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根；（3）畫出對應(yīng)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象；（4）根據(jù)圖象及一元二次不等式解集的幾何意義寫出解集我們可以用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，如下： K知識參考答案：1一 23解 解集4 K重點三個“二次”之間的關(guān)系、一元二次不等式的解法及步驟K難點含參不等式的求解、高次(分式)不等式的求解、穿針引線法的應(yīng)用K易錯解含參不等式時不能正確分類或忽略對二次項系數(shù)的討論解不含參數(shù)的一元二次不等式解不含參數(shù)的一元二次不等式有以下三種方法：方法1：若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集其依據(jù)是上一節(jié)所學的有關(guān)因式積的符號法則即：若ab0，則a，b同號；若ab0，則a，b異號因此我們可以將二次三項式進行因式分解，然后利用上述符號法則來求解一元二次不等式方法2：若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得方法3：若上述兩種方法不能解決，則采用求一元二次不等式解集的通法判別式法解下列不等式：（1）2x27x30；（2）x24x50；（3）4x218x0；（4）x23x50；（5）2x23x20；（6）2x23x10【答案】（1）x|x或x3；（2）x|1x5；（3）；（4）；（5）R；（6）2，1)(2，5（4）原不等式可化為x26x100，(6)24040，所以方程x26x100無實根，又二次函數(shù)yx26x10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為（5）原不等式可化為2x23x20，因為942270，所以方程2x23x20無實根，又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R（6）原不等式等價于，可化為x23x20，解得x2或x1；可化為x23x100，解得2x5故原不等式的解集為2，1)(2，5【名師點睛】（1）一元二次不等式的解與一元二次不等式的解集是部分與整體的關(guān)系，不要將二者混淆；（2）如果能對一個多項式進行因式分解，則運用符號法則可快速解決相應(yīng)不等式的解集問題，但利用符號法則的前提是能熟練地對多項式進行因式分解解含參數(shù)的一元二次不等式在解含有參數(shù)的一元二次不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個方面進行考慮：（1）關(guān)于不等式類型的討論：二次項的系數(shù)a0，a0，a0；（2）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程的根的討論：兩根(0)，一根(0)，無根(0)；（3）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1x2，x1x2，x1x2（1）解關(guān)于x的不等式：x2(a1)xa0(aR)；（2）解關(guān)于x的不等式：x2ax10(aR)；（3）解關(guān)于x的不等式：ax2(a1)x10 (aR)【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析 （2）對于方程x2ax10，其判別式a24(a2) (a2)，當2a2時，0，方程無實根，不等式的解集為；若a2時，0，方程有兩個相等的實根x1x21，不等式的解集為x|x1；若a2時，0，方程有兩個相等的實根x1x21，不等式的解集為x|x1；當a2或a2時，0，方程有兩個不相等的實根，不等式的解集為x|x（3）原不等式可化為(ax1)(x1)0，當a0時，(x) (x1)0，原不等式的解集為x|x1；當a0時，原不等式為x10，原不等式的解集為x|x1；當1a0時，(x) (x1)0，原不等式的解集為x|x或x1；當a1時，(x1)20，原不等式的解集為x| x1；當a1時，(x) (x1)0，原不等式的解集為x|x1或x【名師點睛】（1）若不等式對應(yīng)的一元二次方程可以因式分解，則可根據(jù)一元二次方程的根的大小分類進行討論；（2）若一元二次方程根的判別式符號不確定，應(yīng)由0，0，0分情況進行討論；（3）若二次項的系數(shù)含有參數(shù)，則先對不等式中二次項的系數(shù)進行討論，然后按照不等式的求解方法求解三個“二次”之間的關(guān)系在解決具體的數(shù)學問題時，應(yīng)明確三個“二次”之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化已知不等式的解集求參數(shù)問題的實質(zhì)是考查三個“二次”之間的關(guān)系，其解題的一般思路為：（1）根據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項系數(shù)的符號；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系或直接代入方程，求出參數(shù)的值或參數(shù)之間的關(guān)系已知關(guān)于x的不等式a(x1)x2xb的解集為x|2x3，則的值為_【答案】2 