2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文.doc

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第一講　等差數(shù)列、等比數(shù)列 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.設Sn,Tn分別是等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和,若SnTn=n2n+1 (n∈N*),則a5b5= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.513 B.923 C.1123 D.919 【解析】選D.a5b5=S9T9=919. 2.等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項和Sn= (　　) A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2 D.n(n-1)2 【解析】選A.由a42=a2a8得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2 所以Sn=na1+n(n-1)2d=n2+n. 3.已知數(shù)列{an}滿足:an+1an+1+1=12,且a2=2,則a4等于 (　　) A.-12 B.23 C.12 D.11 【解析】選D.因為數(shù)列{an}滿足:an+1an+1+1=12,所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,公比為2.則a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11. 4.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a2=3,且a3,a5,a8成等比數(shù)列,設bn=2anan+1,則數(shù)列{bn}的前n項和Tn為 (　　) A.n-1n B.nn+2 C.2n2n+1 D.n2n+4 【解析】選B.設公差為d(d≠0),首項為a1,所以a1+d=3,(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2,解得a1=2,d=1,所以an=n+1,bn=2(n+1)(n+2)=21n+1-1n+2,所以Tn=212-13+213-14+…+21n+1-1n+2=212-1n+2=nn+2. 5.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5= (　　) A.-12 B. -10 C.10 D.12 【解析】選B.33a1+322d=2a1+d+4a1+432d?9a1+9d=6a1+7d?3a1+2d=0 ?6+2d=0?d=-3, 所以a5=a1+4d=2+4(-3)=-10. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.若{an}為等比數(shù)列,an>0,且a2 018=22,則1a2 017+2a2 019的最小值為_______. 【解析】1a2 017+2a2 019=a2 019+2a2017a2 0182≥22a2 018a2 0182=4 答案:4 7.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,滿足S2=S6,S55-S44=2,則a1=_______________,公差d=____________. 【解析】因為Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,滿足S2=S6,S55-S44=2,所以2a1+d=6a1+15d,5a1+10d5-4a1+6d4=2,解得a1=-14,d=4. 答案:-14　4 8.對給定的正整數(shù)n(n≥6),定義f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中a0=1,ai=2ai-1 (i∈N*,i≤n),則a6=____________;當n=2 017時,f(2)=____________. 【解析】因為a0=1,ai=2ai-1(i∈N*,i≤n),所以a6=2a5=22a4=…=26a0=64. f(2)=20+212+2222+2323+…+22 01722 017=1-42 0181-4=42 018-13. 答案:64　42 018-13 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6, (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)設bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列1bn的前n項和. 【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,由a32=9a2a6,得a32=9a42,所以q2=19, 由條件可知q>0,故q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13. 故數(shù)列{an}的通項公式為an=13n. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-n(n+1)2, 故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1. 1b1+1b2+…+1bn =-21-12+12-13+…+1n-1n+1 =-2nn+1. 10.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1,a2,a3的值. (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 【解析】(1)因為S1=T1=2S1-1,S1=1=a1, 所以a1=1. 因為S1+S2=T2=2S2-4,所以a2=4. 