已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為x|3x4，求關(guān)于x的不等式cx2bxa0的解集【答案】(，)(，)【解析】方法1：由ax2bxc0的解集為x|3x4可知a0，且3和4是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知7，12，由a0易知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，即x2x0，解得x或x，所以不等式cx2bxa0的解集為(，)(，)【名師點睛】根據(jù)三個“二次”之間的關(guān)系可知：給出一元二次不等式的解集，則可知不等式中二次項系數(shù)的符號和相應(yīng)一元二次方程的根若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是相應(yīng)一元二次方程的根，但要注意解集的形式與二次項系數(shù)的聯(lián)系不等式恒成立問題求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的常見方法：（1）利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題，設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)0恒成立a0且0； f(x)0恒成立a0且0；f(x)0恒成立a0且0； f(x)0恒成立a0且0注：當未說明不等式是否為一元二次不等式時，先討論a0的情況（2）將參數(shù)分離出來，利用等價轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題（轉(zhuǎn)化為f(x)a或f(x)a或f(x)a或f(x)a恒成立的問題）即：若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)a恒成立am；若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)a恒成立am；若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)a恒成立am；若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)a恒成立am（1）已知關(guān)于x的不等式(m1)x2x10對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）已知關(guān)于x的不等式(m23m2)x22(m1)x10對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若不等式kx22x1k0對滿足的所有k都成立，求x的取值范圍；（4）已知f(x)x22ax4，x1，1，若f(x)1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）；（2）1，）；（3）；（4）2，2【解析】（1）當m10，即m1時，x10，顯然不符合題意；當m10，即m1時，對應(yīng)拋物線開口向上，即m10，且對于方程(m1)x2x10，(1)24(m1)0，即故當時，不等式(m1)x2x10對一切實數(shù)x恒成立，實數(shù)m的取值范圍為 （3）原不等式可化為，設(shè)，則是關(guān)于k的一次函數(shù)，且是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)題意可得，即，解得，故x的取值范圍為（4）原問題等價于：當x1，1， f(x)min1由于f(x)圖象的對稱軸為xa，故或或，即或或，即2a2故實數(shù)a的取值范圍為2，2【名師點睛】（2）中易漏掉對m23m2的討論，當二次項系數(shù)含參時，需討論不等式是否為一元二次不等式；對于含參的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于某個常數(shù)的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解一元二次不等式的實際應(yīng)用在一段限速為60 km/h的城市道路上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相碰了事后交警現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過30 m，乙車的剎車距離略超過28 m已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(單位：m)與車速x(單位：km/h)之間的關(guān)系分別為0.1x0.01x2，0.05x0.005x2試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象【答案】甲車沒有超速，乙車超速 【名師點睛】用一元二次不等式解決實際問題的步驟：（1）理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；（2）建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實際問題抽象為關(guān)于一元二次不等式的問題；（3）解一元二次不等式，從而得到實際問題的解簡單分式不等式和高次不等式的解法（1）簡單分式不等式的解法已知f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項式，不等式，稱為分式不等式前面介紹過的符號法則可以進行推廣，進而可以研究分式不等式將分式不等式進行同解變形，利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式（組）即可求解具體如下：，即或，即；，即或，即；，即，即或；，即，即或（1）不等式的解集為_；（2）不等式的解集為_【答案】（1）；（2）或 【名師點睛】對于形如，為非零實數(shù)或代數(shù)式的分式不等式，求解的方法是先把不等式的右邊化為0，通分后利用符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式即可求解，但應(yīng)特別注意分母不為0這一隱含條件（2）簡單高次不等式的解法不等式的最高次項的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式前面介紹過的符號法則可以進行推廣，進而可以研究高次不等式解高次不等式的方法有兩種：方法1：將高次不等式f(x)0(0)中的多項式f(x)分解成若干個不可約因式的乘積，根據(jù)符號法則等價轉(zhuǎn)化為兩個或多個不等式（組）即可求解但應(yīng)注意：原不等式的解集是各不等式（組）解集的并集，且次數(shù)較大時，此種方法比較煩瑣方法2：穿針引線法：將不等式化為標準形式，右端為0，左端為一次因式（因式中x的系數(shù)為正）或二次不可約因式的乘積；求出各因式的實數(shù)根，并在數(shù)軸上標出；自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿而不過（奇過偶不過）；記數(shù)軸上方為正，下方為負，根據(jù)不等式的符號即可寫出解集（1）不等式的解集為_；（2）不等式的解集為_【答案】（1）或；（2）【解析】（1）原不等式等價于，令，各因式對應(yīng)的根分別為2，1，2，結(jié)合圖1可得原不等式的解集為或 （2）原不等式等價于，各因式對應(yīng)的根為2（5重根），1（3重根），3（2重根）結(jié)合圖2可得原不等式的解集為【名師點睛】應(yīng)用穿針引線法可快速求解一元二次不等式的解集，但應(yīng)深刻理解穿針引線法，正確把握應(yīng)用穿針引線法的步驟及要點，這是正確解題的前提解含參不等式時不能正確分類導致錯誤解不等式【錯解】原不等式可化為，即，等價于，即，因為，所以當，即或時，；當，即時，；當，即時，綜上，當或時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或【錯因分析】顯然當a0時，原不等式是不成立的，故上述求解過程是錯誤的實際上錯解中的變形非同解變形，因為a1的符號是不確定的，錯解中僅考慮了當a10時的情況【正解】顯然當時，原不等式是不成立的當a0時原不等式可化為，即，等價于(*)，當時，(*)式可轉(zhuǎn)化為，即，即當時，(*)式可轉(zhuǎn)化為當時，(*)式可轉(zhuǎn)化為又當時，所以當或時，；當時，；當時，綜上，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為【名師點睛】在求解此類問題時，既要討論不等式中相關(guān)系數(shù)的符號，也要討論相應(yīng)方程兩個根的大小在不等式轉(zhuǎn)化的過程中，要特別注意等價性；在比較兩根的大小時，也要注意等價性，否則將導致分類討論不完全而出錯忽略對二次項系數(shù)的討論導致錯誤已知關(guān)于x的不等式mx2mxm10恒成立，則m的取值范圍為_【錯解】由于不等式mx2mxm10對一切實數(shù)x都成立，所以m0且m24m(m1)0，解得m0故實數(shù)m的取值范圍為(，0)【錯因分析】由于本題中x2的系數(shù)含有參數(shù)，且當m0時不等式不是一元二次不等式，因此必須討論m的值是否為0而錯解中直接默認不等式為一元二次不等式，從而采用判別式法處理導致漏解【正解】由于不等式mx2mxm10對一切實數(shù)x都成立，當m0時，10恒成立；當m0時，易知m0且m24m(m1)0，解得m0綜上，故實數(shù)m的取值范圍為(，0 1不等式的解集是ABCD2已知全集，集合，則ABCD3不等式的解集是ABCDR4若關(guān)于x的方程x2(a21)xa20的一根比1小、另一根比1大，則a的取值范圍為A(1，1) B(，1)(1，)C(2，1) D(，21，)5若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是ABCD6關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為ABCD7設(shè)集合Pm|1m0，QmR|mx24mx40對任意實數(shù)x恒成立，則下列說法正確的是AP是Q的真子集BQ是P的真子集CPQDPQ8在R上定義運算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍為A(1，1) B(0，2)C(，)D(，)9已知集合，則_10函數(shù)的定義域是_11滿足不等式的的取值范圍是_12某廠去年生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷量為1000輛今年為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本，若每輛摩托車投入成本增加的比例為x(0x1），則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x，則（1）今年的利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式為_；（2）為使今年的利潤高于去年的利潤，x的取值范圍為_13求下列不等式的解集：（1）；（2）14已知函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍 15若一元二次不等式的解集是，則的值是A10B10C14D1416若不等式的解集是，那么實數(shù)的值是A1B2C3D417若不等式的解集為，則不等式的解集為AB或CD或18設(shè)實數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為ABCD19已知集合，且，則實數(shù)a的取值范圍是ABCD20任意，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則實數(shù)的取值范圍是ABCD21不等式的解集為，則_22若不等式的解集是，則不等式的解集是_23已知函數(shù)，若不等式的解集為，若對任意的，存在，使成立，則實數(shù)m的取值范圍是_24對于函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列條件：在內(nèi)是單調(diào)的；當定義域是時，的值域也是則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”若函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍為_25已知，不等式的解集為（1）求的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍26已知的圖象過點，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，解關(guān)于的不等式 27（2018新課標全國理）已知集合，則ABCD28（2015新課標全國）已知集合A=2，1，0，1，2，B=x|(x1)(x2)0，則ABA1，0B0，1C1，0，1D0，1，229（2015廣東文）不等式的解集為_（用區(qū)間表示）30（2015江蘇）不等式的解集為_31（2014江蘇）已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_32（2017江蘇）記函數(shù)的定義域為在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則的概率是_ 