因為S1+S2+S3=T3=2S3-9,所以a3=10. (2)因為Tn=2Sn-n2　 ①　, Tn-1=2Sn-1-(n-1)2?、? 所以①-②得,Sn=2an-2n+1(n≥2), 因為S1=2a1-21+1, 所以Sn=2an-2n+1(n≥1)?、?, Sn-1=2an-1-2n+3　④,③-④得,an=2an-1+2(n≥2) an+2=2(an-1+2). 因為a1+2=3,所以{an+2}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,an+2=32n-1, 故an=32n-1-2. 11.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2-n+1,正項等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且b2=a2,b4=a5. (1)求{an}和{bn}的通項公式. (2)數(shù)列{cn}中,c1=a1,且cn=cn+1-Tn,求{cn}的通項公式cn. 【解析】(1)因為Sn=n2-n+1,所以令n=1,a1=1, an=Sn-Sn-1=2(n-1),(n≥2), 經檢驗a1=1不能與an(n≥2)合并, 所以an=1,n=1,2(n-1),n≥2.又因為數(shù)列{bn}為正項等比數(shù)列,b2=a2=2,b4=a5=8,所以b4b2=q2=4,所以q=2, 所以b1=1,所以bn=2n-1. (2)Tn=1-2n1-2=2n-1, 因為c2-c1=21-1,c3-c2=22-1,…,cn-cn-1 =2n-1-1, 以上各式相加得cn-c1=2(1-2n-1)1-2-(n-1), c1=a1=1,所以cn-1=2n-n-1, 所以cn=2n-n. (20分鐘　20分) 1.(10分)已知數(shù)列{an}中,a2=1,前n項和為Sn,且Sn=n(an-a1)2. (1)求a1,a3. (2)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并寫出其通項公式. 【解析】(1)令n=1, 則a1=S1=1(a1-a1)2=0, 令n=3,則S3=3(a3-a1)2, 即0+1+a3=3a32, 解得a3=2. (2)由Sn=n(an-a1)2, 即Sn=nan2, ① 得Sn+1=(n+1)an+12, ② ②-①,得(n-1)an+1=nan, ③ 于是,nan+2=(n+1)an+1, ④ ③-④,得nan+2+nan=2nan+1, 即an+2+an=2an+1, 又a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以數(shù)列{an}是以0為首項,1為公差的等差數(shù)列. 所以an=n-1. 【提分備選】 已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn+1+Sn=an+12,數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=3an,且b1=1. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式. (2)記Tn=anb2+an-1b4+…+a1b2n,求Tn. 【解析】(1)因為Sn+1+Sn=an+12, ① Sn+Sn-1=an2(n≥2), ② ①-②得:an+1+an=an+12-an2, 所以(an+1+an)(an+1-an-1)=0, 因為an+1>0,an>0, 所以an+1+an≠0, 所以an+1-an=1(n≥2), 又由S2+S1=a22得2a1+a2=a22, 即a22-a2-2=0,所以a2=2,a2=-1(舍去), 所以a2-a1=1, 所以{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列, 所以an=n. 又因為bnbn+1=3an=3n, ③ 所以bn-1bn=3n-1(n≥2), ④ ③④得:bn+1bn-1=3(n≥2),又由b1=1,可求b2=3, 故b1,b3,…,b2n-1是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,b2,b4,…,b2n是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.所以b2n-1=3n-1,b2n=33n-1=3n. 所以bn=3n-12　(n為奇數(shù)),3n2　(n為偶數(shù)). (2)由(1)得: Tn=3an+32an-1+33an-2+…+3na1, ⑤ 3Tn=32an+33an-1+34an-2+…+3n+1a1, ⑥ ⑥-⑤得: 2Tn=-3an+32(an-an-1)+33(an-1-an-2)+…+3n(a2-a1)+3n+1a1, 由an=n,所以2Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1 =-3n+32(1-3n)1-3=-3n-92+123n+2, 所以Tn=3n+24-3n2-94. 2.(10分)(2018日照一模)已知數(shù)列{an}前n項和Sn滿足:2Sn+an=1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)設bn=2an+1(1+an)(1+an+1),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<14. 【解析】(1)因為2Sn+an=1,所以2Sn+1+an+1=1, 兩式相減可得2an+1+an+1-an=0,即 3an+1=an,即an+1an=13, 又2S1+a1=1,所以a1=13, 所以數(shù)列{an}是公比為13的等比數(shù)列. 故an=1313n-1=13n, 數(shù)列{an}的通項公式為an=13n. (2)因為bn=2an+1(1+an)(1+an+1), 所以bn=213n+11+13n1+13n+1 =23n+13n+13n3n+1+13n+1=23n(3n+1)(3n+1+1) =13n+1-13n+1+1 所以Tn=b1+b2+…+bn =131+1-132+1+132+1-133+1+…+13n+1-13n+1+1=14-13n+1+1<14. 所以Tn<14.