1【答案】D【解析】根據(jù)題意可得或，故選D2【答案】B【解析】因為，所以，所以故選B 4【答案】C【解析】令f(x)x2(a21)xa2，依題意得f(1)0，即1a21a20，即a2a20，解得2a1，故選C5【答案】B【解析】可化為，當時，不等式為40，恒成立；當時，不等式的解集為R，則解得綜上，故選B6【答案】B【解析】的解集為，即方程的兩根為，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得，則方程可化為，解得，結(jié)合不等式可求得不等式的解集為，故選B7【答案】A【解析】當m0時，40對任意實數(shù)x恒成立；當m0時，由mx24mx40對任意實數(shù)x恒成立可得，解得1m0綜上所述，Qm|1m0，所以PQ，故選A8【答案】C【解析】由題意可得(xa)(xa)(xa)1(xa)1，即x2xa2a10恒成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30，解得a，故選C9【答案】【解析】由題意得，或， 11【答案】【解析】原不等式等價于解得或故的取值范圍是12【答案】（1）y60x220x200(0x1)；（2）(，) 【解析】（1）由題意，得y1.2(10.75x)1(1x)1000(10.6x)(0x1)，整理得y60x220x200(0x1)（2）要保證今年的利潤高于去年的利潤，則，即，解得故投入成本增加的比例x的取值范圍為(，)13【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得，解得，故的解集為（2）不等式可化為，即，解得，故的解集為14【答案】（1）；（2） 15【答案】D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集與方程的根的關(guān)系可知，是方程的兩根，所以，所以，故選D16【答案】C【解析】因為不等式的解集是，所以是方程的兩根，所以，解得，故選C17【答案】C【解析】由三個二次的關(guān)系可知方程的解為且，設(shè)，則，所以，所以不等式為，解集為故選C18【答案】B【解析】即，所以，故選B19【答案】C【解析】因為集合，又集合是的真子集，所以，且兩個等號不能同時取到，解得，故實數(shù)的取值范圍是故選C 21【答案】【解析】由一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系可知，方程的兩根是，所以因此22【答案】或【解析】由不等式的解集是，可知的根為1，2，所以，不等式即，即因為恒大于0，所以，所以原不等式的解集為或23【答案】【解析】因為不等式的解集為，所以，即，在區(qū)間上，為單調(diào)遞減，且；在定義域內(nèi)為減函數(shù)，且在區(qū)間上，又對任意的，存在，使，所以，即，故實數(shù)m的取值范圍是【名師點睛】解此題需要注意以下幾點：由不等式的解集求二次函數(shù)解析式要巧妙利用“端點值為零點”，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求二次函數(shù)中的參數(shù)；要能夠正確理解題意，題中對任意的，存在，使成立，是指對任意的，總能找到一個，使成立，而并非對任意的，都有24【答案】 【名師點睛】本題考查一元二次方程的有解問題、新定義問題，屬于難題新定義題型的特點是：通過給出一個新概念、或約定一種新運算、或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)知識的遷移，達到靈活解題的目的遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決本題是在正確理解“和諧區(qū)間”這一新定義基礎(chǔ)上，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題進行求解的25【答案】（1）；（2）【思路分析】（1）由題為已知一元二次不等式的解集，求函數(shù)解析式可由二次不等式的解法，先找到對應(yīng)的二次方程，則0，5為二次方程的兩個根，代入可得b，c，函數(shù)解析式可得；（2）由題為恒成立問題，可等價轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立，再利用函數(shù)，求它的最大值可得t的取值范圍【解析】（1）因為，所以不等式即，由不等式的解集為，所以方程的兩個為和，所以令，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍為方法2：由（1）知：，所以“對任意的，不等式恒成立”等價于“對任意的，不等式恒成立”，令，則，因為在上為減函數(shù)，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍為【名師點睛】不等式的恒成立問題，常用的方法有兩種：（1）分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖象，找參數(shù)范圍即可；（2）含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點問題，需要求導，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理26【答案】（1）；（2）當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為 當，即時，原不等式的解集為；當，即時，綜上所述，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為27【答案】B【解析】解不等式得或，所以或，所以，故選B【名師點睛】本題考查了一元二次不等式的解法及集合的補集運算，在解題的過程中需要明確一元二次不等式的解集的形式及補集中元素的特征28【答案】A【解析】B=x|2x1，故AB=1，0故選A29【答案】(4，1)【解析】原不等式可化為，解得，所以原不等式的解集為(4，1)30【答案】(1，2)【解析】由題意得：，故所求解集為(1，2)31【答案】(，0)【解析】由題可得f(m)2m210且f(m1)2m23m0，解得32【答案】【解析】由，即，得，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得的概率是